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相似三角形基本模型综合基础训练（四）
1．如图，点 ，将线段 平移得到线段 ，若 ，则点D的坐标是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
如图过点C作 轴垂线，垂足为点E，
∵
∴
∵
∴
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
则 ,
∵点C是由点B向右平移6个单位，向上平移2个单位得到，
∴点D同样是由点A向右平移6个单位，向上平移2个单位得到，∵点A坐标为(0，3)，
∴点D坐标为(6，5)，选项D符合题意，故答案选D
2．如图，点 是 斜边AB上的动点，点D、E分别在AC、BC边上，连结PD、PE，若 ，
， ， ，则当 取得最小值时AP的长是（ ）
A．18 B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，连接DE，过D作 于 延长 至 使 连接QE，交AB于P，
则 此时 最短，
∵是 的中位线，
故选：B．
3．如图，在矩形 中， 是 的中点，若 交 于点 ， 是 的中点，连接 ， ，
则 的长为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【详解】解：∵在矩形 中，
∴AD∥BC，AD=BC，∴ ，∴ ，即：3EF= ，
延长AE交DC得延长线于点H，∵AB∥CD，∴∠ABE=∠HCE=90°，
∵ 是 的中点，∴BE=CE，又∵∠AEB=∠CEH，∴ ，
∴AE=EH，AB=CH=CD，即C是DH的中点，∵ 是 的中点，∴HF=2 ，
∵3EF= ，∴4EF=4，∴EF=1，故选C．
4．如图，在△ABC中，AB＜AC，∠C＝45°，AB＝5，BC＝4 ，点D在AC上运动，连接BD，把
△BCD沿BD折叠得到 ， 交AC于点E， ，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，
∴∠AFB＝∠AFC＝90°，
∵∠C＝45°，∴AF＝CF，AC CF，
∵AB＝5，BC＝4 ，
∴BF＝BC﹣CF＝4 CF，
在Rt△ABF中，
AB2＝BF2+AF2，
即52＝（4 CF）2+CF2，解得：CF 或 ，
∵AB＜AC，
∴AF＝CF ，
∴AC CF＝7，
∵△BCD沿BD折叠得到△BC′D，
∴ ， ，
∵C′D AB，∴∠ABE＝∠C′＝45°，
∵∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝45°+∠CBE，∠ABE＝∠C+∠CBE＝45°+∠CBE，
∴∠ABC＝∠ABE，∴△ABC∽△AEB，∴ ，即 ，
∴AE ，∴CE＝AC﹣AE ，∴C′D＝CD＝CE﹣DE DE，
∵C′D AB，∴ ，∴ ，即 ，解得：DE ，
∵S ABC AF•BC 4 14，
△
如图，过点B作BG⊥AC于点G，
∵S ABC AC•BG，
△
∴14 7×BG，
∴BG＝4，∴S DE•BG 4 ．
阴影部分
故选：D．
5．如图，在正方形 中， ，点 ， 分别是射线 ，射线 上的点， ， 与
交于点 ．过点 作 ，交直线 于点 ，则 的长是（ ）
A．8 B． C．6 D．
【答案】B
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴ ， ，
又∵ ，∴ ，
在 和 中， ，∴ ，
∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，解得： ，∴ ．
故选：B
6．如图，在正方形ABCD中， ，点H在AD上，且 ，点E绕着点B旋转，且 ，在AE
的上方作正方形AEFG，则线段FH的最小值是______．【答案】
【详解】解：连接CA、AF、CH，
在正方形ABCD和AEFG中，
∠BCA=∠ECF=45°，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，AD=AB=CD=8，
∴ ，∠BAE=∠CAF，∴△BAE∽△CAF，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴点F在以A为圆心， 为半径的圆上运动，
当A、C、F三点共线时，FH最小，∴ ，
∵AH=2，
∴DH=6，
在Rt△CDH中，CD=8，DH=6，
∴CH=10，
∴FH= ．故答案为：
7．如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，连接AE，作BF⊥AE于F，作DG⊥AE于G，连接DF，若
EF=1，AG=3，则线段DF的长为__________．
【答案】
【详解】解：过F作MH∥BC交AB于H，交DC于M，
∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD=DC=BC，∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°，
∴HM∥BC，∴∠BHM=180°-∠ABC=90°，
∴∠BHM=∠ABC=∠BCD=90°，∴四边形BHMC为矩形，∴MC=HB，HM=BC，
∵BF⊥AE， DG⊥AE，∴∠AFB=∠DGA=90°，
∵∠DAG+∠BAF=∠DAG+∠ADG=90°，∴∠BAF=∠ADG，
在 BAF和 ADG中， ，∴ BAF≌ ADG（AAS），∴BF=AG=3，
△ △ △ △
∵EF=1，∴BE= ，
设AB=x，∵∠EBF+∠BEF=∠BAE+∠BEF=90°，
∴∠BAE=∠FBE，∠AEB=∠BEF，∴△ABE∽△BFE，∴ ，即 ，
∴ , ,∴AF=AE-EF=9，∵HF∥BE，∴∠HFB=∠FBE，
∵∠BHF=∠EFB=90°，∴△HBF∽△FEB，
∴ ，即 ，∴ ，∴DM=DC-MC= ，FM=HM-HF= ，
∴DF= ．
故答案为： ．
8．如图，矩形 ，E，F分别为 中点，P，Q分别在线段 上且 ，
过点B作 于H，连接 ，则线段 的长度最小值为___________．
【答案】
【详解】解：连接EF交PQ于M，连接BM，取BM的中点O，连接OH，OD，过点O作ON⊥CD于N．
∵四边形ABCD是矩形，DF=CF，AE=EB，
∴四边形ADFE是矩形，
∴EF=AD=6，
∵FQ∥PE，∴△MFQ∽△MEP，
∴ ，
∵PE= FQ，
∴EM= MF，
∴EM=2，FM=4，
∵MF∥ON∥BC，MO=OB，
∴FN=CN=2，DN=DF+FN=6， ，
∴ ，
∵BH⊥PQ，
∴∠BHM=90°，
∵OM=OB，
∴ ，
∵DH≥OD-OH，
∴DH≥ ，由于M和B点都是定点，所以其中点O也是定点，当O，H，D共线时，此时DH最小，
∴DH的最小值为 ，
故答案为： ．
9．如图，E是正方形ABCD的边CD上的一点，连接AE，点F为AE的中点，过点F作AE的垂线分别交AD，BC于点M，N，连接AN，若 ，则 AMN的面积为_________．
△
【答案】
【详解】解：如图，过点N作NG⊥AD于G，
∵正方形ABCD，∴∠BAD=∠B=∠D=90°，AD=AB=9，
∵AB=3DE，∴DE=3，
∵NG⊥AD于G，∴四边形ABNG是矩形，∴NG=AB=9，
在Rt ADE中，由勾股定理，得AE= ，
△
∵MN垂直平分AE，∴∠AFM=90°，AF= AE= ，
∵∠MAF=∠EAD，∠AFM=∠D=90°，∴ AFM∽ ADE，
△ △
∴ ，即 ，∴AM=5，
∴S AMN= ，
△故答案为： ．
10．如图，在 中， ， ，AD平分 ，过点B作 于点E，F是边 上
一动点，连接 ，当 时， 的长是__________．
【答案】
【详解】解：延长BE交AC于点G，连接DG，如下图．
∵在 中， ， ，AD平分 ，
∴点D到AB与点D到AC的距离相等 ，点A到BD与点A到DC的距离 相等，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
∵ ，AD平分 ，∴AD是BG的垂直平分线，
∴ ， ，∴ ， ．∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ， ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
11．如图，将正方形ABCD的边AB，BC绕着点A逆时针旋转一定角度，得到线段 ， ，连接
交CD于点E，连接 ， ，若 ，则 ______．
【答案】75°
【详解】连接AC，
根据旋转的性质得 ， ，∴ ， .
∵ ，∴ ．
设 ，∴ ， ，
∴ ．
∵四边形ABCD是正方形，∴ ，∴ ，
即 ，解得 ，∴ ．故答案为：75°．
12．如图1， 和 都是等腰三角形， ．(1)观察发现
请直接写出： 的值是______， 的值是______；
(2)问题探究
如图2， 固定不动，将 绕着点O自由旋转，旋转角为 ，连接BN和AM．
的值改变吗？请说明理由；
【答案】(1)
(2) 的值不变，理由见解析
【解析】(1)如图1中，过点A作AH⊥OB于H，过点M作MT垂直ON于T．
∵AO=AB，AH⊥OB，
∴OH=HB，
∵∠O=30°，
∴ ，
∴ ，
同法可证， ，∴ ，
故答案为：
(2) 的值不变，理由如下：
由（1）可知： ，
∵∠AOB=∠NOM=30°，
∴∠AOB+∠AON=∠NOM+∠AON，
∴∠BON=∠AOM，
∴△BON∽△AOM，
∴ ．
13．【探究】
已知，点 ， ， ， 分别在四边形 的四条边上，且
(1)如图 ，若四边形 为正方形， ，则 ______；
(2)如图 ，若四边形 为矩形， ， ，求 的值．
(3)【拓展】
如图 ，四边形 中，点 ， 分别在 ， 上，且 ，若 ， ，
，求 的值．
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【解析】(1)解：如图 ，过点 作 于 ，过点 作 于点 ，，
四边形 是正方形， ，
∴四边形ABNE、四边形BCMG是矩形，∴AB=EN，BC=MG，
又 ， ，
， ， ，
， ，
， ， ， ，
在 和 中，
， ， ，故答案为 ；
(2)解：如图 ，过点 作 于 ，过点 作 于点 ，
， ，同（1）的得， ，
， ， ， ；
(3)解：如图 ，过点 作 ，过点 作 于点 ，延长 交 于点 ，连接 ，四边形 是矩形，∠G=∠H=90°，
在 和 中， ， ，
，∴∠HAD+∠BAG=90°，
又∠HAD+∠HAD=90°，∴∠BAG=∠HAD，
又∠G=∠H=90°， ， ，
设 ， ， ，
在 中，由勾股定理得， ， (舍)或 ，
∴BG=CH=10+6=16，由（2）知， ．
14．如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD，EC与BD相交于点G，与AD
相交于点F，AF＝AB．
(1)求证：BD⊥EC；
(2)若AB＝2，求AE的长；(3)如图2，连接AG，求证：EG﹣DG AG．
【答案】(1)见解析(2)AE (3)见解析
【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，∴∠EAF＝∠DAB＝90°，
又∵AE＝AD，AF＝AB，∴△AEF≌△ADB（SAS），∴∠AEF＝∠ADB，
∴∠GEB+∠GBE＝∠ADB+∠ABD＝90°，即∠EGB＝90°，故BD⊥EC；
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥CD，
∴∠AEF＝∠DCF，∠EAF＝∠CDF，∴△AEF∽△DCF，∴ ，即AE•DF＝AF•DC，
设AE＝AD＝a（a＞0）， ，则有a•（a﹣b）＝b2，化简得a2﹣ab﹣b2＝0，
解得a b或 b（舍去），∴AE：AB＝a：b ，∵AB＝2，∴AE ；
(3)证明：如图，在线段EG上取点P，使得EP＝DG，
在△AEP与△ADG中，AE＝AD，∠AEP＝∠ADG，EP＝DG，∴△AEP≌△ADG（SAS），
∴AP＝AG，∠EAP＝∠DAG，∴∠PAG＝∠PAD+∠DAG＝∠PAD+∠EAP＝∠DAE＝90°，
∴△PAG为等腰直角三角形，∴EG﹣DG＝EG﹣EP＝PG AG．
15．四边形 ，点 是对角线 上一点，将一个含有 角的三角板的直角顶点与点 重合，使其一
条直角边经过点 ，另一条直角边与 交于点 ．(1)如图1，若四边形 是正方形，求证： ；（请用两种方法证明）
(2)如图2，若四边形 是矩形，且 ， ，猜想 与 之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)过程见解析；(2) ，过程见解析
【解析】（1）连接EC，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，∠ABD=∠CBD=45°．
∵BE=BE，
∴△ABE≌△CBE，
∴AE=CE，∠BAE=∠BCE．
∵∠AEF=90°，∠BAE+∠ABC+∠AEF+∠BFE=360°，
∴∠BAE+∠BFE=180°．
∵∠BFE+∠EFC=180°，
∴∠EFC=∠BAE，
∴∠EFC=∠BCE，
∴EF=EC，
∴AE=EF；
方法二：过点E作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N，如图．∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，∠ABD=∠CBD=45°．
∵EM⊥AB，EN⊥BC，
∴四边形BNEM是正方形，
∴EM=EN，∠MEN=90°，
∴∠MEF+∠FEN=90°．
∵∠AEF=90°，
∴∠FEM+∠AEM=90°，
∴∠AEM=∠FEN．
在△AEM和△FEN中，
∴△AEM≌△FEN，
∴AE=EF；
（2）
，理由如下：
过点E作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N，如图所示．∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°．
∵EM⊥AB，EN⊥BC，
∴四边形MBNE是矩形，
∴ ， ，BM=EN，ME=BN，
∴ ，
∴矩形MBNE 矩形ABCD，
∴ ．
∵∠MEF+∠FEN=90°，∠FEM+∠AEM=90°，
∴∠AEM=∠FEN．
∵∠AME=∠FNE=90°，
∴ ，
∴ ．
