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相似三角形基本模型综合培优训练（四）
1．如图，在 中， ， ， ， 是 边上的中线，将 沿射线
方向以每秒 个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为 ，设 与 重叠部分
的面积为 ，平移运动时间为 ，当点 与点 重合时， 停止运动，则下列图象能反映 与 之
间函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设BD与 交于点E，如图，
当 时，平移了 个单位长度，即
∵ ， ， ，
∴ ， ，∴ ， ，
∴ ，
∵ 中， 是 边上的中线，
∴ ，
∴ 与 是等腰三角形，
∵ 沿射线 方向平移后的三角形记为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴ ，
即 时， ，故可得C、D错误，
当 ，AB与 交于点H，如图：
∵ ，
∴ ， ，即 ，
根据运动的速度可知： ，即 ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
，
可见当 时， ，函数图像为开口向上的抛物线，则A符合题意，B为一次函数不
符合题意．故选：A．
2．如图①，已知Rt△ABC的斜边BC和正方形DEFG的边DE都在直线l上（BC＜DE），且点C与点D
重合，△ABC沿直线l向右匀速平移，当点B与点D重合时，△ABC停止运动，设DG被△ABC截得的线
段长y与△ABC平移的距离x之间的函数图像如图②，则当x＝3时，△ABC和正方形DEFG重合部分的面
积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图①，过点A作AH⊥BC于点H，
∴∠AHB=∠AHC=∠BAC= ，
∴∠ABH+∠BAH=∠BAH+∠HAC= ，
∴∠ABH=∠HAC，
∴△ABH∽△CAH，
∴AH：HC=BH：AH，
结合图①可知，当点H和点D重合时，DG被截得的线段长最长，即CH=1；
当点B和点D重合时，由函数图像可得：BC=4，
∴BH=3，
∴AH：1=3：AH，即 （负值舍去），
当x=3时， ， 如图②，
∴ 设 与DG的交点为M，
由 ，
则 ，
∴ ，
∴1：3=MD： ，
即 ，∴
故选：C．
3．如图，直线y=2x+5与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例 交于C、D两点，直线OD
交反比例于点E，连接CE交y轴于点F，若CF：EF=1：4，则△DCE的面积为（ ）
A．8 B．5 C．7.5 D．6
【答案】C
【详解】解：∵直线y=2x+5与x轴、y轴分别交于A、B两点，
令 得 ，令 得 ，
∴ ，
如图，过点 作 轴的垂线，垂足分别为 ，设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，设 ，
∵ 轴， 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 轴， 轴，
∴ ，
∴
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ 在 上，
∴ ，∴ ，
解得 ，
∴ ， ，
∴ ， ,
∵ 关于 对称，
∴ ，
∴ ， ,
，
∵ ,
∴ ,∴ 是 ,
∴ ，
故选C．
4．如图，正方形 和正方形 的顶点 在同一条直线上，顶点 在同一条直线上．
O是 的中点， 的平分线 过点D，交 于点H，连接 交 于点M，连接 交 于点
N．则 的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵四边形 和四边形 是正方形，
．
(SAS)， ．
， ．
， ．
平分 ．
， (ASA)． ．
又 是 的中点， ． ， ．
， ．
设 ，正方形 的边长是 ，则 ∴ ，
，即 ，解得 ， （舍去），
则 ．
故选C．
5．如图平行四边形ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，连接EF交DC于点G，若
DEG的面积是1，则五边形DABFG的面积是（ ）
△
A．11 B．12 C． D．
【答案】D【详解】解：如图，连接BG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD BC，AD=BC，
∴∠E=∠CFG，
∵F为BC中点，
∴FC= BC= AD，
∵DE：AD=1：3，∴DE：BC=1：3，∴DE：CF=2：3，
∵∠E=∠CFG，∠DGE=∠CGF，
∴△DGE∽CGF，∴DG：CG=DE：CF=2：3，
∴ ，∴ ，取AD的中点Q，连接FQ，
∴FQ DG，∴△EDG∽△EQF，∴DE：EQ=1：2.5=2：5，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
6．如图，已知 、 为 的边 上的两点，且满足 ，一条平行于 的直线分别交
、 、 的延长线于点 、 、 ，则 ________．【答案】3
【详解】过点M作MG DF，点G在AB上，过点N作NH DF，H在AB上，NH交AM于I，
则有MG DF NH AC
∵GM NH，
∴△BMG∽△BNH
∴
又∵BM= ，
∴
∵MG NH AC，
∴
∴
∵MG NH
∴△AHI∽△AGM∴
又∵
∴
∴
又∵DF NH
∴△AHI∽△ADE，△ANI∽△AFE，
∴
∴ ∴
故答案是：3．
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点M、N分别在边AD和BC上，沿MN折叠四边形ABCD，
使点A、B分别落在A 、B 处，得四边形ABNM，点B 在DC上，过点M作ME⊥BC于点E，连接BB ，
1 1
则下列结论：
①∠MNB ＝∠ABB ；
②△MEN∽△BCB ；
③ ；
④若点B 是CD的中点，则AM＝ ，
其中，正确结论的序号是_____．（把所有正确结论的序号都在填在横线上）
【答案】①②③【详解】解：由折叠可知：∠MNB ＝∠BNM，MN⊥BB ，
∴∠BNM+∠B BN＝90°，
∵∠ABB +∠B BN＝90°，
∴∠BNM＝∠ABB ，
∴∠MNB ＝∠ABB ，故①正确；
∵ME⊥BC，
∴∠MNE+∠NME＝90°，
由折叠的性质可得：MN⊥BB ，
∴∠MNE+∠B BN＝90°，
∴∠NME＝∠BB N，
∴△MEN∽△BCB ，故②正确；
由②可知： ＝ ，
∵ME＝AB＝2，BC＝4
∴ ＝ ，为定值，故③正确；
∵△MEN∽△BCB ，
∴ ＝ ，
∴NE＝ B C，
若点B 是CD的中点，则B C＝ DC，
∴NE＝ DC＝ ×2＝ ，
设BN＝x，则NC＝4﹣x，B N＝x，
在Rt△B NC中，由勾股定理可得 ，
解得：x＝ ，
∴AM＝BE＝BN﹣NE＝ ，故④不正确．
故答案为：①②③．
8．正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE=3，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF=AE，则BM的长为_______．
【答案】 或
【详解】分情况讨论：
①如图1，BM交边AD于点F
图1
, ,
Rt ABE≌Rt BAF
△ △
连接FE，则四边形ABEF为矩形，
，
②如图2，射线BM交边CD于点F
图2
≌ ，，
,
即BF垂直AE，
∴ ,
,
,
．
故答案为： ．
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转α角，得到矩形
A′B′CD′，B′C与AD交于点E，AD的延长线与A′D′交于点F．当矩形A'B'CD'的顶点A'落在CD的延长线上
时，则EF＝_____．
【答案】
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转α角，得到矩形A′B′CD′，
∴ ， ， ，
在 中， ，
∴ ，∴ ， ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，∴ ，∴DF ，
同理可得 ，∴ ，∴ ，∴ED ，
∴EF＝ED+DF ，
故答案为： ．
10．如图在 中，∠ACB=90°，AC=BC，D在AB上，AD=8，BD=4，点E在CD上，∠AEB=135°，则
CE=______．
【答案】
【详解】解：如图，过点A作AP⊥CD，垂足为P，连接BP，过点D作DK⊥BC于点K，过点B作
BM⊥AP，交AP的延长线于点M，交BC于点G，
因为∠ACB=90°，AC=BC，
所以∠DBK=∠BDK=45°，
所以DK=BK；
因为DK AC，所以 ，
所以 ；
因为∠GAC=90°-∠ACP，∠DCK=90°-∠ACP，
所以∠GAC=∠DCK，
所以 GAC∽ DCK，
△ △
所以 ，
所以 ，
所以AC=2CG=BC=CG+BG,
所以BG=CG．
因为∠CPG=∠BMG=90°，∠CGP=∠BGM，
所以 GPC≌ GMB，
所以△GP=GM△，
所以四边形BPCM是平行四边形，
所以BP CM，
所以∠CMP=∠BPM，
因为∠ACB=∠AMB=90°，
所以A、C、M、B四点共圆，
所以∠AMC=∠ABC=45°，
所以∠MPB=45°，
所以∠APB=135°，
因为∠AEB=135°，
所以点P与点E重合，
所以AE⊥CD，
因为∠ACB=90°，AC=BC，AD=8，BD=4，
所以AC=BC= ，
所以CG= ，AG= ，所以 ，
所以 = ，
故答案为： ．
11．正方形ABCD边长为2，点E、F在CB、DC延长线上，且BE=CF，AE 与BF延长线交于点G．
(1)如图1，求证AE⊥BF；
(2)如图2，点M是FG延长线上一点，MG=BG，∠MAD的平分线交BF于点N，连接CN．试探究AN、
CN、BN三条线段的数量关系，并证明；
(3)如图3，G为BC上一点，过G作GH⊥DG交AB于H点，当BG=____，BH达到最大值，最大值是____ ．
【答案】(1)见解析
(2) ，证明见解析
(3)1，
【解析】（1）
解：证明：如图1，
四边形 是正方形，， ， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
．
（2）
，
证明：如图2，连接 ，作 交 于点 ，
， ，
， ，
， ，
，
，
，
，
， ，
，
，
，，
，
，
，
．
（3）
如图3，设 ， ，
，
，
，
，
， ，
，
， ， 当 时， ，
当 ， 达到最大值，最大值是 ，
故答案为：1， ．
12．已知： ， ．(1)当 时，点 为线段 上的一点（点 不与 ， 重合，其中 ），以点 为直角顶点，
为腰作等腰直角 ，连接 ，求 的度数．
(2)当 ， ，连接 ，若点 ，过点 作 于点 ，点 与点 关于 轴对称，点
是线段 上的一点（点 不与点 ， 重合）且满足 ，连接 ，试判断线段 与 之间的
位置关系和数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)
(2) ， ，证明见解析
【解析】（1）
解：如图1，设 与 交于点 ，
， ，且 ，
，
，
，
， ，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
（2）
解： ， ，
证明： ， ， ， ， ，
点 与点 关于 轴对称，
， ， ，
于点 ， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
．
13．（1）如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点， ，若 ，
，则 ___________；
（2）如图2，四边形ABCD中， ， ， ，点E在线段BC上且 ，连接
DE，作 ，交AB于点F，则四边形ADEF的面积是多少？
（3）如图3，四边形ABCD中， ，点C到AB的距离为10， ，且 ．当四边形
ABCD的面积是61时，求CD的长度是多少？【答案】（1）4
（2）55
（3）
【详解】解：（1）∵∠DPC=∠A=∠B=90°，
∴∠DPA+∠CPB=90°，
∵∠DPA+∠ADP=90°，
∴∠ADP=∠CPB，
∴△ADP∽△BPC，
∴ ，
∵AP=2，PC=2DP，
∴ ，
∴BC=4；
（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，
∴四边形ADHB是矩形，
∴DH=AB=8，BH=AD=10，
∵BE=6，
∴HE=4，
∵∠B=∠DEF=90°，∴∠BFE=∠DEH，
又∵∠B=∠DHE=90°，
∴△BFE∽△HED，
∴ ，
∴ ，
∴BF=3，
∴
=8×10− -
=55；
（3）过点C作EF AB，过点D作EF的垂线交EF于点E，交BA的延长线于点H，过点B作BF⊥EF于
点F，
则FB=EH=10，
由（1）知△ECD∽△FBC，
∴ ，
∴EC=5，
设ED=x，则CF=2x，HD=(10-x)，HA=(2x+5-8)=(2x-3)，
∴
=10×(2x+5)-
= =61解得： ，
∴ED=2，
∴CD= ．
14．如图1，已知正方形 和正方形 ，点B、C、E在同一直线上， ， ．连接
．
(1)求图1中 、 的长（用含m的代数式表示）．
(2)如图2，正方形 固定不动，将图1中的正方形 绕点C逆时针旋转 度（ ），试
探究 、 之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，在（2）条件下，当点A，F，E在同一直线上时，连接 并延长交 于点H，若 ，
求m的值．
【答案】(1)BG= ，AF＝
(2)AF= BG
(3)
【解析】（1）
解：延长FG交AB于H，如图1，∵正方形 和正方形 ，点B、C、E在同一直线上，
∴∠ABC=∠BCD=∠CGD=∠CGH=90°，AB=BC=m，CG=GF=CE=1，
在Rt BCG中，由勾股定理，得
△
；
∴∠BHG=90°，
∴四边形BCGH是矩形，∠AHG=90°，
∴GH=BC=m，BH=CG=1，
∴AH=m-1，
在Rt AHG中，由勾股定理，得
△
；
（2）
解：连接AC、CF，如图2，
∵正方形 和正方形 ，∴∠ACB=∠FCG=45°，
∴∠ACB+∠ACG=∠FCG+∠ACG，∴∠BCG=∠ACF，
在等腰Rt ABC中，由勾股定理，得AC= BC，
△
在等腰Rt FGC中，由勾股定理，得CF= CG，
△
∴ ，∴ ACF∽ BCG，
△ △
∴ ，即AF= BG；
（3）解：连接AC，如图3，∵正方形 和正方形 ，∴∠CAD=∠CFE=45°，CD=AD=BC=m，
∵∠CFE=∠CAF+∠ACF，∠CAD=∠CAF+∠FAH，∴∠FAH=∠ACF，
∵∠AHF=∠CHA，∴ AHF∽ CHA，
△ △
∴ ，
∵正方形 ，EF=CE=1，
∴CF= ，∴CH=CF+FH= + =2 ，
∴ ，∴AH=2，∴DH=AD-AG=m-2，
在Rt CDH中，由勾股定理，得 ，
△
即
解得： ， (不符合题意，舍去)．
∴m的值为 ．
15．如图，在矩形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，过点D作射线AE的垂线，垂足为F，连接CF．
(1)如图1，若AD＝5，DF＝DC＝4，求BE的长；(2)若E为BC中点．
①如图2，求证：CF＝CD；
②当AE＝3EF时，直接写出 的值．
【答案】(1) ；
(2)①证明见解析；②
【解析】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵四边形ABCD为矩形，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ （AAS），
∴ ，
∴ ；
（2）
解：①证明：如图，延长AE、DC交于点M；
在矩形ABCD中， ，
∴ ， ，
∴E点为BC的中点，
∴ ，∴ （AAS），
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴C是DM的中点，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
②如图，延长AE、DC交于点M，
由①知 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在矩形ABCD中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ,
∴ ，
∴ ；
