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相似三角形基本模型综合基础训练（五）
1．如图，在正方形 中， 分别为 的中点，连接 交于点 ，将 沿 对折，
得到 ，延长 交 延长于点 若 则 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】D
【详解】如图，连接BM，
在正方形 中， 分别为 的中点，
∵折叠，
∴△BCF≌△BPF
∴BC＝BP，∠CBF＝∠PBF,CF=PF=DF=
∴AB＝BP= 且BM＝BM
∴Rt△ABM≌Rt△BMP
∵在Rt△DMF中，MF2＝FD2＋DM2．
∴（ ＋AM）2＝（ ）2+（ −AM）2
∴AM＝ ，
∴DM＝ - = ，∵DF∥AQ
∴△DFM∽△AQM
∴
即
解得AQ=
∴BQ=AQ+AB= + =1
∵E点是AE的中点，
∴BE= ,
则AE=
∴ =
∴ =1+ =
故选D．
2．如图，将正方形 折叠，使顶点 与 边上的一点 重合（ 不与端点 ， 重合），折痕交
于点 ，交 于点 ，边 折叠后与边 交于点 ，设正方形 的周长为 ， 的周长
为 ，则 的值为（ ）A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】设正方形ABCD的边长为a，CH=x，DE=y，则m=4a，根据折叠的性质可得∠EHG=∠A=90°，
EH=AE，可得EH=a-y，DH=a-x，根据直角三角形两锐角互余的关系可得∠DEH=∠CHG，可证明
△DEH∽△CHG，根据相似三角形的性质可用a、x、y表示出CG、HG的长，在Rt△DEH中利用勾股定理可得
x2=2a(x-y)，表示出△CHG的周长，进而可得答案．
【详解】设正方形ABCD的边长为a，CH=x，DE=y，则m=4a，
∵将正方形 折叠，使顶点 与 边上的一点 重合，
∴∠EHG=∠A=90°，EH=AE，
∴DH=a-x，EH=a-y，
∵∠CHG+∠DHE=90°，∠DEH+∠DHE=90°，
∴∠CHG=∠DEH，
∵∠D=∠C=90°，
∴△DEH∽△CHG，
∴ ，即： ，
∴CG= ，HG= ，
在Rt△DEH中，EH2=DE2+DH2，即(a-y)2=y2+(a-x)2，
∴x2=2a(x-y)，
∴n=CH+HG+CG=x+ + = =2a，
∴ = =2，
故选：D．3．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD对折，使点C落在
C′的位置，C′D交AB于点Q，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC，垂足为E，
∵∠ADC＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，即AE＝DE＝ AD，
在Rt△ABC中，
∵∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，
∴AD＝CD＝BD，
由折叠得：AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D，
∴∠CDC′＝45°+45°＝90°，
∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°＝∠C′AD，
∴∠B＝90°﹣∠C＝∠CAE＝22.5°，∠BQD＝90°﹣∠B＝∠C′QA＝67.5°，
∴AC′＝AQ＝AC，
由△AEC∽△BDQ得： ＝ ，
∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ．
故选：A．
4．如图，正方形ABCD边长为4，边BC上有一点E，以DE为边作矩形EDFG，使FG过点A，则矩形
EDFG的面积是（ ）A．16 B．8 C．8 D．16
【答案】D
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD＝4，∠ADC＝∠C＝90°，
∵四边形EDFG为矩形，
∴∠EDF＝∠F＝90°，
∵∠ADF+∠ADE＝90°，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADF＝∠EDC，
∴△ADF∽△CDE，
∴ ，即 ，
∴DF＝ ，
∴矩形EDFG的面积为：DE•DF＝DE• ＝16．
故选：D．
5．如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与AC
相交于点H，连接DG．以下四个结论：
①∠EAB＝∠BFE＝∠DAG；
②△ACF∽△ADG；
③ ；
④DG⊥AC．
其中正确的是_____．（写出所有正确结论的序号）【答案】①②④
【详解】解：设AB与EF相交于点O，如图所示，
∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，
∴ ， ．
又∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故结论①正确；
∵AC、AF是正方形ABCD和正方形AEFG的对角线，
∴ ， ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
即 ．
∴△ACF∽△ADG．故结论②正确；
由△ACF∽△ADG可知 ，
∴DG平分 ．
∵ 是等腰直角三角形，
∴DG⊥AC．
故结论④正确；
∵ ， ，
∴△ACF∽△AFH，
∴ ，∴ ．
∵在等腰直角 中， ，∴ ，
故结论③错误，
∴正确的结论是①②④，
故答案为：①②④．
6．如图，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt BEF的顶点E在边CD或延长线上运动，且∠BEF＝
△
90°，EF＝ BE，DF＝ ，则BE＝_____．
【答案】3 ．
【详解】如图所示，过F作FG⊥CD，交CD的延长线于G，则∠G＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，AB＝CD＝2，
又∵∠BEF＝90°，
∴∠FEG+∠BEC＝90°＝∠EBC+∠BEC，
∴∠FEG＝∠EBC，
又∵∠C＝∠G＝90°，
∴△BCE∽△EGF，
∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ＝ ，
∴FG＝ EC，GE＝2＝CD，∴DG＝EC，
设EC＝x，则DG＝x，FG＝ x，
∵Rt△FDG中，FG2+DG2＝DF2，∴（ x）2+x2＝（ ）2，
解得x2＝9，即CE2＝9，
∴Rt△BCE中，BE＝ ＝ ＝3 ，故答案为：3 ．
7．在 OAB中，OA＝OB，点C在直线AB上，BC＝3AC，点E为OA边的中点，连接OC，射线BE交OC
△
于点G，则 的值为_____．
【答案】 或
【详解】解：如图1，点 在线段 上，
过 作 交 于 ，
点 为 边的中点， ，
，
，，
，
，
，
，
，
，
；
如图2，点 在线段 的延长线上，
过 作 交 于 ，
点 为 边的中点， ，
，
，即 ，
，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为： 或 ．
8．在矩形ABCD中， ， ，点E 是AD上一动点，过点E作EF∥BD交AB于F，将△AEF沿EF折叠，点A的对应点 落在△BCD的边上时，AE的长为_____________．
【答案】2或
【详解】解：当 落在BD上时，如下图：
∵在矩形ABCD中， ， ，
∴
根据折叠的性质可知，
∵EF∥BD
∴
∴
∴ ；
当 落在BC上时，如下图：
∵
∴∴
∴
∵
∴
∵ ，∴
∴ ，∴
∴
∴
故答案为：2或 ．
9．如图，在 中， ， ， ， ，垂足为 ， 为 的中点，
与 交于点 ，则 的长为_______．
【答案】
【详解】如解图，过点 作 于 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，点 是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ∽
∴
∴ ，
设 为 ，则 ，由勾股定理得 ，
又∵ ，
∴ ，
则 ，
∵ 且 ，
∴ ∽ ，
∴ ，
即 ，
解得 ，∴ ．
∵
∴
∴
∴
故答案为：
10．如图，在矩形ABCD中， AB=3，BC=4，将矩形ABCD绕点C旋转，点A、B、D的对应点分别为A’
、B’、 D’，当A’ 落在边CD的延长线上时，边A’ D’ 与边 AD的延长线交于点F，联结CF，那么线段
CF的长度为____．
【答案】
【详解】解：由旋转前后对应边相等可知：A'B'=AB=3，B'C=BC=4
∴由勾股定理可知：A'C= ，
∴A'D= A'C-CD=2，
又∠ADC=∠B'=90°，且∠ECD=∠A'CB'，
∴△ECD∽△A'CB'，
∴ ，代入数据： ，
∴ ，又A'F∥CE，
∴∠CED=∠A'FD，且∠EDC=∠FDA'，
∴△A'DF∽△CDE，
，代入数据： ，
∴ ，
在Rt△DFC中由勾股定理可知：
.
故答案为： .
11．某校数学活动小组探究了如下数学问题：
(1)问题发现：如图1， 中， ， ．点P是底边BC上一点，连接AP，以AP为腰
作等腰 ，且 ，连接CQ、则BP和CQ的数量关系是______；
(2)变式探究：如图2， 中， ， ．点P是腰AB上一点，连接CP，以CP为底边
作等腰 ，连接AQ，判断BP和AQ的数量关系，并说明理由；
(3)问题解决：如图3，在正方形ABCD中，点P是边BC上一点，以DP为边作正方形DPEF，点Q是正方
形DPEF两条对角线的交点，连接CQ．若正方形DPEF的边长为 ， ，求正方形ABCD的边
长．【答案】(1) ；(2) ；(3)3
【解析】（1）解：∵ 是等腰直角三角形， ，在 中， ， ，∴
， ，∴ ．在 和 中，
，∴ ，∴ ；
（2）解：判断 ，理由如下：∵ 是等腰直角三角形， 中， ， ，
∴ ， ．∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ；
（3）解：连接BD，如图所示， ∵四边形 与四边形 是正方形，
DE与PF交于点Q，∴ 和 都是等腰直角三角形，∴ ， ．
∵ ，∴ ，∴ ，∴
．∵ ，∴ ．在 中， ，设 ，
则 ，又∵正方形 的边长为 ，∴ ，∴ ，解得 （舍去）， ．∴正方形 的边长为3．
12．王老师在一次校内公开课上展示“探析矩形折叠问题”内容，引起了同学们的广泛兴趣，他们对折纸
进行了如下探究．如图有一矩形纸片ABCD，AB＝4，AD＝8，点Q为边BC上一个动点，将纸片沿DQ折叠，
点C的对应点为点E．
（1）如图1，当射线DE与边BC的交点F到点C的距离为3时，求CQ的长；
（2）如图2，记射线QE与边DA的交点为P，若AP＝3，则CQ的长为 ．
（3）如图3，G为AD上一点，且GD＝2，连接AE、CE．
①试判断AE﹣2GE的值是否能若点Q的位置变化而变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由；
②连接BE，当AE+2EB的值最小时，直接写出E到边AD的距离为 ．
【答案】（1） ；（2）2；（3）①不变，AE-2GE=0；② ．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCF=90°，
∴DF= = =5，
根据折叠的性质，得DE=CD=4，
∴EF=1，
设CQ=QE=x，则QF=3-x，在直角三角形QEF中，
，
∴ ，
解得x= ；
故CQ= ；
（2）如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCF=90°，DA∥CQ，
∴∠PDE=∠DFC，
根据折叠的性质，得DE=CD=4，∠DCF=∠DEQ= ∠DEP= 90°，
∴ DEP∽ FCD，
△ △
∴ ，
∵AP=3，AD=8，
∴PD=5，
在直角三角形PDE中，
，
∴PE=3，
∴ ，
∴DF= ，
∴EF=DF-DE= -4= ，∵DP∥QF，
∴ DPE∽ FQE ，
△ △
∴ ，
∴ ，
∴EQ=2，
∵EQ=CQ，
∴CQ=2；
（3）①AE-2GE的值保持不变，且AE-2GE=0；理由如下：
∵ ，∠GDE=∠EDA，
∴ DGE∽ DEA，，
△ △
∴ ，
∴AE=2GE，
∴AE-2GE=0；
②如图5，∵BE+GE≥BG，
∴当B，E ，G三点共线时，BE+EG取得最小值，
从而2（BE+EG）有最小值即2EB+2EG最小，由①知AE=2GE，因此2BE+AE最小，
如图6，过点E作EF⊥AD，垂足为F，
则FE∥AB，
∴ ，
∵GD=2，AD=8，
∴GA=6，
∴ ，∴ ，
设EF=2x，则GF=3x，在直角三角形DEF中，
，
∴ ，解得x= 或x= （舍去）；∴2x= ；
∴EF= ；故点E到边AD的距离为 ．
13．已知正方形ABCD，点E是CB延长线上一点，位置如图所示，连接AE，过点C作CF⊥AE于点F，连接
BF．
（1）求证： ；
（2）作点B关于直线AE的对称点M，连接BM，FM．
①依据题意补全图形；
②用等式表示线段CF，AF，BM之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见详解；（2）①见详解；②CF=AF+BM，证明见详解．
【详解】（1）证明：由正方形ABCD，可知∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠ABE=90°，
∴∠FAB+∠AEB=90°，
∵CF⊥AE，∴∠BCF+∠AEB=90°，
∴ ；
（2）①如下图所示，
②CF=AF+BM，
过点B作BH⊥CF于H，过B作BN⊥BF，交CF于N，令BM与AE交于点G，
由题可知，∠BGF=∠GFH=∠BHF=90°，AB=CB，
∴四边形BHFG为矩形，
在△ABG与△CBH中，
∴△ABG≌△CBH，
∴BH=BG，
∴矩形BHFG为正方形，
∴∠BFH=45°，BG=FH，
∵BN⊥BF，
∴△FBN为等腰直角三角形，
∵BH⊥CF，∴ ，
由对称可知 ，
∴ ，
∵∠FBN=90°，∠ABE=90°，
∴∠FBE+∠CBN=90°，∠FBE+∠ABF=90°，∴∠ABF=∠CBN，
在△ABE与△CBN中，
∴△ABE≌△CBN，∴CN=AF，
∵CN+FN=CF，∴CF=AF+BM．
14．已知：正方形 ，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点 处，使三角板绕点 旋转．
（1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想 与 的数量关系，并加以证明；
（2）在（1）的条件下，若 ，求 的度数；
（3）若 ，点 是边 的中点，连结 ， 与 交于点 ，当三角板的边 与边 重
合时（如图2），若 ，求 的长．
【答案】（1） ；证明见详解 （2）135° （3）
【详解】解：（1） ，
在正方形 和等腰直角三角形 中，
， ， ，∴ ，∴ ，∴
（2）设 ，∵
∴ ， ，∴ ，
∵ ， ，即
∴ 为直角三角形，∴ ，∴
（3）∵ 是 的中点，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
在 中， ， ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，即 ，∴ ．
15．【问题情境】如图①，在 中， ， ，点 为 中点，连结 ，点 为
的延长线上一点，过点 且垂直于 的直线交 的延长线于点 .易知BE与CF的数量关系
．
【探索发现】如图②，在 中， ， ，点 为 中点，连结 ，点 为
的延长线上一点，过点 且垂直于 的直线交 的延长线于点 .【问题情境】中的结论还成立吗？请
说明理由．
【类比迁移】如图③，在等边 中， ，点 是 中点，点 是射线 上一点（不与点 、
重合），将射线 绕点 逆时针旋转 交 于点 ．当 时， ______．【答案】问题情境： ；探索发现：成立，见解析；类比迁移： 或
【详解】问题情境： ，证明如下：
∵在 中， ， ，点 为 中点，
∴ ，
∴
∵
∴
∴
在 和 中，
∴
∴
探索发现：成立，
理由：∵在 中， 为 中点，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∴
∴
类比迁移：
当点E在线段AC上时，如图③，
∵ 是等边三角形， ，点 是 中点，
∴ ， ，
设 ，则 ， ，
∵ 是 的外角， ，
∴
即
∴
又∵
∴
∴
∴
∴解得 ， （大于4，不符合题意，舍去）
当点E在线段AC的延长线时，如图：
设 ，则 ， ，
同理可得
∴
解得 ， （不符合题意，舍去）
综上所述， 或 ．
故答案为： 或 ．
