文档内容
准考证号__________________姓名__________________
（在此卷上答题无效）
2025 江西新高考临考预测卷
数学（一）
本试卷共6页，共150分，考试时长120分钟．
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘
贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在
本试卷上无效．
3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 展开式中的第 项是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据展开式通项公式写出第 项即可.
【详解】由题意可得二项式展开式 的通项为： ，
将 代入上式，可得： ，
所以 展开式中的第 项是： .
故选：A.
2. 已知 ，则 （ ）
第1页/共25页
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用复数的除法法则化简 ，再利用共轭复数的定义即可.
【详解】因为 ，所以 ．
故选：C
3. 已知函数 同时满足以下三个条件：① 在定义域内是奇函数或偶函数；②有奇数个零点；③
在 内单调递增．函数 可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将各个选项的图像画出即可选出正确答案.
【详解】选项中的四个函数对应的大致图象如图下图所示．
对于选项A：在区间 不单调，故A错误；
对于选项B：没有零点，故B错误；
对于选项C：是奇函数，有3个零点，在 上单调递增，故C正确；
对于选项D：有2个零点，故D错误.
第2页/共25页
学科网（北京）股份有限公司故选：C
4. 已知函数 满足 若 ，则 （ ）
A. 1 B. 4 C. 5 D. 2024
【答案】A
【解析】
【分析】通过计算求得函数的周期即可得到答案.
【详解】因为 ，所以 ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ，
，…，发现从第 6项开始就是以 3为周期的周期函数， ，为3的倍数，则
．
故选：A
5. 已知函数 和它 导函数 的部分图象如图所示，
的
则 （ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的最大值与最小值即可求出结果
【详解】 ，则 ．
第3页/共25页
学科网（北京）股份有限公司因为当 时， 永远大于0，故由图象可知， ，
所以 ，又 ，所以 ．
故选：B
6. 中国剩余定理又称“孙子剩余定理”，它是中国古代史上最有创造性的成就之一，其中“韩信点兵”
“物不知数”等问题的解法在数论中有相应的推广，数论中的 形式表示 和 除以 的余数
相同．已知集合 满足 ， ，
．对于集合 中的任意一个元素 ，下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同余的定义式，分别求出集合 中元素满足的式子，进而得到集合 ，再利用同余的定
义式检验ABD选项，最后取特殊值 ，检验C选项.
【详解】因 ，则 ，
因 ，则 ，
又 ， ，
则
又 ，则 ，故A正确；
，则 ，故B正确；
，则 ，故D正确；
第4页/共25页
学科网（北京）股份有限公司不妨取 ，不满足 ，故C错误.
故选：C.
7. 椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都有焦点．焦点，顾名思义，就是光线的聚集点，这说明圆锥曲线
与光有着紧密的联系，圆锥曲线具有丰富的光学性质．例如，从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆反射
后会经过另外一个焦点，设 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，从焦点 发出的光
线先后经过椭圆上的 ， 两点反射后回到焦点 ．若 ， ，则椭圆的离心率为（
）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件，设出 ,写出其他线段的代数式，利用三角形相似，得出关于 的关系
式，进而求出离心率.
【详解】如图，由题意知 ，
所以 ．
设 ，所以 ，
又 ，所以 ，
得 ，所以 ， ．
第5页/共25页
学科网（北京）股份有限公司方法一：对于等腰三角形 和 ，因为 ，
故 ，故 ，即 ，
化简得 ，
即 ，解得 （负数舍去）．
方法二：易知 ，
则有 .
化简得： ，即 ，解得 （负数舍去）.
故选：D.
8. 已知四棱锥 的底面 为平行四边形，过点 的平面分别交侧棱 ， ， 于 ，
， 三点，若 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
第6页/共25页
学科网（北京）股份有限公司【分析】根据空间向量的线性运算表示 ，利用共面求出参数 ，据此求出 即可得解.
【详解】如图，
设 ，
则 ．
又 ， ， ， 四点共面，所以 ，解得 ，
所以 ， ，得 ．
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9. 将一组互不相同的数据 ， ， ， ， 中的每一个数都变成原来的2倍再减去1，则这两组数据
可能相同的数字特征是（ ）
A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 极差
【答案】AB
【解析】
【分析】由数据变换前后的数字特征之间的关系可解.
【详解】不妨设 ， ， ， ， 视为从小到大排序，原平均数为 ，变化后的平均数为 ，当
第7页/共25页
学科网（北京）股份有限公司时， ，故A正确；
原中位数为 ，变化后的中位数为 ，当 时， ，故B正确；
原方差为 ，变化后的方差为 ，若两方差相等，则 ，得 ，此时每个数都相等，与已知
矛盾，故C错误；
原极差为 ，变化后的极差为 ，若两极差相等，则 ，与已知矛盾，故D错误；
故选：AB.
10. 已知多面体 的底面 为正方形， ， ， ， 均垂直于底面
， ，且 ， ， ， 四点共面．下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若多面体 存在外接球，则该外接球的表面积为
C.
D. 若 ， ，则三棱锥 的内切球半径为
【答案】ACD
【解析】
【分析】据线面垂直的性质判断A；由外接球的特征和性质判断B；据棱锥的体积公式判断C；应用等体
积法判断D.
【详解】如图1-4，在正方形 中， ．
由题意 平面 ， 平面 ，所以 ，
由 ， ，则四边形 为平行四边形，所以 ，
所以 ，又 都在平面 内，所以 平面 ．
第8页/共25页
学科网（北京）股份有限公司又 平面 ，所以 ，故A正确．
如图1-5，当多面体为正方体时，才有外接球，外接球的半径等于体对角线的一半，为 ，所以外接球的
表面积 ，故B错误．
如图1-6， ，
，故C正确．
如图1-7，若 ， ，
，解得 ，故D
正确．
故选：
11. 已知双曲线 ，点 为双曲线右支上的一个动点，过点 且与双曲线相切的直线 分
别与两条渐近线交于 ， 两点，过点 且与直线 垂直的垂线 分别与两坐标轴交于 ， 两点．下
列说法正确的是（ ）
的
A. 中点 轨迹是抛物线
B. 的面积是定值
第9页/共25页
学科网（北京）股份有限公司C.
D. 四边形 为正方形
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，直接由中点坐标公式和已知双曲线方程即可判断；对于 B，联立切线与渐近线方程，由
面积公式验算即可；对于C，只需证明 ；对于D，只需证明 互相垂直平分且相
等即可.
【详解】对于A，如图，设 ， 中点为 ，则 ， ．
因为 ，所以 ，故A错误．
对于B，易知 ，双曲线 的渐近线为 ．
因为直线 过点 且与双曲线相切，所以设直线 的方程为 ．
联立 得 ，联立 得 ．
所以 ，故B正确．
对于C，因为 ，
且 ，所以 ，故C正确．
对于D，顺次连接 ， ， ， 四点，因为直线 ，所以 ．
又直线 与直线 垂直，所以 ，所以直线 ，
第10页/共25页
学科网（北京）股份有限公司即 ，得到 ， ，所以 是 的中点．
又 ，所以 ， 相互平分．
在 中， ，在 中， ，所以 ．
又 ，所以四边形 为正方形，故D正确．
故选：BCD.
三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量 ， 满足 ， ， ，则 _____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据平面向量数量积的运算律计算即可．
【详解】由 两边取平方，
可得 ： ，
即 ，
因为 ， ，
所以 ，解得 或 （舍），
故答案为： ．
第11页/共25页
学科网（北京）股份有限公司13. 过点 的直线与抛物线 交于 ， 两点，曲线 在 ， 两点处的切线相交于点 ，
则 面积的最小值为________________．
【答案】
【解析】
【分析】设 ， ，从而点 ， 处的切线方程为 ， ，
故点 的坐标可以用点 的坐标表示，联立直线 的方程 与抛物线方程，写出韦达定理，
从而弦长与点 到 的距离都可以用含 的式子表示，即面积的最小值可以转换为关于 的函数的最小
值.
【详解】如图，设 ， ， ， ，点 处 的切线方程为 ，
同理，点 处的切线方程为 ，
联立两切线方程，求解可得，两切线的交点 的坐标为 ．
设 所在直线的方程为 ，与抛物线方程联立得到 ，
所以 ， ，则点 ．
所以 ，
故 ，
当 时，有 ．
第12页/共25页
学科网（北京）股份有限公司故答案为： .
14. 为了保持某自然生态保护区的生态平衡，现用重捕法了解该保护区内某种动物的大致数量 （单位：
只），随机在保护区内捕捉了100只该动物并做上标记，一段时间后再随机捕捉100只，用 表示第二次
捕捉的100只中有标记的数量．若以使得 的概率最大时 的值作为该保护区内这种动物的数量的
估计值，则 的估计值是_______________．
【答案】
【解析】
【分析】根据超几何分布，得到 ，求得 ，得到 ，结
合 ，求得 ，进而得到答案．
【详解】由题意得，随机变量 服从超几何分布，即 ，
记 ，则 ，
所以 ．
当 时， ，解得 ，
第13页/共25页
学科网（北京）股份有限公司当 时， ，故当 时， 最大， 的估计值为 ．
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数 ．
（1）讨论 的单调区间；
（2）证明： ．
【答案】（1）当 时， 单调递增；当 时， 单调递减
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导后，令导数等于0即可得出函数的单调区间；
（2）只需证明函数的最大值 即可，从而可以构造一个关于 的函数，结合导数来证
明即可.
【小问1详解】
， ，令 ，得 ．
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减.
【小问2详解】
．
设 ，则 ，
令 ，得
当 时， ， 单调递增；
第14页/共25页
学科网（北京）股份有限公司当 时， ， 单调递减．
所以 ，即 ，
由（1）知， ，得证．
16. 如图1， 是圆 的直径， ， ， ，现将圆 沿直径 翻折，如图
2，记二面角 的大小为 ．
（1）当 时，求直线 与底面 所成角的正弦值；
（2）是否存在 使得直线 与直线 垂直？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；
（2）不存在，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）方法一：建立空间直角坐标系，求出 和平面 的法向量，利用数量积求出向量间夹
角的余弦值，从而得到线面角的正弦值；方法二：作辅助线，利用面面垂直的性质证得 为所求线
面角，通过边长关系求出正弦值；
（2）建立空间直角坐标系，作出二面角 的平面角 ，分析出在翻折过程中，点 在
以 为圆心、 为半径的圆上，从而可设出点 坐标，利用数量积的坐标运算得出
第15页/共25页
学科网（北京）股份有限公司，即可得出结论.
【小问1详解】
方法一：
如图，以 为坐标原点，以 所在直线分别为 轴，过点 作 轴垂直平面 ，建立空间直
角坐标系 ．
当 时，平面 平面 ，因为 ， ，所以 ，
则 ， ， ．
易知底面 的一个法向量为 ，
所以直线 与底面 所成角的正弦值为 .
方法二：
如图，过点 作 ，垂足为 ，连接 ，
因为 ，即平面 平面 ，且平面 平面 ， ， 平面
，
第16页/共25页
学科网（北京）股份有限公司所以 平面 ，得到 为所求直线 与底面 所成角，
由 ， ，
得 ， ， ，
故 ．
【小问2详解】
不存在，理由如下：
如图1-12，过点 作 的垂线，垂足为 ，延长 与圆 交于点 ．翻折后（如图1-13），由
， 知， ．
在将圆 沿直径 翻折的过程中，点 在以 为圆心、 为半径的圆上，且该圆与直径 垂直．
如图，以 为坐标原点，以 所在直线分别为 轴，过点 作 轴垂直平面 ，建立空间直
角坐标系 .
设 ， ，则 ，即 ，
又 ， ， ，所以 ， ，
所以 ．
因此不存在 使得直线 与直线 垂直．
17. 已知 是锐角三角形，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ， ，且
第17页/共25页
学科网（北京）股份有限公司．
（1）求角 ；
（2）求边 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意结合正、余弦定理运算求解；
（2）利用三角形为锐角三角形，列出不等式即可求得取值范围.
【小问1详解】
因为 ， ，
所以 ，
故 ，由边化角得 ,
又 ，故得到 ，
在三角形中 ，
即 ，
用和差角公式展开得
整理得 ，因为 ，故 ．
又 是三角形的内角，所以 ，解得
【小问2详解】
已知 是锐角三角形，
第18页/共25页
学科网（北京）股份有限公司所以 即 则 ①
根据余弦定理得 ，即 ，
解得 ，②
将②代入①中，整理得 又 ，解得
18. 已知椭圆 ，过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点， 是椭圆 上异于 ，
的点，且直线 与直线 的斜率之积为1．
（1）求点 的坐标；
（2）求 面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）考虑直线斜率不存在时，求出 ，直线 的斜率存在，设为 ，
与椭圆方程联立，得到两根之和，两根之积，由 ，得 ，变形，从而得到方
程组，求出 即 ；
（2）求出 ，得到 ，并由根的判别式得到 ．换元后得
第19页/共25页
学科网（北京）股份有限公司到 ，结合 ，求出最值.
【小问1详解】
当直线 的斜率不存在时，直线 与椭圆 的两个交点分别为椭圆短轴的两个顶点，
不妨设 ， ， ，
所以 ．又 ，所以 ．
故直线 的斜率存在，
设 ， ，直线 的方程为 ，
与椭圆方程联立得 ①，
则有 ， ．
由 ，得 ，
即 ，
即 ．
所以 ，
即 ，
整理得 ，
第20页/共25页
学科网（北京）股份有限公司故
解得 即 ；
【小问2详解】
，故 ，
，
由（1）中①式可得 ，所以 ．
又 ，
设 ，
所以
，
第21页/共25页
学科网（北京）股份有限公司当 时， .
19. 信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量 所有可能的取值为 ，且
， ，定义 的信息熵 ．
（1）若 ，求 分布列及数学期望 ；
的
（2）若 ， ，试求 关于 的解析式，并求 的最大值；
（3）若 ，随机变量 所有可能的取值为 ，且
，证明： ．
【答案】（1）分布列见解析；期望为
（2） ，
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先根据分布列概率和为1求出 ，得到完整分布列，再利用数学期望公式计算 .
（2）通过已知条件得出信息熵 关于 的表达式，然后构造函数 ，利用导数研究其单调性，
进而求出 的最大值.
（3）通过对 与 的表达式进行分析和运算，来证明 .
【小问1详解】
第22页/共25页
学科网（北京）股份有限公司解：
，解得
所以 的分布列为
1 2 3 4
所以
【小问2详解】
解：当 时， ，
又 ，所以 ，同理 ，
．
设 ， ，
则
令 ，得 ．
当 时， ，此时 单调递增；
第23页/共25页
学科网（北京）股份有限公司当 时， ，此时 单调递减；
当 时， ，此时 取极大值．
综上所述，当 时， 取最大值，
且
【小问3详解】
证明： ，
则 ，
而 ， ，
所以 ， ，…
， ．
所以
．
又
第24页/共25页
学科网（北京）股份有限公司所以
因为 ，所以 ，
所以 ．
同理 ， ，
所以 ，即 ．
第25页/共25页
学科网（北京）股份有限公司
