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专题 50 导体棒在导轨上运动问题（二）
32．（2021·海南·高考真题）如图，间距为l的光滑平行金属导轨，水平放置在方向竖直向下的匀强磁场中，
磁场的磁感应强度大小为B，导轨左端接有阻值为R的定值电阻，一质量为m的金属杆放在导轨上。金属
杆在水平外力作用下以速度v 向右做匀速直线运动，此时金属杆内自由电子沿杆定向移动的速率为u。设
0 0
金属杆内做定向移动的自由电子总量保持不变，金属杆始终与导轨垂直且接触良好，除了电阻R以外不计
其它电阻。
（1）求金属杆中的电流和水平外力的功率；
（2）某时刻撤去外力，经过一段时间，自由电子沿金属杆定向移动的速率变为 ，求：
（i）这段时间内电阻R上产生的焦耳热；
（ii）这段时间内一直在金属杆内的自由电子沿杆定向移动的距离。
33．（2021·湖北·统考高考真题）如图（a）所示，两根不计电阻、间距为L的足够长平行光滑金属导轨，
竖直固定在匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向里，磁感应强度大小为B。导轨上端串联非线性电子
元件Z和阻值为R的电阻。元件Z的 图像如图（b）所示，当流过元件Z的电流大于或等于 时，电
压稳定为U 。质量为m、不计电阻的金属棒可沿导轨运动，运动中金属棒始终水平且与导轨保持良好接触。
m
忽略空气阻力及回路中的电流对原磁场的影响，重力加速度大小为g。为了方便计算，取 ，
。以下计算结果只能选用m、g、B、L、R表示。
（1）闭合开关S。，由静止释放金属棒，求金属棒下落的最大速度v；
1
（2）断开开关S，由静止释放金属棒，求金属棒下落的最大速度v；
2
（3）先闭合开关S，由静止释放金属棒，金属棒达到最大速度后，再断开开关S。忽略回路中电流突变的
时间，求S断开瞬间金属棒的加速度大小a。34．（2021·天津·高考真题）如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨 、 间距 ，其电阻不
计，两导轨及其构成的平面均与水平面成 角，N、Q两端接有 的电阻。一金属棒 垂直导轨
放置， 两端与导轨始终有良好接触，已知 的质量 ，电阻 ，整个装置处在垂直于导轨
平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小 。 在平行于导轨向上的拉力作用下，以初速度
沿导轨向上开始运动，可达到最大速度 。运动过程中拉力的功率恒定不变，重力加速度
。
（1）求拉力的功率P；
（2） 开始运动后，经 速度达到 ，此过程中 克服安培力做功 ，求该过程
中 沿导轨的位移大小x。
35．（2021·全国·高考真题）如图，一倾角为 的光滑固定斜面的顶端放有质量 的U型导体框，
导体框的电阻忽略不计；一电阻 的金属棒 的两端置于导体框上，与导体框构成矩形回路 ；
与斜面底边平行，长度 。初始时 与 相距 ，金属棒与导体框同时由静止开始下
滑，金属棒下滑距离 后进入一方向垂直于斜面的匀强磁场区域，磁场边界（图中虚线）与斜面底
边平行；金属棒在磁场中做匀速运动，直至离开磁场区域。当金属棒离开磁场的瞬间，导体框的 边正好进入磁场，并在匀速运动一段距离后开始加速。已知金属棒与导体框之间始终接触良好，磁场的磁感应
强度大小 ，重力加速度大小取 。求：
（1）金属棒在磁场中运动时所受安培力的大小；
（2）金属棒的质量以及金属棒与导体框之间的动摩擦因数；
（3）导体框匀速运动的距离。
36．（2020·北京·统考高考真题）某试验列车按照设定的直线运动模式，利用计算机控制制动装置，实现
安全准确地进站停车。制动装置包括电气制动和机械制动两部分。图1所示为该列车在进站停车过程中设
定的加速度大小 随速度 的变化曲线。
(1)求列车速度从 降至 经过的时间t及行进的距离x。（保留1位小数）
(2)有关列车电气制动，可以借助图2模型来理解。图中水平平行金属导轨处于竖直方向的匀强磁场中，回
路中的电阻阻值为 ，不计金属棒 及导轨的电阻。 沿导轨向右运动的过程，对应列车的电气制动
过程，可假设 棒运动的速度与列车的速度、棒的加速度与列车电气制动产生的加速度成正比。列车开
始制动时，其速度和电气制动产生的加速度大小对应图1中的 点。论证电气制动产生的加速度大小随列
车速度变化的关系，并在图1中画出图线。
(3)制动过程中，除机械制动和电气制动外，列车还会受到随车速减小而减小的空气阻力。分析说明列车从
减到 的过程中，在哪个速度附近所需机械制动最强?
(注意：解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题时做必要的说明)
37．（2020·全国·统考高考真题）如图，一边长为l 的正方形金属框abcd固定在水平面内，空间存在方向
0
垂直于水平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一长度大于 的均匀导体棒以速率v自左向右在金属框上匀速滑过，滑动过程中导体棒始终与ac垂直且中点位于ac上，导体棒与金属框接触良好。已知导体
棒单位长度的电阻为r，金属框电阻可忽略。将导体棒与a点之间的距离记为x，求导体棒所受安培力的大
小随x（ ）变化的关系式。
38．（2020·浙江·高考真题）如图甲所示，在 水平面内，固定放置着间距为l的两平行金属直导轨，其
间连接有阻值为R的电阻，电阻两端连接示波器（内阻可视为无穷大），可动态显示电阻R两端的电压。
两导轨间存在大小为B、方向垂直导轨平面的匀强磁场。 时一质量为m、长为l的导体棒在外力F作
用下从 。位置开始做简谐运动，观察到示波器显示的电压随时间变化的波形是如图乙所示的正弦曲
线。取 ，则简谐运动的平衡位置在坐标原点O。不计摩擦阻力和其它电阻，导体棒始终垂直导
轨运动。（提示：可以用 图象下的“面积”代表力F所做的功）
（1）求导体棒所受到的安培力 随时间t的变化规律；
（2）求在0至0.25T时间内外力F的冲量；
（3）若 时外力 ，求外力与安培力大小相等
时棒的位置坐标和速度。
39．（2017·海南·高考真题）如图，两根光滑平行金属导轨置于水平面(纸面)内，导轨间距为L，左端连有
阻值为R的电阻．一金属杆置于导轨上，金属杆右侧存在一磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁
场区域．已知金属杆以速度v 向右进入磁场区域，做匀变速直线运动，到达磁场区域右边界(图中虚线位
0置)时速度恰好为零．金属杆与导轨始终保持垂直且接触良好．除左端所连电阻外，其他电阻忽略不计．求
金属杆运动到磁场区域正中间时所受安培力的大小及此时电流的功率.
40．（2019·海南·高考真题）如图，一水平面内固定有两根平行的长直金属导轨，导轨间距为l；两根相同
的导体棒AB、CD置于导轨上并与导轨垂直，长度均为l；棒与导轨间的动摩擦因数为 （最大静摩擦力
等于滑动摩擦力）：整个装置处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向竖直向下。从 时开始，对
AB棒施加一外力，使AB棒从静止开始向右做匀加速运动，直到 时刻撤去外力，此时棒中的感应电流
为 ；已知CD棒在 时刻开始运动，运动过程中两棒均与导轨接触良好。两棒的质量均为
m，电阻均为R，导轨的电阻不计。重力加速度大小为g。
(1)求AB棒做匀加速运动的加速度大小；
(2)求撤去外力时CD棒的速度大小；
(3)撤去外力后，CD棒在 时刻静止，求此时AB棒的速度大小。
41．（2019·江苏·高考真题）如图所示，匀强磁场中有一个用软导线制成的单匝闭合线圈，线圈平面与磁
场垂直．已知线圈的面积S=0.3m2、电阻R=0.6Ω，磁场的磁感应强度B=0.2T.现同时向两侧拉动线圈，线圈
的两边在Δt=0.5s时间内合到一起．求线圈在上述过程中
（1）感应电动势的平均值E；
（2）感应电流的平均值I，并在图中标出电流方向；
（3）通过导线横截面的电荷量q．42．（2019·天津·高考真题）如图所示，固定在水平面上间距为 的两条平行光滑金属导轨，垂直于导轨放
置的两根金属棒 和 长度也为 、电阻均为 ，两棒与导轨始终接触良好． 两端通过开关 与电
阻为 的单匝金属线圈相连，线圈内存在竖直向下均匀增加的磁场，磁通量变化率为常量 ．图中虚线右
侧有垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为 ． 的质量为 ，金属导轨足够长，电阻忽
略不计．
（1）闭合 ，若使 保持静止，需在其上加多大的水平恒力 ，并指出其方向；
（2）断开 ， 在上述恒力作用下，由静止开始到速度大小为 的加速过程中流过 的电荷量为 ，求
该过程安培力做的功 ．
43．（2016·全国·高考真题）如图，两条相距 的光滑平行金属导轨位于同一水平面（纸面）内，其左端接
一阻值为 的电阻；一与导轨垂直的金属棒置于两导轨上；在电阻、导轨和金属棒中间有一面积为 的区
域，区域中存在垂直于纸面向里的均匀磁场，磁感应强度大小为 随时间 的变化关系为 ，式中 为
常量；在金属棒右侧还有一匀强磁场区域，区域左边界 （虚线）与导轨垂直，磁场的磁感应强度大小
为 ，方向也垂直于纸面向里。某时刻，金属棒在一外加水平恒力的作用下从静止开始向右运动，在 时
刻恰好以速度 越过 ，此后向右做匀速运动，金属棒与导轨始终相互垂直并接触良好，它们的电阻均
忽略不计，求：
（1）在 到 时间间隔内，流过电阻的电荷量的绝对值；（2）在时刻 （ ）穿过回路的总磁通量和金属棒所受外加水平恒力的大小。
44．（2019·浙江·高考真题）【加试题】如图所示，倾角θ=370、间距l＝0.1m的足够长金属导轨底端接有
阻值R=0.1Ω的电阻，质量m=0.1kg的金属棒ab垂直导轨放置，与导轨间的动摩擦因数μ=0.45．建立原点
位于底端、方向沿导轨向上的坐标轴x．在0.2m≤x≤0.8m区间有垂直导轨平面向上的匀强磁场．从t=0时
刻起，棒ab在沿x轴正方向的外力F作用下从x=0处由静止开始沿斜面向上运动，其速度与位移x满足
v=kx（可导出a=kv）k=5s-1．当棒ab运动至x=0.2m处时，电阻R消耗的电功率P=0.12W，运动至
1
x=0.8m处时撤去外力F，此后棒ab将继续运动，最终返回至x=0处．棒ab始终保持与导轨垂直，不计其
2
它电阻，求：（提示：可以用F－x图象下的“面积”代表力F做的功
（1）磁感应强度B的大小
（2）外力F随位移x变化的关系式；
（3）在棒ab整个运动过程中，电阻R产生的焦耳热Q．
45．（2014·江苏·高考真题）如图所示，在匀强磁场中有一倾斜的平行金属导轨，导轨间距为L，长为
3d，导轨平面与水平面的夹角为θ，在导轨的中部刷有一段长为d的薄绝缘涂层。匀强磁场的磁感应强度
大小为B，方向与导轨平面垂直。质量为m的导体棒从导轨的顶端由静止释放，在滑上涂层之前已经做匀
速运动，并一直匀速滑到导轨底端。导体棒始终与导轨垂直，且仅与涂层间有摩擦，接在两导轨间的电阻
为R，其他部分的电阻均不计，重力加速度为g。求：
（1）导体棒与涂层间的动摩擦因数μ；（2）导体棒匀速运动的速度大小v；
（3）整个运动过程中，电阻产生的焦耳热Q。
46．（2015·四川·高考真题） 如图所示，金属导轨MNC和PQD，MN与PQ平行且间距为L，所在平面与
水平面夹角为α，N、Q连线与MN垂直，M、P间接有阻值为R的电阻；光滑直导轨NC和QD在同一水
平面内，与NQ的夹角都为锐角θ。均匀金属棒ab和ef质量均为m，长均为L，ab棒初始位置在水平导轨
上与NQ重合；ef棒垂直放在倾斜导轨上，与导轨间的动摩擦因数为μ（μ较小），由导轨上的小立柱1和
2阻挡而静止。空间有方向竖直的匀强磁场（图中未画出）。两金属棒与导轨保持良好接触。不计所有导
轨和ab棒的电阻，ef棒的阻值为R，最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，忽略感应电流产生的磁场，重
力加速度为g。
（1）若磁感应强度大小为B，给ab棒一个垂直于NQ、水平向右的速度v，在水平导轨上沿运动方向滑行
1
一段距离后停止，ef棒始终静止，求此过程ef棒上产生的热量；
（2）在（1）问过程中，ab棒滑行距离为d，求通过ab棒某横截面的电荷量；
（3）若ab棒以垂直于NQ的速度v 在水平导轨上向右匀速运动，并在NQ位置时取走小立柱1和2，且运
2
动过程中ef棒始终静止。求此状态下最强磁场的磁感应强度及此磁场下ab棒运动的最大距离。
47．（2017·浙江·高考真题）间距为 的两平行金属导轨由水平部分和倾斜部分平滑连接而成，如图所示,
倾角为θ的导轨处于大小为 ，方向垂直导轨平面向上的匀强磁场区间Ⅰ中，水平导轨上的无磁场区间静
止放置一质量为3 的“联动双杆”（由两根长为 的金属杆， 和 ，用长度为L的刚性绝缘杆连接而
成），在“联动双杆”右侧存在大小为 ，方向垂直导轨平面向上的匀强磁场区间Ⅱ，其长度大于L，质
量为 ，长为 的金属杆 ，从倾斜导轨上端释放，达到匀速后进入水平导轨（无能量损失），杆 与
“联动双杆”发生碰撞后杆 和 合在一起形成“联动三杆”，“联动三杆”继续沿水平导轨进入磁场
区间Ⅱ并从中滑出，运动过程中，杆 、 和 与导轨始终接触良好，且保持与导轨垂直．已知杆 、和 电阻均为 ．不计摩擦阻力和导轨
电阻，忽略磁场边界效应．求：
（1）杆 在倾斜导轨上匀速运动时的速度大小 ；
（2）联动三杆进入磁场区间II前的速度大小 ；
（3）联动三杆滑过磁场区间II产生的焦耳热
48．（2018·天津·高考真题）真空管道超高速列车的动力系统是一种将电能直接转换成平动动能的装置．
图1是某种动力系统的简化模型，图中粗实线表示固定在水平面上间距为l的两条平行光滑金属导轨，电
阻忽略不计，ab和cd是两根与导轨垂直，长度均为l，电阻均为R的金属棒，通过绝缘材料固定在列车底
部，并与导轨良好接触，其间距也为l，列车的总质量为m．列车启动前，ab、cd处于磁感应强度为B的
匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下，如图1所示，为使列车启动，需在M、N间连接电动势为E
的直流电源，电源内阻及导线电阻忽略不计，列车启动后电源自动关闭．
（1）要使列车向右运行，启动时图1中M、N哪个接电源正极，并简要说明理由；
（2）求刚接通电源时列车加速度a的大小；
（3）列车减速时，需在前方设置如图2所示的一系列磁感应强度为B的匀强磁场区域，磁场宽度和相邻磁
场间距均大于l．若某时刻列车的速度为 ，此时ab、cd均在无磁场区域，试讨论：要使列车停下来，前
方至少需要多少块这样的有界磁场？
49．（2018·浙江·高考真题）所图所示，匝数N=100、截面积s=1.0×10-2m2、电阻r=0.15Ω的线圈内有方向
垂直于线圈平面向上的随时间均匀增加的匀强磁场B，其变化率k=0.80T/s．线圈通过开关S连接两根相互
1
平行、间距d=0.20m的竖直导轨，下端连接阻值R=0.50Ω的电阻．一根阻值也为0.50Ω、质量m=1.0×10-2kg的导体棒ab搁置在等高的挡条上．在竖直导轨间的区域仅有垂直纸面的不随时间变化的匀强磁场B．
2
接通开关S后，棒对挡条的压力恰好为零．假设棒始终与导轨垂直，且与导轨接触良好，不计摩擦阻力和
导轨电阻．
（1）求磁感应强度B 的大小，并指出磁场方向；
2
（2）断开开关S后撤去挡条，棒开始下滑，经t=0.25s后下降了h=0.29m，求此过程棒上产生的热量．
50．（2017·江苏·高考真题）如图所示，两条相距d的平行金属导轨位于同一水平面内，其右端接一阻值
为R的电阻．质量为m的金属杆静置在导轨上，其左侧的矩形匀强磁场区域MNPQ的磁感应强度大小为
B、方向竖直向下．当该磁场区域以速度v 匀速地向右扫过金属杆后，金属杆的速度变为v．导轨和金属杆
0
的电阻不计，导轨光滑且足够长，杆在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触．求：
（1）MN刚扫过金属杆时，杆中感应电流的大小I；
（2）MN刚扫过金属杆时，杆的加速度大小a；
（3）PQ刚要离开金属杆时，感应电流的功率P．
51．（2017·上海·统考高考真题）如图，光滑平行金属导轨间距为L，与水平面夹角为θ，两导轨上端用阻
值为R的电阻相连，该装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面．质量为m的金
属杆ab以沿导轨平面向上的初速度v 从导轨底端开始运动，然后又返回到出发位置．在运动过程中，ab
0
与导轨垂直且接触良好，不计ab和导轨的电阻及空气阻力．
（1）求ab开始运动时的加速度a；
（2）分析并说明ab在整个运动过程中速度、加速度的变化情况；
（3）分析并比较ab上滑时间和下滑时间的长短．52．（2016·上海·统考高考真题）如图，一关于y轴对称的导体轨道位于水平面内，磁感应强度为B的匀
强磁场与平面垂直．一足够长，质量为m的直导体棒沿x轴方向置于轨道上，在外力F作用下从原点由静
止开始沿y轴正方向做加速度为a的匀加速直线运动，运动时棒与x轴始终平行．棒单位长度的电阻为ρ，
与电阻不计的轨道接触良好，运动中产生的热功率随棒位置的变化规律为P=ky （SI）．求：
（1）导体轨道的轨道方程y=f（x）；
（2）棒在运动过程中受到的安培力F 随y的变化关系；
m
（3）棒从y=0运动到y=L过程中外力F的功．
53．（2016·浙江·高考真题）小明设计的电磁健身器的简化装置如图所示，两根平行金属导轨相距l＝0.50
m，倾角θ＝53°，导轨上端串接一个R＝0.05 Ω的电阻．在导轨间长d＝0.56 m的区域内，存在方向垂直导
轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度B＝2.0 T．质量m＝4.0 kg的金属棒CD水平置于导轨上，用绝缘绳索
通过定滑轮与拉杆GH相连．CD棒的初始位置与磁场区域的下边界相距s＝0.24 m．一位健身者用恒力F
＝80 N拉动GH杆，CD棒由静止开始运动，上升过程中CD棒始终保持与导轨垂直．当CD棒到达磁场上
边界时健身者松手，触发恢复装置使CD棒回到初始位置(重力加速度g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，不计其它
电阻、摩擦力以及拉杆和绳索的质量)．求：
(1)CD棒进入磁场时速度v的大小；(2)CD棒进入磁场时所受的安培力F 的大小；
A
(3)在拉升CD棒的过程中，健身者所做的功W和电阻产生的焦耳热Q.
54．（2015·上海·统考高考真题）如图（a）两相距L=0.5m的平行金属导轨固定于水平面上，导轨左端与
阻值R=2Ω的电阻连接，导轨间虚线右侧存在垂直导轨平面的匀强磁场，质量m=0.2kg的金属杆垂直于导
轨上，与导轨接触良好，导轨与金属杆的电阻可忽略，杆在水平向右的恒定拉力作用下由静止开始运动，
并始终与导轨垂直，其v-t图像如图（b）所示，在15s时撤去拉力，同时使磁场随时间变化，从而保持杆
中电流为0，求：
（1）金属杆所受拉力的大小为F；
（2）0-15s匀强磁场的磁感应强度大小为 ；
（3）15-20s内磁感应强度随时间的变化规律．
55．（2015·北京·高考真题）如图所示，足够长的平行光滑金属导轨水平放置，宽度 ，一端连接
的电阻．导轨所在空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度 ．导体棒 放在导轨上，其
长度恰好等于导轨间距，与导轨接触良好．导轨和导体棒的电阻均可忽略不计．在平行于导轨的拉力 作
用下，导体棒沿导轨向右匀速运动，速度 ．求：
（ ）感应电动势 和感应电流 ；
（ ）在 时间内，拉力的冲量 的大小；
（ ）若将 换为电阻 的导体棒，其他条件不变，求导体棒两端的电压 ．
56．（2016·天津·高考真题）电磁缓速器是应用于车辆上以提高运行安全性的辅助制动装置，其工作原理是利用电磁阻尼作用减缓车辆的速度．电磁阻尼作用可以借助如下模型讨论：如图所示，将形状相同的两
根平行且足够长的铝条固定在光滑斜面上，斜面与水平方向夹角为θ．一质量为m的条形磁铁滑入两铝条
间，恰好匀速穿过，穿过时磁铁两端面与两铝条的间距始终保持恒定，其引起电磁感应的效果与磁铁不动、
铝条相对磁铁运动相同．磁铁端面是边长为d的正方形，由于磁铁距离铝条很近，磁铁端面正对两铝条区
域的磁场均可视为匀强磁场，磁感应强度为B，铝条的高度大于d，电阻率为ρ．为研究问题方便，铝条中
只考虑与磁铁正对部分的电阻和磁场，其他部分电阻和磁场可忽略不计，假设磁铁进入铝条间以后，减少
的机械能完全转化为铝条的内能，重力加速度为g．
（1）求铝条中与磁铁正对部分的电流I；
（2）若两铝条的宽度均为b，推导磁铁匀速穿过铝条间时速度v的表达式；
（3）在其他条件不变的情况下，仅将两铝条更换为宽度b'>b的铝条，磁铁仍以速度v进入铝条间，试简
要分析说明磁铁在铝条间运动时的加速度和速度如何变化．
57．（2014·上海·统考高考真题）如图，水平面内有一光滑金属导轨，其MN、PQ边的电阻不计，MP边
的电阻阻值R=1.5Ω，MN与MP的夹角为135°，PQ与MP垂直，MP边长度小于1m．将质量m=2kg，电
阻不计的足够长直导体棒搁在导轨上，并与MP平行．棒与MN、PQ交点G、H间的距离L=4m.空间存在
垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度B=0.5T．在外力作用下，棒由GH处以一定的初速度向左做直线
运动，运动时回路中的电流强度始终与初始时的电流强度相等．
（1）若初速度v=3m/s，求棒在GH处所受的安培力大小F．
1 A
（2）若初速度v=1.5m/s，求棒向左移动距离2m到达EF所需时间Δt．
2
（3）在棒由GH处向左移动2m到达EF处的过程中，外力做功W=7J，求初速度v．
358．（2014·北京·高考真题）导体切割磁感线的运动可以从宏观和微观两个角度来认识。如图所示，固定
于水平面的U形导线框处于竖直向下的匀强磁场中，金属直导线MN在与其垂直的水平恒力F的作用下，
在导线框上以速度v做匀速运动，速度v与恒力F方向相同，导线MN始终与导线框形成闭合电路，已知
导线MN电阻为 R，其长度L，恰好等于平行轨道间距，磁场的磁感应强度为B，忽略摩擦阻力和导线框
的电阻。
（1）通过公式推导验证：在时间内 ， F对导线MN所做的功W等于电路获得的电能 ，也等于导线
MN中产生的焦耳热Q；
（2）若导线的质量m=8.0g，长度L=0.1m，感应电流I=1.0A，假设一个原子贡献1个自由电子，计算导线
MN中电子沿导线长度方向定向移动的平均速率v（下表中列出了一些你可能用到的数据）。
阿伏加德罗常数 6.0×1023mol-1
元电荷e 1.6×10-19C
导线MN的摩尔质量
6.0×10-2kg/mol
μ
（3）经典物理学认为，金属的电阻源于定向运动自由电子和金属离子（金属原子失去电子后剩余部分）
的碰撞，展开你想象的翅膀，给出一个合理的自由电子运动模型：在此基础上，求出导线MN中金属离子
对一个自由电子沿导线长度方向的平均作用力 的表达式。
59．（2014·安徽·高考真题）如图1所示，匀强磁场的磁感应强度 为 。其方向垂直于倾角 为 的
斜面向上。绝缘斜面上固定有 形状的光滑金属导轨 （电阻忽略不计）， 和 长度均为 ，
连线水平，长为 。以 中点 为原点、 为 轴建立一维坐标系 。一根粗细均匀的金属杆
，长度 为 、质量 为 、电阻 为 ，在拉力 的作用下，从 处以恒定的速度 ，
在导轨上沿 轴正向运动（金属杆与导轨接触良好）。 取
（1）求金属杆 运动过程中产生的感应电动势 及运动到 处电势差 ；
（2）推导金属杆 从 处运动到 点过程中拉力 与位置坐标 的关系式，并在图2中画出 关系
图像；（3）求金属杆 从 处运动到 点的全过程产生的焦耳热。
60．（2014·天津·高考真题）如图所示，两根足够长的平行金属导轨固定在倾角θ＝30°的斜面上，导轨电
阻不计，间距L＝0.4 m，导轨所在空间被分成区域Ⅰ和Ⅱ，两区域的边界与斜面的交线为MN.Ⅰ中的匀强
磁场方向垂直斜面向下，Ⅱ中的匀强磁场方向垂直斜面向上，两磁场的磁感应强度大小均为B＝0.5 T．在
区域Ⅰ中，将质量m＝0.1 kg，电阻R＝0.1 Ω的金属条ab放在导轨上，ab刚好不下滑．然后，在区域Ⅱ
1 1
中将质量m＝0.4 kg，电阻R＝0.1 Ω的光滑导体棒cd置于导轨上，由静止开始下滑．cd在滑动过程中始
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终处于区域Ⅱ的磁场中，ab，cd始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，取g＝10 m/s2，问：
（1）cd下滑的过程中，ab中的电流方向；
（2）ab刚要向上滑动时，cd的速度v多大；
（3）从cd开始下滑到ab刚要向上滑动的过程中，cd滑动的距离x＝3.8 m，此过程中ab上产生的热量Q
是多少．
