湖南省衡阳市第八中学2024届高三上学期10月月考（二）数学(1)_2023年10月_01每日更新_5号_2024届湖南省衡阳市第八中学高三上学期10月月考（二）

衡阳市八中 2024 届高三第 2 次月考 数 学 试 题 命题人：刘瑶 审题人：颜军 注意事项：本试卷满分为150分，时量为120分钟 一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分） 1．若集合A{x|0x2}，B{x|x2 1}，则AB （ ） A．{x|0 x1} B.{x|1x2} C．{x|0 x2} D．{x x 0或x1} 2．在复平面内，复数 对应的点的坐标为 （ ） A．（ ，﹣ ） B．（ ， ） C．（0，﹣1） D．（0，1） f(x ) f(x ) 3．定义在R上的偶函数 f(x)满足：对任意的x，x [0,)(x  x )，有 2 1 0，则 （ ） 1 2 1 2 x x 2 1 A． f(1) f(2) f(3) B． f(2) f(1) f(3) C． f(3) f(1) f(2) D． f(3) f(2) f(1) 4．已知等差数列a 的公差为d，前n项和为S ，则“d 0”是“S S S S ”的 （ ） n n 3n 2n 2n n A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．某校高三有1000人参加考试，统计发现数学成绩近似服从正态分布N(105，σ2)，且成绩优良（不低于120分） 的人数为360，则此次考试数学成绩及格（不低于90分）的人数约为 （ ） A．360 B．640 C．720 D．780 x2 y2   6．椭圆 a2  3 1 a  3 的左、右焦点分别为F 1 ，F 2 ，A为上顶点，若△AF 1 F 2 的面积为 3 ，则△AF 1 F 2 的周长为 （ ） A．8 B．7 C．6 D．5 7．设函数 f x  axmexaxln x（其中e为自然对数的底数），若存在实数a使得 f x0恒成立，则实数m 的取值范围是 （ ） A．   1 ,   B．   1 ,   C．  e2,  D．  , 1   e2  e   e2  8．如图，在三棱锥SABC中，SASC  AC 2 2,ABBC 2，二面角SACB的正切值是 2，则三棱锥 SABC外接球的表面积是 （ ） 4 3 A．12π B．4π C．4 3π D． π 3 二、多选题（本大题共4小题，每题5分，共20分） 试卷第1页，共4页 {#{QQABJQKEggioABAAAAgCEwHgCEOQkACCCAoGhAAEoAIAQAFABAA=}#}  9．已知向量a(1,3),b(2,4)，则下列结论正确的是 （ ）        3    A．(ab)a B．|2ab| 10 C．向量a,b的夹角为 D．b在a方向上的投影向量是 10a 4 10．设等比数列a 的前n项和为S ，前n项积为T ，若满足0a 1，a a 1，a 1a 10，则下 n n n 1 7 4040 2023 2024 列选项正确的是 （ ） A．a 为递减数列 B．S 1S n 2023 2024 C．当n2023时，T 最小 D．当T 1时，n的最小值为4047 n n 11．已知函数 f xcos2x2sinx ，则 （ ） A．函数 f x在区间    ,  上单调递增 B．直线x  是函数 f x图象的一条对称轴 6 2 2 C．函数 f x的值域为   1, 3  D．方程 f xa  x0,2π 最多有8个根，且这些根之和为8π  2 12．已知直线l:ykx2交y轴于点P，圆M :x22 y2 1，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B， 直线AB与MP交于点C，则 （ ） 15 A．若直线l与圆M相切，则k  B．当k 2时，四边形PAMB的面积为2 19 15 7  C．直线AB经过一定点 D．已知点Q ,0，则CQ 为定值 4  三、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分） 13．在数学中，有一个被称为自然常数（又叫欧拉数）的常数e2.71828．小明在设置银行卡的数字密码时，打算 将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻， 那么小明可以设置的不同密码共有 个． 14．曲线 f xxaex在点 0, f 0处的切线与直线y 1 x垂直，则a . 2 15． 底面ABCD为菱形且侧棱AE底面ABCD的四棱柱被一平面截取后得到如图所示的 几何体.若DA DH  DB 4，AECG3.则三棱锥FBEG的体积为 __________________ 16．设a0，平行于x轴的直线l:ya分别与函数y2x和y2x1的图像交于点A，B，若函数y2x的图像上 存在点C，满足ABC为等边三角形，则a ． 四、解答题（本大题共6小题，共70分） 试卷第2页，共4页 {#{QQABJQKEggioABAAAAgCEwHgCEOQkACCCAoGhAAEoAIAQAFABAA=}#}3   17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为 ，ABAC 1且c>b． 2 (1)求角A的大小； 3 (2)设M为BC的中点，且AM  ，求a的长度． 2 18．某工艺品加工厂加工某工艺品需要经过a，b，c三道工序，且每道工序的加工都相互独立，三道工序加工合格 3 1 1 率分别为 ， ， ．三道工序都合格的工艺品为特等品；恰有两道工序合格的工艺品为一等品；恰有一道工序合 4 2 2 格的工艺品为二等品；其余为废品． (1)求加工一件工艺品不是废品的概率； (2)若每个工艺品为特等品可获利300元，一等品可获利100元，二等品将使工厂亏损20元，废品将使工厂亏损100 元，记一件工艺品经过三道工序后最终获利X元，求X的分布列和数学期望． 19．在图1中，ABC为等腰直角三角形，∠B=90°，AB2 2，ACD为等边三角形，O为AC边的中点，E在 BC边上，且EC2BE，沿AC将ACD进行折叠，使点D运动到点F的位置，如图2，连接FO，FB，FE，使得 FB4． (1)证明：FO平面ABC． (2)求二面角EFAC的余弦值． 20．若数列A 满足A  A2，则称数列A 为“平方递推数列”．已知数列a 中，a 9，点a ,a 在函数 n n1 n n n 1 n n1 f(x) x2 2x的图象上，其中n为正整数， (1)证明：数列a 1是“平方递推数列”，且数列  lga 1 为等比数列； n n a,ab, (2)设b lga 1,c 2n4，定义a*b ，且记d b *c ，求数列d 的前n项和S ． n n n b,ab, n n n n n 试卷第3页，共4页 {#{QQABJQKEggioABAAAAgCEwHgCEOQkACCCAoGhAAEoAIAQAFABAA=}#}x2 y2 21．已知双曲线C:  1  a0,b0 的右焦点，右顶点分别为F，A，B0,b， AF 1，点M 在线段AB上， a2 b2 且满足 BM  3 MA，直线OM 的斜率为1，O为坐标原点. (1)求双曲线C的方程. (2)过点F的直线l与双曲线C的右支相交于P，Q两点，在x轴上是否存在与F 不同的定点E，使得 EP  FQ  EQ FP 恒成立？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.  1 22．已知函数 f xlnxax ，a0.  x (1)讨论 f x极值点的个数； (2)若 f x恰有三个零点t ,t ,t t t t 和两个极值点x,x x x  . 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 （ⅰ）证明： f x  f x 0； 1 2 1mem （ⅱ）若mn，且mlnmnlnn，证明： nlnn1 . tt t 12 3 试卷第4页，共4页 {#{QQABJQKEggioABAAAAgCEwHgCEOQkACCCAoGhAAEoAIAQAFABAA=}#}参考答案： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A C D C B C A A AC BC BCD ACD 8 3 6 13.36 14.1 15. 16． 3 3 2 4．C【详解】因为数列a 是公差为d的等差数列，所以 n 3n(3n1) 2n(2n1) n(5n1) S S 3na  d2na  d na  d， 3n 2n 1 2 1 2 1 2 2n(2n1) n(n1) n(3n1) S S 2na  dna  d na  d，所以S S (S S )n2d， 2n n 1 2 1 2 1 2 3n 2n 2n n 若等差数列a 的公差d 0，则n2d 0，所以S S S S ，故充分性成立； n 3n 2n 2n n 若S S S S ，则S S (S S )n2d 0，所以d 0，故必要性成立， 3n 2n 2n n 3n 2n 2n n 所以“d 0”是“S S S S ”的充分必要条件，故选：C. 3n 2n 2n n 360 640 5．B【详解】因为P(X 90)P(X 120) ，所以P(X 90)1P(X 90) ，所以此次考试数学成绩 1000 1000 640 及格（不低于90分）的人数约为1000 640.故选：B 1000 x2 y2   6．C【详解】设椭圆  1 a  3 的半短轴长为b，半焦距为c， a2 3 1 则b 3，△AFF 的面积S  FF b 3c 1 2 2 1 2 由题知 3c 3，所以c1， a b2c2 2 ， 由椭圆的定义知 AF  AF  2a4，又 FF 2c2，所以△AFF 的周长为426.故选：C. 1 2 1 2 1 2 7．A【分析】由题意可得(a mex )(a lnx )0 ，令gx lnx ,h(x) mex ，函数y gx和函数yhx的图象， x x x x 一个在直线y a上方，一个在直线y a下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，即可得出答案． 【详解】函数 f x的定义域为(0,)， 由 f x0，得(axmex)axlnx0，所以(a mex )(a lnx )0 ，令g(x) lnx ,h(x) mex ， x x x x 由题意知，函数y gx和函数yhx的图象，一个在直线y a上方，一个在直y a下方，等价于一个函数的 最小值大于另一个函数的最大值， lnx 1lnx 由g(x) (x0)，得g(x) ，所以当x0,e时，gx0,gx单调递增， x x2 lne 1 当x(e,)时，gx0,gx单调递减，所以gx g(e)  ，g(x)没有最小值， max e e 答案第1页，共11页 {#{QQABJQKEggioABAAAAgCEwHgCEOQkACCCAoGhAAEoAIAQAFABAA=}#}mex mexxmex mex(x1) 由h(x) (x0)，得h(x)  ， x x2 x2 当m0时，在x0,1上hx0,hx单调递增，在x(1,)上hx0,hx单调递减，所以hx有最大值， 无最小值，不合题意， 当m0时，在x0,1上hx0,hx单调递减，在x(1,)上hx0,hx单调递增，所以h(x) h(1)me， min 1 1 1 所以h1 ge即me ，所以m ，即m的取值范围为( ,)．故选：A． e e2 e2 8．A【分析】利用二面角SACB的正切值求得SB，由此判断出BS BABC2，且BS,BA,BC两两垂直，由 此将三棱锥补形成正方体，利用正方体的外接球半径，求得外接球的表面积. 【详解】设E是AC的中点，连接EB,ES，由于SASC,ABBC， 所以AC SE,AC BE ，所以SEB是二面角SACB的平面角，所以tanSEB 2，  sinSEB tanSEB 3 由 cosSEB 得cosSEB .  sin2SEBcos2SEB1 3  2  2 在SAC中，SE SA2 AE2  2 2  2  6，  2 在ABE中，BE AB2 AE2  22  2  2， 在△SEB中，由余弦定理得： SB SE2BE22SEBEcosSEB 2 ，所以BS BABC2， 由于SASC AC2 2，所以BS,BA,BC 两两垂直. 由此将三棱锥补形成正方体如下图所示，正方体的边长为2，则体对角线长为2 3. 设正方体外接球的半径为R，则 R 3 ，所以外接球的表面积为4πR2212π，故选：A. r r r 9．AC【详解】对于A，a  b  3,1，由  a  b   a  31130，则  ab  a，故A正确；     对于B，2ab21,32,44,2， 2ab  4222 2 5，故B错误；         ab 10 2 对于C，ab1234 10，a  1232  10，b  2242 2 5，则cos a,b      ， a b 102 5 2   3 即向量a,b的夹角为 ，故C正确； 4   对于D，b  在a  方向上的投影向量是 a   2 b a    1 1 0 0 a  a  ，故D错误.故选：AC. a 10．BC【详解】A.由条件可知，a 0，a 与a 同号，所以a 0，则a 0，而a aq4039 0，则公比q0， 1 1 7 7 4040 4040 1 若0q1，数列单调递减，则0a ,a 1，那么a a 1，与已知矛盾， 7 4040 7 4040 答案第2页，共11页 {#{QQABJQKEggioABAAAAgCEwHgCEOQkACCCAoGhAAEoAIAQAFABAA=}#}若q1，则0a a a 1，则那么a a 1，与已知矛盾， 1 7 4040 7 4040 只有当q 1，才存在q，使a a 1，所以等比数列a 单调递增，故A错误； 7 4040 n B.因为a 1a 10，a 单调递增，所以a 1,a 1， 2023 2024 n 2023 2024 则a S S 1，即S 1S ，故B正确； 2024 2024 2023 2023 2024 C.因为q 1，且a 1,a 1，所以当n2023时，T 最小，故C正确； 2023 2024 n D.根据等比数列的性质可知，a a aa 1，aa a2 1，所以当T 1时，n的最小值为4046，故D错 7 4040 1 4046 1 4045 2023 n 误.故选：BC 11．BCD【分析】根据函数的周期性与对称性，结合复合函数的单调性作出图象即可解决问题. 【详解】 f xcos2x2sinx ,xR， f(x)cos(2x)2|sin(x)|cos2x2|sinx| f(x) ， 则 f(x)是偶函数，图象关于y轴对称. f(x)cos2(x)2sin(x) cos2x2sinx  f(x)， f(x)是周期函数，周期T .    又f( x)cos2( x)2sin( x) cos2x2cosx 2 2 2    且 f( x)cos2( x)2sin( x) cos2x2cosx， 2 2 2    k f( x) f( x)，即 f(x)图象关于x 轴对称，故直线x ,kZ都是 f(x)的对称轴. 2 2 2 2   当x  0,  时，sinx0，  2 1 3 则 f(x)cos2x2sinx2sin2x2sinx12(sinx )2 ， 2 2 1 3   令tsinx，则 f(x)可看成由y2(t )2 与tsinx复合而成的函数，t sinx,x  0,  单调递增， 2 2  2    1 1 3 当x  0,  ，则t  0,  ，y2(t )2 单调递增，则 f(x)单调递增；  6  2 2 2   1  1 3 当x  ,  ，则t  ,1  ，y2(t )2 单调递减，则 f(x)单调递减； 6 2 2  2 2   3 且 f(x)  f(0) f( )1, f(x)  f( ) . min 2 max 6 2 结合以上性质，作出函数 f xcos2x2sinx ,x0,2π的大致图象.   选项A，函数 f x在区间 , 上单调递减，故A项错误； 6 2 选项B，直线x  是函数 f x图象的一条对称轴，故B项正确； 2 答案第3页，共11页 {#{QQABJQKEggioABAAAAgCEwHgCEOQkACCCAoGhAAEoAIAQAFABAA=}#} 3  3 选项C，当x[0,]时，函数 f x的值域为  1,  ，由函数周期T π，函数 f x的值域为  1,  ，故C项正确；  2  2 选项D，如图可知，方程 f xa最多有8个根，设为x(i1,2,3,,8)，不妨设x x x x ， i 1 2 3 8 当x0,2π时，函数 f(x)的图象关于x对称， 8 则x (x x )(x x )(x x )(x x )428， i 1 8 2 7 3 6 4 5 i1 即这些根之和为8π，故D项正确.故选：BCD. 12．ACD 【分析】根据圆心到直线距离等于半径建立等式，解出k即可判断A；根据k求出P0,4，进而求出 PM ，根据相 切可得四边形面积等于两个全等的直角三角形面积和，根据三角形面积公式即可求出结果；根据相切可知A,M,B,P 四点共圆，且PM为直径，求出圆的方程即可得弦所在的直线方程，进而判断C；根据直线AB过定点及PM  AB可 得MCN 90，即C在以MN为直径的圆上，求出圆的方程可发现圆心为点Q，即可判断D. 4k 15 【详解】解：对于A，若直线l与圆M相切，则圆心到直线的距离 1，解得k  ，所以A正确； 1k2 15 对于B，当k 2时，P0,4，M2,0， PM  164 2 5， 因为PA,PB为圆的两条切线，所以PAM PBM 90， 所以四边形PAMB的面积S 2S  AM  PA 1 PM 21 19，所以B错误； △PAM 对于C，因为P0,2k，M2,0，且PAM PBM 90， 所以A,M,B,P四点共圆，且PM为直径，所以该圆圆心为1,k，半径为 44k2  1k2 ， 2 所以圆的方程为：x12yk2 1k2， 因为AB是该圆和圆M 的相交弦，所以直线AB的方程为两圆方程相减， 即x12yk2x22y2 1k21，化简可得：AB:2x2ky30， 3  所以直线AB经过定点N ,0，所以C正确； 2  3  对于D，因为PM  AB，所以MCA90，因为N ,0在直线AB上，所以MCN 90 2  1 3  7  即点C在以MN为直径的圆上，因为M2,0，N ,0，所以圆心为 ,0，半径为 4 1， 2  4   2 4  7 2 1 7  所以圆的方程为： x   y2  ，圆心为Q ,0，  4 16 4  答案第4页，共11页 {#{QQABJQKEggioABAAAAgCEwHgCEOQkACCCAoGhAAEoAIAQAFABAA=}#}1 1 因为点C在该圆上，所以CQ  为定值 ，所以D正确．故选：ACD 4 4 13．36． 【详解】如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻， 两个2捆绑看作一个元素与7，1全排列，排好后有4个空位，两个8插入其中的2个空位中，注意到两个2，两个 8均为相同元素，那么小明可以设置的不同密码共有A3C2 36．故答案为：36. 3 4 14．1 【详解】 f x在 0, f 0处的切线与直线y 1 x垂直， f02， 2 又 fxex xaex xa1ex， f0a12，解得：a1.故答案为：1. 8 3 15. 3 【详解】设ACBDO，EGHF P， 由已知可得：平面ADHE//平面BCGF， 因为平面ADHE平面EFGH EH ，平面BCGF平面EFGH FG， 所以EH//FG，同理可得：EF//HG，所以四边形EFGH 为平行四边形， 所以P为EG的中点，O为AC的中点，所以OP//AE，所以OP3，DH 4，所以BF 2. 1 所以S  BFBC 4. BFG 2 因为EA//FB，FB平面BCGF，EA女平面BCGF，所以EA//平面BCGF， 所以点A到平面BCGF的距离等于点E到平面BCGF的距离，为2 3. 1 8 3 所以V V V  S 2 3  . FBEG EBGF ABGF 3 BFG 3 【点睛】求三棱锥的体积的时候，要注意利用图形的特点，看把哪个点当成顶点更好计算. 6 16． 3 2 【详解】直线l:ya，由2x a，得xlog a，即点Alog a,a， 2 2 由2x1 a，得xlog a1，即点Blog a1,a，于是 AB 1， 2 2 3 如图，取AB的中点D，连接CD，由正ABC，得CD AB，CD  ， 2 1 3 显然点C不可能在直线l上方，因此点C(log a ,a )，而点C在函数y2x的图象上， 2 2 2 答案第5页，共11页 {#{QQABJQKEggioABAAAAgCEwHgCEOQkACCCAoGhAAEoAIAQAFABAA=}#}  则a 3 2 log2a 1 2，即a 3  a ，解得 a 3  3 2 2  3 6 ，所以a 3 6 . 2 2 2 2 2 42 2 2 6 故答案为： 3 2 2 17．(1)A ，(2)a= 7 3 3 1 3 【详解】（1）因为△ABC的面积为 ，所以 bcsinA ，即bcsinA 3， 2 2 2   bcsinA 因为ABAC 1，所以bccosA1，所以  3，得tanA 3， bccosA 2 因为A0,，所以A 3 2 2 （2）因为A ，所以bcsin  3，得bc2， 3 3 在ABC中，由余弦定理得a2 b2c22bccosAb2c22， 3 1  a2c2 3 1 1 AM2BM2AB2 4 4 在△ABM 中，AM  ，BM  BC  a,ABc，由余弦定理得cosAMB  ， 2 2 2 2AM BM 3 1 2  a 2 2 3 1  a2b2 3 1 1 AM2CM2AC2 4 4 在△ACM 中，AM  ，CM  BC  a,AC b，由余弦定理得cosAMC  ， 2 2 2 2AMCM 3 1 2  a 2 2 因为AMBAMC，所以cosAMBcosAMC0， 3 1 3 1  a2c2  a2b2 4 4 4 4 3 1 3 1 所以  0，所以  a2c2b2 0，得b2c2   a2， 3 1 3 1 2 2 2 2 2  a 2  a 2 2 2 2 3 1 所以a2   a22，得a2 7，所以a= 7 2 2 15 175 18．(1) ；(2)分布列见解析，数学期望为 .. 16 2  3  1  1 1 【详解】（1）记“加工一件工艺品为废品”为事件A，则PA1 1 1  ，  4  2  2 16 则加工一件工艺品不是废品的的概率P  A  1PA 15 ． 16 （2）由题意可知随机变量X的所有可能取值为-100，-20，100，300， 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 5 PX 100 ，PX 20          ， 16 4 2 2 4 2 2 4 2 2 16 3 1 1 3 1 1 1 1 1 7 3 1 1 3 PX 100          ，PX 300    ， 4 2 2 4 2 2 4 2 2 16 4 2 2 16 则随机变量X的分布列为： 答案第6页，共11页 {#{QQABJQKEggioABAAAAgCEwHgCEOQkACCCAoGhAAEoAIAQAFABAA=}#}X -100 -20 100 300 1 5 7 3 P 16 16 16 16 1 5 7 3 175 故EX100 20 100 300  ． 16 16 16 16 2 3 19．(1)证明见解析(2) 2 【详解】（1）证明：连接OB， 因为ABC为等腰直角三角形，ÐB=90°，AB2 2，所以AC4， 1 因为O为AC边的中点，所以OB AC2， 2 在等边三角形FAC中，AF  ACFC4， 因为O为AC边的中点，所以FO AC，则 FO AF2 AO2 2 3 ， 又FB4，所以FO2 OB2 FB2，即FOOB， 因为ACOBO，AC平面ABC，OB平面ABC，所以FO平面ABC． （2）方法一：因为ABC是等腰直角三角形，ABC 90，O为边AC中点， 所以OB AC，    由（1）得FO平面ABC，则以O为坐标原点，OB，OC，OF的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角 坐标系，则A0,2,0，E   4 , 2 ,0  ，F  0,0,2 3  ，所以  A  F    0,2,2 3  ，  A  E     4 , 8 ,0  ， 3 3  3 3   设平面FAE的法向量为nx,y,z，   2y2 3z0  AFn 0     由  ，得4 8 ，令z1，得n 2 3, 3,1 ， AEn 0  x y0 3 3  易知平面FAC的一个法向量为m1,0,0，设二面角EFAC的大小为θ，   mn 3 则|cos|    ， m n 2 3 由图可知二面角EFAC为锐角，所以二面角EFAC的余弦值为 ． 2 方法二： 作EM  AC，垂足为M，作MN  AF，垂足为N，连接EN， 因为FO平面ABC，EM 平面ABC，所以EM FO， 又因为ACFOO，AC,FO平面AFC，所以EM 平面ACF， 答案第7页，共11页 {#{QQABJQKEggioABAAAAgCEwHgCEOQkACCCAoGhAAEoAIAQAFABAA=}#}又AF 平面AFC，所以EM  AF ， 又MN  AF，MNEM M，MN,EM 平面EMN ，所以AF 平面EMN ， 又EN 平面EMN ，所以AF⊥EN，又平面AFC平面AEF  AF，所以二面角EFAC的平面角为ENM ， EM EC CM 2 4 1 2 因为EM∥OB，所以    ，所以EM  ，OM  OC ， OB BC OC 3 3 3 3 2 8 8 4 3 在RtAMN中，FAC60，AM  AOOM 2  ，所以MN  sin60 ， 3 3 3 3 4 2 4 3 2 8 MN 3 3 所以EN  EM2 MN2         ，所以cosENM   ，即二面角EFAC的余弦值为 ． 3  3  3 EN 2 2  2n1,n4且nN*, 20．(1)证明见解析(2)S  n n25n21,n4且nN*. 【详解】（1）点a ,a 在函数 f(x) x2 2x的图象上，a a22a ， n n1 n1 n n a 1a 12 ,a 1是“平方递推数列”． n1 n n 因为lga 1lg(91)10，对a 1a 12两边同时取对数得lga 12lga 1， 1 n1 n n1 n ∴数列  lga 1 是以1为首项，2为公比的等比数列． n （2）由（1）知b lga 112n12n1， n n 由数列b 、c 的通项公式得，当n4时，b c ；当n4时，b c ． n n n n n n a,ab,  2n1,n4，nN*, 又由a*b d b *c ，得d  b,ab, n n n n 2n4,n4，nN* 12n 当n4且nN*时，S b b   2n1； n 1 n 12 当n4且nN*时，S b b b b c c c n 1 2 3 4 5 6 n   241   (n4)(142n4) n25n21， 2  2n1,n4且nN*, 综上，S  n n25n21,n4且nN*. y2 1  21．(1)x2 1(2)存在，E ,0 3 2  【分析】（1）由 AF 1， BM  3 MA，直线OM 的斜率为1，求得a,b,c之间的关系式，解得a,b的值，进而求 答案第8页，共11页 {#{QQABJQKEggioABAAAAgCEwHgCEOQkACCCAoGhAAEoAIAQAFABAA=}#}出双曲线的方程； （2）设直线PQ的方程，与双曲线的方程联立，可得两根之和及两根之积，由等式成立，可得EF为PEQ的角平 分线，可得直线EP,EQ的斜率之和为0，整理可得参数的值，即求出E的坐标． 【详解】（1）设c2 a2b2c0，所以Fc,0，Aa,0，B0,b，  3 1  因为点M 在线段AB上，且满足 BM  3 MA，所以点M  a, b  ，  31 31  1 b 31 b 因为直线OM 的斜率为1，所以 1，所以  3， 3 a a 31 y2 因为 AF 1，所以ca1，解得a1，b 3，c2. 所以双曲线C的方程为x2 1. 3 （2）假设在x轴上存在与F 不同的定点E，使得 EP  FQ  EQ FP 恒成立， 当直线l的斜率不存在时，E在x轴上任意位置，都有 EP  FQ  EQ FP ； 当直线l的斜率存在且不为0时，设Et,0，直线l的方程为xky2， 3 3 直线l与双曲线C的右支相交于P，Q两点，则 k  且k 0， 3 3  y2 设Px,y ，Qx ,y ，由   x2 3 1 ，得  3k21  y212ky90， 3k210，36k2360， 1 1 2 2  xky2 12k 9 所以y y  ，y y  ， 1 2 3k21 1 2 3k21 EP FP 因为 EP  FQ  EQ FP ，即  ，所以EF平分PEQ，k k 0， EQ FQ EP EQ y y y y 有 1  2 0，即 1  2 0，得2ky y 2ty y 0， x t x t ky 2t ky 2t 1 2 1 2 1 2 1 2 9  12k  1 所以2k 2t  0，由k 0，解得t  . 3k21  3k21 2 1  综上所述，存在与F 不同的定点E，使得 EP  FQ  EQ FP 恒成立，且E ,0. 2  【点睛】方法点睛： 解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关 系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为 0或不存在等特殊情形，要强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、 弦长、斜率、三角形的面积等问题． 答案第9页，共11页 {#{QQABJQKEggioABAAAAgCEwHgCEOQkACCCAoGhAAEoAIAQAFABAA=}#}1 1 22．(1)当a 时, f x无极值点;当0a 时,所以 f x有两个极值点； 2 2 (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析. 【分析】（1）先求导，对a进行讨论，研究单调性可得函数的极值； 1 1 （2）(i)由(1)知: 0a ,且xx 1,,又得出 f  fx，即可得证； 2 1 2 x 1 1mem (ii)易得tt t 1，令hx xlnx,x0,可得0m n1，要证明: nlnn1，只需 12 3 e tt t 12 3 证:ln1m1mlnn1lnlnn1，只需证:1mlnn1 (显然,易证nlnn1)，即证明:mn1，又因为 1 mlnmnlnn,所以mnnnlnn，令xxxlnx , x1,利用导数证明n1即可. e 1 a ax2 xa 【详解】（1）由题知: fx a   x0， x x2 x2 设函数gxax2xa, 1 当a 时,gx开口向上,14a20,所以 fx0, f x在0,上单调递减,无极值点； 2 当0a 1 时, gx0在0,上有两个解x  1 14a2 ,x  1 14a2 , 2 1 2a 2 2a 又因为xx 1,所以 f x在0,x 上单调递减,在x，x 上单调递增,在x ,上单调递减. 1 2 1 1 2 2 所以 f x有两个极值点. 1 1 综上:当a 时, f x无极值点;当0a 时,所以 f x有两个极值点. 2 2 1 （2）(i)由(1)知: 0a ,且xx 1, 1 2 2 1 1 1  1   1  又因为 f  ln a xlnxa xf x ,所以 f x  f x  f x  f   0. x x x  x  1 2 1 x  1 1 1 (ii)由(i)知: f  fx ,0a ,t x t 1x t ,所以tt 1,所以tt t 1. x 2 1 1 2 2 3 13 12 3  1 1  令hx xlnx,x0,hxlnx1,所以hx在0, 上单调递减,在 ,上单调递增.  e e  1 因为x1时,hx >0;0 x1时,hx <0.所以0m n1. e 1mem 所以,要证明: nlnn1 ,只需证: 1mem nlnn1 ,只需证: ln  1mem  ln  nlnn1 , tt t 12 3 ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ 只需证: ln1mmlnnlnlnn1 ,只需证:ln1m1mlnn1lnlnn1 , 答案第10页，共11页 {#{QQABJQKEggioABAAAAgCEwHgCEOQkACCCAoGhAAEoAIAQAFABAA=}#}又因为txlnxx在0,上单调递增,所以只需证:1mlnn1. 1  1 x1 1  令vxxlnx1  x1，所以vx1  0，所以函数vx在 ,1上单调递减； e  x x e  所以vxv10，即nlnn1.所以，要证：1mlnn1，只需证：1mn，即证明:mn1. 1 因为0m ,所以lnm1,所以mlnmm.又因为mlnmnlnn,所以mnlnn,所以mnnnlnn. e 1 1  令xxxlnx , x1,则xlnx0,所以x在 ,1上单调递增,所以n11, e e  1mem 所以mn1,所以 nlnn1成立. tt t 12 3 【点睛】方法点睛： 利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式 f xgx（或 f xgx）转化为证明 f  x g  x 0（或 f  x g  x 0）， 进而构造辅助函数hx f xgx； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见结论放缩； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 答案第11页，共11页 {#{QQABJQKEggioABAAAAgCEwHgCEOQkACCCAoGhAAEoAIAQAFABAA=}#}