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2.5.2 圆与圆的位置关系（同步练习）
一、选择题
1.圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
2.与直线x－y－4＝0和圆x2＋y2＋2x－2y＝0都相切的半径最小的圆的方程是(
)
A.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
C.(x－1)2＋(y＋1)2＝2 D.(x－1)2＋(y＋1)2＝4
3.圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为( )
A. B.
C.2 D.3
4.若圆O ：x2＋y2＝1与圆O ：(x－a)2＋(y－2a)2＝4有公共点，则实数a的取值
1 2
范围是( )
A.∪ B.
C.∪ D.
5.已知点M在圆C ：(x＋3)2＋(y－1)2＝4上，点N在圆C ：(x－1)2＋(y＋2)2＝
1 2
4上，则|MN|的最大值是( )
A.5 B.7
C.9 D.11
6.已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程
是( )
A.(x－5)2＋(y－7)2＝25 B.(x－5)2＋(y－7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15
C.(x－5)2＋(y－7)2＝9 D.(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9
7.已知P，Q分别为圆M：(x－6)2＋(y－3)2＝4与圆N：(x＋4)2＋(y－2)2＝1上
的动点，A为x轴上的动点，则|AP|＋|AQ|的最小值为( )
A.－3 B.5－3 C.7－3 D.
8.(多选)已知圆 C ：x2＋y2＝r2，圆 C ：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)交于不同的
1 2
A(x ，y )，
1 1
B(x ，y )两点，下列结论正确的有( )
2 2
A.a(x －x )＋b(y －y )＝0 B.2ax ＋2by ＝a2＋b2
1 2 1 2 1 1
C.x ＋x ＝a D.y ＋y ＝2b
1 2 1 2
二、填空题
9.已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的
方程是_______10.若圆x2＋y2＝m与圆x2＋y2＋6x－8y－11＝0内切，则m＝________
11.若点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，则圆(x－a)2＋y2＝1与圆x2＋(y－b)2＝1的位
置关系是________
12.过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x
＋4y－1＝0上的圆的方程是________
13.若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O ：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两
1
圆在点 A 处的切线互相垂直，则实数 m＝________，线段 AB 的长度为
________
三、解答题
14.已知圆O ：x2＋(y＋1)2＝4，圆O 的圆心O (2,1)．若圆O 与圆O 交于A，
1 2 2 2 1
B两点，且
|AB|＝2，求圆O 的方程．
2
15.已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m取何值时两圆外切？(2)m取何值时两圆内切？
(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．16.已知圆C的圆心在直线l：2x－y＝0上，且与直线l ：x－y＋1＝0相切．
1
(1)若圆C与圆x2＋y2－2x－4y－76＝0外切，试求圆C的半径；
(2)满足已知条件的圆显然不止一个，但它们都与直线l 相切，我们称l 是这些
1 1
圆的公切线．这些圆是否还有其他公切线？若有，求出公切线的方程，若没
有，说明理由．参考答案：
一、选择题
1.D 2.C 3.C 4.A 5.C 6.D 7.B 8.ABC
二、填空题
9.答案：x＋3y＝0 10.答案：1或121 11.答案：外切
12.答案：x2＋y2－3x＋y－1＝0 13.答案：±5 4
三、解答题
14.解：设圆O 的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r，因为圆O 的方程为x2＋(y＋1)2＝4，
2 1
将两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB所在的直线方程为4x＋4y＋r－8＝0，
作OH⊥AB，H为垂足(图略)，则AH＝AB＝，所以OH＝＝＝.
1 1
由圆心O(0，－1)到直线4x＋4y＋r－8＝0的距离为＝，得r＝4或r＝20.
1
故圆O 的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.
2
15.解：两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，
圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，半径分别为和.
(1)当两圆外切时，＝＋，解得m＝25＋10.
(2)当两圆内切时，因定圆的半径小于两圆圆心间距离，故－＝5，解得m＝25－10.
(3)两圆的公共弦所在直线方程为(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x
＋3y－23＝0，
∴公共弦长为2＝2.
16.解：(1)设圆C的圆心坐标为(a,2a)，则半径r＝＝，
两圆的圆心距为＝|a－1|＝r，
因为两圆外切，所以r＝r＋9，∴r＝＋1.
(2)如果存在另一条切线，则它必过l与l 的交点(1,2)，
1①若斜率不存在，则直线方程为：x＝1，圆心C到它的距离|a－1|＝r＝，
由于方程需要对任意的a都成立，因此无解，所以它不是公切线，
②若斜率存在，设公切线方程为：y－2＝k(x－1)，则d＝＝r＝对任意的a都成立，
＝，＝，两边平方并化简得k2－8k＋7＝0，解得k＝1或k＝7，
当k＝1时，直线与l 重合，当k＝7时，直线方程为7x－y－5＝0，
1
故还存在一条公切线，其方程为7x－y－5＝0.
