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济南一中 2024 级高一 10 月学情检测
数学试题
说明：本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为第 1页至第2页，共11题，第Ⅱ卷
为第2页至第3页，共8题。请将答案按要求填写在答题纸相应位置，答在其它位置无效，
考试结束后将答题卡上交。试题满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（共 58 分）
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是符合题目要求的．
1．已知集合 ，则
A． B． C． D．
2．“ ， ”的否定是
A． ， B． ，
C． ， D． ，
3．已知a，b为非零实数，且 ，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
4．若不等式 对一切实数 都成立，则实数 的取值范围为
A． B．
C． D．
5．关于 的一元二次方程 有实数解的一个必要不充分条件的是
A． B． C． D．
6．已知p：－4<x－a<4, q：2<x<3，若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是
A． B．
C． D．
7．设正实数x，y满足 ，则
A． 的最大值是 B． 的最小值是8
C． 的最小值为 D． 的最小值为28．已知关于 的不等式 的解集为 ，则 的最大值是
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知全集 ，集合 ， ，则
A. B.
C. D. 的真子集个数是7
10．下列说法正确的是
A．“ ”是“ ”的充分不必要条件
B．“ ”是“ ”的充分不必要条件
C．若 ，则“ ”的充要条件是“ ”
D．若 ，则“ ”是“ ”的充要条件
11．已知关于 的一元二次不等式 的解集为 （其中 ），
关于 的一元二次不等式 的解集为 ，则
A． B．
C． D．当 时， 的最小值为
第Ⅱ卷（共 92 分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若实数 满足 ，则 的取值范围是 .
13．已知集合 ， 或 ，若 ，则实数a的取值范围
是 .
14．命题“ ，满足不等式 ”是假命题，则 的取值范围为
.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知集合 ，
(1)分别求 .
(2)已知 ，若 ，求实数a的取值范围.
16．解答下列各题.
(1) 若 ，求 的最小值.
(2) 若正实数 满足 ，
①求 的最小值. ②求 的最小值.
17．若关于x的不等式 的解集为 ．
(1) 求 ；
(2) 解关于 的不等式 ．
18．已知集合 ，是否存在实数m，使得
是 成立的_______？
(1)是否存在实数m，使得 是 成立的充要条件，若存在，求出实数m的值，若
不存在，请说明理由；）
(2)请在①充分不必要条件②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中
横线部分．若问题中的实数m存在，求出m的取值范围，若问题中的m不存在，请说明
理由．
19．已知关于 的方程 （其中 均为实数）有两个不等实根
．
(1)若 ，求 的取值范围；
(2)若 为两个整数根， 为整数，且 ，求 ；(3)若 满足 ，且 ，求 的取值范围．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1．已知集合 ，则
A． B． C． D．
答案：C
2．“ ， ”的否定是.
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【分析】“ x∈M，p（x）”的否定为“ x∈M，￢p（x）”．
【详解】依∀题意，“ x∈（2，+∞），x2﹣∃2x＞0”的否定是： ， ，
故选C． ∀
【点睛】本题考查了命题的否定，要注意命题的否定和否命题的区别．本题属于基础题．
3．已知a，b为非零实数，且 ，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
答案为D
4．若不等式 对一切实数 都成立，则实数 的取值范围为
A． B．
C． D．
答案为D
5．关于 的一元二次方程 有实数解的一个必要不充分条件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为一元二次方程 有实根，
所以 ，解得 .
又 是 的真子集，所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：A
6．已知p：－4<x－a<4, q：2<x<3，若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是
A． B．
C． D．
答案为A
7．
设正实数x，y满足 ，则（ ）
A． 的最大值是 B． 的最小值是8
C． 的最小值为 D． 的最小值为2
【答案】C
【分析】A基本不等式求积最大值；B应用基本不等式“1”的代换求最小值；C、D应用基本不等式求和最
值；
【详解】A： ，则 ，当且仅当 ， 时等号成立，错误；
B： ，当且仅当 时等号成立，错误；
C： ，当且仅当 ， 时等号成立，正确；
D： ，则 ，当且仅当 ， 时等号成立，若 有最小值不
可能为2，错误.
故选：C
8．已知关于 的不等式 的解集为 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】一元二次不等式解集转化为一元二次方程的解，根据韦达定理求出 ， ，再用
基本不等式求出最值【解析】 的解集为 ，则 是方程 的两个根，故
， ，故
因为 ，所以有基本不等式得： ，当且仅当
即 时，等号成立，所以 的最大值为
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知全集 ，集合 ， ，则
A. B.
C. D. 的真子集个数是7
【答案】ACD
【解析】
【分析】求出集合 ，再由集合的基本运算以及真子集的概念即可求解.
【详解】 ， ，
，故A正确；
，故B错误；
，所以 ，故C正确；
由 ，则 的真子集个数是 ，故D正确.
故选：ACD
10．下列说法正确的是（ ）
A．“ ”是“ ”的充分不必要条件
B．“ ”是“ ”的充分不必要条件
C．若 ，则“ ”的充要条件是“ ”
D．若 ，则“ ”是“ ”的充要条件【答案】BD
【解析】对于A选项，当 时， 当 时， 所以两者
既不充分也不必要，故A 错误;
对于B选项，当 时，可取 ，但 ，当 时， ，故 B 正确;
对于C选项，当 时， ，从而 ，反之， 时，若 ，则 ，所以两者
不是充要条件，故 C错误；
对于D选项，若 则 不会同时为0，则 ；若 ， 不会同时为0，
则 故D正确，
故选BD .
11．已知关于 一元二次不等式 的解集为 （其中 ），关于 一元二
次不等式 的解集为 ，则（ ）
A． B．
C． D．当 时， 的最小值为
【答案】BC
【分析】结合一元二次不等式与二次函数的关系及函数的平移得到 ，从而得到 ，即
可判断A、B、C，由韦达定理得到 ，利用基本不等式判断D.
【详解】因为关于 一元二次不等式 的解集为 （其中 ），
所以二次函数 与 轴有两个交点且 ，交点坐标分别为 ， ，
又关于 一元二次不等式 的解集为 ，
即二次函数 与 轴有两个交点且 ，交点坐标分别为 ， ， ，
又二次函数 的图象是由 向上平移 个单位得到的，
又 开口向下，对称轴为 ，
由于无法确 的值，以下只能得到 与 图象的大致情形如下（这里只列
出其中一种）：所以 ，
则 ，所以 ， ，所以 ，故A错误，B正确；
又 ， ，所以 ，故C正确；
因为 、 为关于 的方程 的两根，
所以 ， ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，
显然 ，所以 ，故D错误.
故选：BC
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若实数 满足 ，则 的取值范围是 .
【答案】
【分析】计算出 ，进而求出 .
【详解】因为 ，所以 ，故 ，
即 .
故答案为：
13．已知集合 ， 或 ，若 ，则实数a的取值范围是
.
【答案】
【分析】利用 可求解.【详解】由题可知, ,因为 ,
所以 ，解得 ，
故答案为: .
14．命题“ ，满足不等式 ”是假命题，则 的取值范围为 .
【答案】
【分析】由含有量词的命题的否定，转化为不等式恒成立问题，即可求解.
【详解】命题“ ，满足不等式 ”是假命题，
所以 ，不等式 恒成立，
设 ， ，
则有 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知集合 ，
（1）分别求
（2）已知 ，若 ，求实数a的取值范围
【答案】（1） 或 ， 或 ；（2） .
【解析】
【分析】（1）根据集合交并补集的概念即可求出结果；
（2）根据集合的包含关系得到 ，解不等式组即可求出结果.
【详解】解：（1）因为 ，所以 或 ，
因为 或 ，，所以 或 .
（2）因为 ，所以 ，解之得 ，所以 ．
16．解答下列各题.(1)若 ，求 的最小值.
(2)若正数 满足 ，
①求 的最小值.
②求 的最小值.
【答案】(1)7；
(2)①36；② .
【分析】（1）将 变形为 ，后由基本不等式可得答案；
（2）①由基本不等式结合 可得答案；②由 可得 ，后由基本不等式可得答案.
【详解】（1）由题 .
当且仅当 ，即 时取等号；
（2）①由 结合基本不等式可得：
，又 为正数，
则 ，当且仅当 ，即 时取等号；
②由 可得 ，
则 .
当且仅当 ，又 ，
即 时取等号.
17．已知 的解集为 ．
(1)求 ；
(2)解关于 的不等式 ．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）由于不等式的解集为 可得，
，且 ，求得 ．
（2）关于 的不等式 ，即 ，
即 ．
当 时，不等式即 ，它的解集为 ；
当 时，不等式 的解集为 ；
当c＞2时，不等式 的解集为 ．
18．已知集合 ，是否存在实数m，使得 是 成
立的_______？
(1)是否存在实数m，使得 是 成立的充要条件，若存在，求出实数m的值，若不存在，请说明理
由；）
(2)请在①充分不必要条件②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分．若问题
中的实数m存在，求出m的取值范围，若问题中的m不存在，请说明理由．
【解析】（1）若存在实数m，使得 是 成立的充要条件，则 .
故 ，无解，故不存在实数m，使得 是 成立的充要条件.
（2）因为 ，故 ，故 .
选①：充分不必要条件.
由题意 ，故 ，解得 ，故 ，即m的取值范围为
选②：必要不充分条件.
由题意 ，故 ，解得 ，故 ，又 ，故m的取值范围为 .
19．已知关于 的方程 （其中 均为实数）有两个不等实根 ．
(1)若 ，求 的取值范围；
(2)若 为两个整数根， 为整数，且 ，求 ；
(3)若 满足 ，且 ，求 的取值范围．
【答案】(1) ；(2) 或 ；(3)
【解析】（1）当 时，由题意，若 时，方程不是一元二次方程，没有两个实数根，若方程 有两个不等的实数解，
则 ，解得 且 ，
所以 的范围是 .
（2）依题意： （否则方程没有两个实数根），且有 ，
， ，
因为 均为整数，所以 也是整数，∴ 或 ，
时， ，又 且 ，∴ ，
时， ，又 且 ，∴ ．
综上， 或 ．
（3） ，方程为 ， ，
则 ，又 ，即
∴ ，即 ，
所以 ，∴ ．
所以 的取值范围为 ．
