文档内容
2024 年兰州市一中高一级第一学期期中学业质量检测卷
数 学
（本卷满分150分，考试时间120分钟）
第I卷（选择题 共60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是符合题目要求的.
.
1 设集合 ，
A. B. C. D.
2. 已知集合M＝{－1,0}，则满足M∪N＝{－1,0,1}的集合N的个数是( )
A. 2 B. 3
C. 4 D. 8
3. 不等式 的解集为 ，则函数 的图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
4. 设 ， ，若 ，则 的最小值为
A. B. 8 C. 9 D. 10
5. 以下函数在 上是减函数的是（ ）A. B. C. D.
（2019·吉林高一期中）
6. 的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
7. “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，
发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用 ， 分别表示乌龟和
兔子所行的路程( 为时间)，则下图与故事情节相吻合的是（ ）
A. B. C. D.
8. 若 为锐角， ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
9. 已知当x∈(1，+∞)时，函数y= 的图象恒在直线y=x的下方，则α的取值范围是（ ）
A. 0<α<1 B. α<0 C. α<1 D. α>1
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
10. 的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
11. 已知正数 ， ，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A. B.C. D.
12. 若函数 在 上是单调函数，则 的取值可能是（ ）
A. 0 B. 1 C. D. 3
13. 下列函数中，既是偶函数又在 上是递减的函数是（ ）
A. B.
.
C D.
第II卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
14. 不等式 的解集为________________．（用区间表示）
15. 已知集合 ， ，且 ，则实数a 的取值范围是
______________________ .
16. 定义在 上的奇函数f(x)若函数f(x)在 上为增函数，且 则不等式
的解集为_____．
17. 若关于 的不等式 在 内恒成立，则 的取值范围是__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18. 设集合 , .
（1）若 ，求m的范围；
（2）若 ，求m的范围.19. （1）设 ，求 的值；
（2）已知cos（75°+α） ，且﹣180°＜α＜﹣90°，求cos（15°﹣α） 的值．
20. 设集合 ，集合 ．
（1）若 ，求实数 的值；
的
（2）若 ，求实数 取值范围．
21. 已知函数 .
（1）求函数的定义域；
（2）试判断函数在 上的单调性；
（3）试判断函数在 的最大值和最小值.
22. 已知定义域为 的函数 是奇函数
（1）求 的值
（2）判断并证明该函数在定义域 上的单调性
（3）若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
23. 设函数 ．
（1）若不等式 的解集 ，求 的值；
（2）若 ，
① ，求 的最小值；
②若 在R上恒成立，求实数a的取值范围．2024 年兰州市一中高一级第一学期期中学业质量检测卷
数 学
（本卷满分150分，考试时间120分钟）
第I卷（选择题 共60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是符合题目要求的.
1. 设集合 ，
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：依题意 .
考点：集合的运算
的
2. 已知集合M＝{－1,0}，则满足M∪N＝{－1,0,1} 集合N的个数是( )
A. 2 B. 3
C. 4 D. 8
【答案】C
【解析】
【详解】因为由 M∪N={-1，0，1}，得到集合M⊆M∪N，且集合N⊆M∪N，又M={0，-1}，所以元素
1∈N，则集合N可以为{1}或{0，1}或{-1，1}或{0，-1，1}，共4个．故选C
3. 不等式 的解集为 ，则函数 的图像大致为（ ）
A. B.C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的解集求出参数，从而可得 ，根据该形式可得正确的选项．
【详解】因为不等式 的解集为 ，
故 ，故 ，故 ，
令 ，解得 或 ，
故抛物线开口向下，与 轴的交点的横坐标为 ，
故选：C．
4. 设 ， ，若 ，则 的最小值为
A. B. 8 C. 9 D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可知，利用“1”的代换，将 化为 ，展开再利用基本不等式，即
可求解出答案．
【详解】由题意知， ， ，且 ，则当且仅当 时，等号成立， 的最小值为9，故答案选C．
【点睛】本题主要考查了利用基本不等式的性质求最值的问题，若不满足基本不等式条件，则需要创造条
件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等．
5. 以下函数在 上是减函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】借助基本初等函数依次对四个选项判断．
【详解】选项A：在 上先增后减；
选项B：定义域为：（0，+∞），在（0，+∞）上是减函数，不满足在 上是减函数；
选项C：定义域中就没有0，不满足在 上 是减函数；
选项D正确．
故选D．
【点睛】本题考查了基本初等函数的单调性，属于基础题．
（2019·吉林高一期中）
6. 的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数单调性及函数零点存在性定理求解.
【详解】因为 在 上单调递增，
且 ，
所以函数零点所在区间为 .
故选：C7. “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，
发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用 ， 分别表示乌龟和
兔子所行的路程( 为时间)，则下图与故事情节相吻合的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分别分析乌龟和兔子随时间变化它们的路程变化情况,即直线的斜率变化即可.
【详解】解：对于乌龟，其运动过程分为两段：从起点到终点乌龟没有停歇，一直以匀速前进，其路程不
断增加；到终点后，等待兔子那段时间路程不变；
对于兔子，其运动过程分三段：开始跑的快,即速度大，所以路程增加的快；中间由于睡觉，速度为零，其
路程不变；醒来时追赶乌龟，速度变大，所以路程增加的快；
但是最终是乌龟到达终点用的时间短.
故选：B．
【点睛】本题考查利用函数图象对实际问题进行刻画，是基础题.
8. 若 为锐角， ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据所给两个角的形式，发现 ，进而利用正弦的和角公式可以计算出结果．
【详解】由角的关系可知
因为 为锐角，根据同角三角函数关系式，可得
所以选A
【点睛】本题利用整体配凑法求三角函数值，根据所给函数角的特征，配出所求角，进而利用三角函数式
化简求值，属于常考题．
9. 已知当x∈(1，+∞)时，函数y= 的图象恒在直线y=x的下方，则α的取值范围是（ ）
A. 0<α<1 B. α<0 C. α<1 D. α>1
【答案】C
【解析】
【分析】
根据幂函数图象的特点，数形结合即可容易求得结果.
【详解】当 时， 与 的图象如下所示：
显然不合题意，故舍去；
当 时， 与 的图象重合，故舍去；当 时， 与 的图象如下所示：
显然，此时满足题意.
当 时， 与 的图象如下所示：
显然，此时满足题意.
当 时， ， 与 的图象如下所示：显然，此时满足题意.
综上所述： .
故选： .
【点睛】本题考查幂函数图象的特征，属简单题.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
10. 的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】
由不等式 ，求得 ，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【
详解】由不等式 ，可得 ，结合选项可得：
选项A为 的一个充分不必要条件；
选项B为 的一个既不充分也不必要条件；
选项C为 的一个充分不必要条件；
选项D为 的一个充要条件,
故选：AC.11. 已知正数 ， ，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】
由正数 ， ，结合基本不等式依次判断选项，即可得结果.
【详解】对于A， ，当且仅当 时，等
号成立，故A正确；
对于B， ，当且仅当 时，等号成立，故B正确；
对于C， ，当且仅当 时，等号成立，故C正确；
对于D， ， ，当且仅当 时，等号成立，故D错误；
故选：ABC
12. 若函数 在 上是单调函数，则 的取值可能是（ ）
A. 0 B. 1 C. D. 3
【答案】BC
【解析】
【分析】根据函数的单调性求出a的取值范围，即可得到选项.
【详解】当 时， 为增函数，所以当 时， 也为增函数，
所以 ，解得 .
故选：BC
【点睛】此题考查根据分段函数的单调性求参数的取值范围，易错点在于忽略掉分段区间端点处的函数值
辨析导致产生增根.
13. 下列函数中，既是偶函数又在 上是递减的函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据幂函数的性质依次判断各选项即可得答案.
【详解】解：A： 是偶函数，且在 上递减，∴该选项正确；
B： 是奇函数，∴该选项错误；
C： 是偶函数，且在 上递减，∴该选项正确；
D： 是非奇非偶函数，∴该选项错误.
故选：AC
第II卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
14. 不等式 的解集为________________．（用区间表示）
【答案】
【解析】
【分析】先将不等式变形为 ，然后解出该不等式可得出其解集.
【详解】不等式 等价于 ，解该不等式得 或 ，因此，不等式 的解集为 ，故答案为 .
【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，要熟悉一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础
题.
15. 已知集合 ， ，且 ，则实数a的取值范围是
______________________ .
【答案】
【解析】
【分析】由并集的定义及数轴表示可得解.
在
【详解】 数轴上表示出集合 和集合 ,要使 ，只有 .
【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，利用数轴找关系是解题的关键，属
于基础题.
16. 定义在 上的奇函数f(x)若函数f(x)在 上为增函数，且 则不等式
的解集为_____．
【答案】
【解析】
【分析】首先将题意转化为 或 ，再画出函数的图象，根据图象解不等式即可.
【详解】由题意得到f(x)与 异号，故不等式 可转化为 或 ，
根据题意可作函数图象，如图所示：由图象可得：当 时， ；当 时， ，
则不等式 的解集是 ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性解不等式，属于简单题.
17. 若关于 的不等式 在 内恒成立，则 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【详解】由 ,得 ,在同一坐标系中作 和 的草图,如图所示
要使 在 内恒成立,只要 在 内的图象在 的上方,于是
.
因为 时，所以只要 时,
所以 ，即 .又 ，所以 即实数 的取值范围为 .
答案为： .
【点睛】本题考查函数的函数与方程及函数的零点个数问题，还涉及导数的几何意义，难度较大．解决此
类问题的方法是先求出函数在所给区间上的解析式，画出函数的草图，利用数形结合的方法进行求解．解
题时先得到参数取值的临界值，然后结合图象再确定参数的取值范围．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18. 设集合 , .
（1）若 ，求m的范围；
（2）若 ，求m的范围.
【答案】（1） 或 ；（2） 或 .
【解析】
【分析】（1）分 和 两种情况讨论,使得 即可;
（2）分 和 两种情况讨论,使得 即可.
【详解】（1）已知 , .
当 时,有 ,即 ,满足 .
当 时,有 ,即 ,
又 ,则 或 ,即 或 ，综上可知,m的取值范围为 或 ；
（2）∵ ,∴ .
当 时,有 ,即 ,满足题意.
当 ,有 ,即 ,且 ,解得 .
综上可知,m的取值范围为 或 .
【点睛】本题考查了集合的交集与并集的性质,注意空集是任何一个集合的子集,属于基础题.
19. （1）设 ，求 的值；
（2）已知cos（75°+α） ，且﹣180°＜α＜﹣90°，求cos（15°﹣α）的值．
【答案】（1）－1；（2） ．
【解析】
【分析】（1）将分子的1化成sin2α+cos2α，然后将分子、分母都除以cos2α，得到关于tanα的分式，
代入题中数据即可得到所求式子的值．
（2）根据α的取值范围，利用同角三角函数的关系算出sin（75°+α） ，再由互为余角的两角
的诱导公式加以计算，可得cos（15°﹣α）的值．
【详解】（1）∵1＝sin2α+cos2α， ．
∴原式 ；
（2）∵由﹣180°＜α＜﹣90°，得﹣105°＜α+75°＜﹣15°，
∴sin（75°+α） ，∵cos（15°﹣α）＝cos[90°﹣（75°+α）]＝sin（75°+α）
∴cos（15°﹣α） ．
【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系、任意角的三角函数与诱导公式等知识，属于基础题．
20. 设集合 ，集合 ．
（1）若 ，求实数 的值；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2） ．
【解析】
【分析】（1）根据交集先将元素2代入集合 ，求出 的值再逐一验证；
（2）对 进行分类讨论，分成空集，单元素集和双元素集.
【小问1详解】
由题意得 ．
，
即 ，化简得： ，
即 ，解得： ，
经检验当 ，满足
当 ，满足
【小问2详解】
，故①当 为空集，则 ，即 ，得 或 ；
②当 为单元素集，则 ，即 ，得 或 ，
当 ，舍去；当 符合；
③当 为双元素集，则 ，则有 ，无解，
综上：实数 的取值范围为 .
21. 已知函数 .
（1）求函数的定义域；
（2）试判断函数在 上的单调性；
（3）试判断函数在 的最大值和最小值.
【答案】（1） ；
（2）函数 在 上是增函数；
（3）最大值是 ，最小值是 .
【解析】
【分析】（1）利用函数的定义域概念求解；
（2）利用函数单调性的定义判断并证明；
（3）利用函数的单调性和最值关系求解.
【小问1详解】
要使函数有意义，则 ，解得 ，
所以定义域为 ；【小问2详解】
由题， ，
判断函数 在 上是增函数，
证明如下：
，
，
因为 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以函数 在 上是增函数.
【小问3详解】
由（2）知，函数 在 单调递增，
所以
22. 已知定义域为 的函数 是奇函数
（1）求 的值
（2）判断并证明该函数在定义域 上的单调性
（3）若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1） （2）减函数，证明见解析（3）
【解析】【分析】(1)由题意结合 确定实数a的值即可；
(2)由题意结合函数单调性的定义确定函数的单调性即可；
(3)由题意结合函数的单调性和函数的奇偶性脱去f符号，结合恒成立的结论求解实数 的取值范围即可.
【详解】（1）由题设，需 ．经验证， 为奇函数，
（2）减函数.
证明：任取 ， ，
，
，
所以 在 上是减函数.
（3）由 得 ，
是奇函数， ，
由（2）知 在是减函数，
故原问题可化为 即： 对任意 恒成立，
，
解得 .
【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函
数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题.
23. 设函数 ．
（1）若不等式 的解集 ，求 的值；（2）若 ，
① ，求 的最小值；
②若 在R上恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）①9；②
【解析】
【分析】（1）利用不等式的解集结合一元二次方程根和系数的关系求解即可；
（2）①利用基本不等式中“1”的应用求解即可；②把 转化为 在R上恒成
立，利用判别式求解即可.
【小问1详解】
若不等式 的解集 ，
则 ，
所以 .
解得 .
【小问2详解】
若 ，即 ， .
① ，则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故 的最小值为9，② 在R上恒成立，
即 在R上恒成立，
故 ，
解得：
故a的取值范围为
