文档内容
雅安中学高 2024 级入学测试
数 学
一．选择题：
1.C 2.C 3.B 4.C 5.C 6.A 7.D 8.B 9.D 10.A
二．填空题：
11. 3m(m-2）； 12. 5 1人或59人; 13 . ; 14. 7 ; 15. m＜t＜n;
16.ACD. （全对给3分，只选对其中每一个给1分）。
三．解答题：
17.解
：
（1）原式＝原式＝2× +9+（2﹣ ）﹣1 ......4分
＝ +9+2﹣ ﹣1
＝10； .....5分
（2）（x+2﹣ ）÷
＝ •
......2分
＝ •
.....3分
＝﹣x﹣4， ......4分
当x＝ ﹣4时，原式＝4﹣ ﹣4＝﹣ .....5分。
18. 解：（1）设A种零食每件的售价是x元，B种零食每件的售价是y元，
根据题意得： ， .......2分
解得 ，
学科网（北京）股份有限公司答：A种零食每件的售价是15元，B种零食每件的售价是10元； .....3分
（2）设购进A种零食m件，则购进B种零食（100﹣m）件，
∵进货总投入不超过656元，且销售完后总利润不低于600元，
∴ ， .......5分
解得50≤m≤52，
∵m为整数，
∴m可取50，51，52，
∴购进A、B两种零食有3种进货方案：
①购进A种零食50件，购进B种零食50件；
②购进A种零食51件，购进B种零食49件；
③购进A种零食52件，购进B种零食48件； .....7分
（3）设获利w元，
购进 A种零食 50件，购进 B种零食 50件，w＝（15﹣8）×50+（10﹣5）×50＝600
（元），
购进 A种零食 51件，购进 B种零食 49件，w＝（15﹣8）×51+（10﹣5）×49＝602
（元），
购进 A种零食 52件，购进 B种零食 48件，w＝（15﹣8）×52+（10﹣5）×48＝604
（元），
∵600＜602＜604，
∴购进A种零食52件，购进B种零食48件，获利最大，最大利润是604元． .....10分
19.解：（1）∵点B（2，3）在反比例函数y＝ 的图象上，
∴a＝3×2＝6，
∴反比例函数的表达式为y＝ ， ......1分
∵点A的纵坐标为6，
∵点A在反比例函数y＝ 图象上，
∴A（1，6），
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴一次函数的表达式为y＝﹣3x+9； .....3分
（2）如图，①当∠OD1A＝90°时，
设BC与AO交于E，则E（ ，3），
∴AE＝OE＝D1E＝ ，
∵E（ ，3），
∴D1的坐标为（ ，3）； ......5分
②当∠OAD2＝90°时，
可得直线AD2的解析式为：y＝﹣ x+ ，
当y＝3时，x＝19，
∴D2的坐标为（19，3）， ......7分
综上所述，当△AOD是直角三角形，D点坐标为（ ，3）或（19，3） ....8分。
学科网（北京）股份有限公司20解：（1）列表﹣描点﹣连线，
函数y＝f（x）的图象如图． ......6分
（变换作图也可，未列表或没写变换过程，扣2分）
（2）由题意得，方程f（x）＝a恰有三个不等实根，
结合直线y＝a的图象可知，实数a的值为1． .....9分
（3）作直线y＝x，如图所示． ......10分
结合图象可得，不等式f（x）＜x的解集为{x|1＜x＜3}． ......12分。
21. 解：（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+2x+b，
∴ ，
解得 ，
∴y＝﹣ x2+2x+ ； .....2分
（2）令x＝0，则y＝m，
∴D（0，m），
∵P点的横坐标为t，
∴P（t，﹣ t2+2t+ ）， ......3分
令y＝0，则x＝ ，
学科网（北京）股份有限公司∴C（0， ），
∴d＝ ﹣m，
设直线PD的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
解得 ，
∴y＝（﹣ t+2+ ）x+m，
∴﹣ t+2+ ＝1，
∴m＝﹣ t2+t+ ，
∴d＝ t2﹣t； ......6分。
（3）如图，
设PD的垂直平分线交y轴于Q，连接PQ，作PG⊥OF于G，过N点作NH⊥QP，交
QP的延长线于H，HN交x轴于R，连接ON，作DT⊥OP于T， ......7分
∴PQ＝DQ，
∵y＝x+m与y轴所成的锐角∠PDQ＝45°，
∴∠QPD＝∠PDQ＝45°，
∴∠PQD＝90°，
学科网（北京）股份有限公司∴PQ∥x轴，
∵QF⊥PD，
∴∠DQF＝∠PDF＝ ，
∵∠QOF＝90°，
∴ ＝tan∠DQF＝tan45°＝1，
∴OQ＝OF，
∵∠PQO＝∠PGO＝∠QOG＝90°，
∴四边形PQOG是矩形，
∴PG＝OQ，
∴PG＝OF，
∵PG∥OQ，
∴∠DPG＝∠PDQ＝45°，
∵cos∠GPM＝ ＝ ，cos∠OPD＝ ，
∴∠GPM＝∠OPD，
∴∠GPM+∠OPG＝∠OPD+∠OPG，
∴∠OPM＝∠DPG＝45°，
∴∠OPM＝OQF＝45°，
∴点Q、O、N、P共圆，
∴∠ONP+∠PQO＝180°，
∵∠PQO＝90°，
∴∠ONP＝90°，
∴△PON是等腰直角三角形，∠PNH+∠ONR＝90°，
∴PN＝ON，
∵∠H＝∠NRO＝90°，
∴∠PNH+∠NPH＝90°，
∴∠NPH＝∠ONR，
∴△PNH≌△NOR（AAS），
∴PH＝NR，
∵PQ∥OF，
学科网（北京）股份有限公司∴△PHN∽△MRN，
∴ ， ......9分
∵PN＝3MN，
∴ ，
∴ ，
即tan∠MNR＝ ，
∵RN∥PG，
∴∠MPG＝∠MNR，
∴∠OPD＝∠MNR，
∴tan∠OPD＝ ，
∵ ，
设DT＝n，PT＝3n，
∴PD＝ ＝ n，
∴PQ＝DQ＝ PD＝ n＝ ，
设OT＝k，则OD＝ ＝ ，
由△ODT∽△OPQ得，
，
∴ ＝ ，
∴k＝2n，
∴ ，
∴ ，
学科网（北京）股份有限公司∴﹣ x2+2x+ ＝2x， ......11分。
∴x ＝2，x ＝﹣2（舍去），
1 2
∴P（2，4），
把x＝2，y＝4代入y＝x+m得，
m＝2． .....12分
学科网（北京）股份有限公司
