2006年福建高考理科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_福建

2006 年福建高考理科数学真题及答案
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
(1)设a、b、c、d∈R，则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是
A.ad－bc=0 B.ac－bd=0 C. ac+bd=0 D.ad+bc=0
(2)在等差数列｛a ｝中，已知a=2,a +a =13，则a +a +a 等于
n 1 2 3 4 5 6
A.40 B.42 C.43 D.45
 3 
(3)已知∈( ,)，sin= ,则tan( )等于
2 5 4
1 1
A. B.7 C.－ D.－7
7 7
(4)已知全集U=R,且A=｛x︱︱x－1︱>2｝,B=｛x︱x2－6x+8<0｝，则( A)∩等于
U
A.[－1,4] B. (2,3) C. (2,3) D.(－1,4)
32
(5)已知正方体外接球的体积是 ，那么正方体的棱长等于
3
2 3 4 2 4 3
A.2 2 B. C. D.
3 3 3
(6)在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个
球，至少摸到2个黑球的概率等于
2 3 3 9
A. B. C. D.
7 8 7 28
(7)对于平面和共面的直线m、n，下列命题中真命题是
A.若m⊥，m⊥n，则n∥ B.若m∥，n∥，则m∥n
C.若m，n∥，则m∥n D.若m、n与所成的角相等，则n∥m
x
(8)函数y=㏒ (x﹥1)的反函数是
2 x1
2x 2x
A.y= (x>0) B.y= (x<0)
2x 1 2x 1
2x 1 2x 1
C.y= (x>0) D. .y= (x<0)
2x 2x
 
(9)已知函数f(x)=2sinx(>0)在区间[ , ]上的最小值是－2，则的最小值
3 4
等于
2 3
A. B. C.2 D.3
3 2
第1页 | 共10页x2 y2
(10)已知双曲线  1(a>0,b<0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直
a2 b2
线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是
A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,+∞] D.(2,+∞)
(11)已知︱OA︱=1，︱OB︱= 3,OAOB=0,点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设
m
OC=mOA+nOB(m、n∈R)，则 等于
n
1 3
A. B.3 C. D. 3
3 3
(12)对于直角坐标平面内的任意两点A(x, y)、B(x ，y )，定义它们之间的一种
1 1 2 2
“距离”：‖AB‖=︱x－x ︱+︱y－y ︱.
1 2 1 2
给出下列三个命题：
①若点C在线段AB上，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖;
②在△ABC中，若∠C=90°，则‖AC‖2+‖CB‖2=‖AB‖2；
③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖.
其中真命题的个数为
A.0 B.1 C.2 D.3
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置.
1
(13)(x2－ )2展开式中x2的系数是 (用数字作答)
x
(14)已知直线x－y－1=0与抛物线y=ax2相切，则a=
(15)一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1,一个面上标
以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是
（16）如图，连结△ABC的各边中点得到一个新的△ABC，又连结的△ABC各边中点
1 1 1 1 1 1
得到，如此无限继续下去，得到一系列三角形：△ABC，△ABC，△ABC，…，这一
1 1 1 2 2 2
系列三角形趋向于一个点M，已知A(0,0) ,B(3,0),C(2,2)，则点M的坐标是 .
二、 解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
第2页 | 共10页（17）（本小题满分12分）
已知函数f(x)=sin2x+ 3xcosx+2cos2x,xR.
（I）求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；
（Ⅱ）函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到？
（18）（本小题满分12分）
如图，四面体ABCD中，O、E分别BD、BC的中点,CA=CB=CD=BD=2
（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的大小；
（Ⅲ）求点E到平面的距离.
（19）（本小题满分12分）
统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y（升）关于行驶速度x（千米
1 3
/小时）的函数解析式可以表示为：y= x2  x8(0<x≤120).已知甲、乙
128000 80
两地相距100千米。
（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
（20）（本小题满分12分）
x2
已知椭圆  y2 1的左焦点为F，O为坐标原点。
2
（Ⅰ）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；
（Ⅱ）设过点F且不与坐标轴垂直交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴
交于点G，求点G横坐标的取值范围.
（21）（本小题满分12分）
已知函数f(x)=－x2+8x,g(x)=6lnx+m
（Ⅰ）求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t);
（Ⅱ）是否存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？
第3页 | 共10页若存在，求出m的取值范围；，若不存在，说明理由。
（22）（本小题满分14分）
已知数列｛a ｝满足a=1,a =2a +1(n∈N)
n 1 n1 n
（Ⅰ）求数列｛a ｝的通项公式；
n
（Ⅱ）若数列{b}满足4k1-14k2-1…4k-1=(a+1)km(n∈N*),证明:{b}是等差数列;
n n n
n 1 a a a n
（Ⅲ）证明:  ＜ 1  2  n ＜ (n∈N*).
2 3 a a a 2
2 3 n1
2006年福建高考理科数学真题参考答案
一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算，每小题5分，满分60分.
(1)D (2)B (3)A (4)C (5)D (6)A
(7)C (8)A (9)B (10)C (11)B (12)B
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题4分，满分16分.
1 4 5 2
(13)10 (14) (15) (16)( , )
4 9 3 3
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
(17)本小题主要考查三角函数的基本公式，三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本识，
以及推理和运算能力，满分12分.
1cos2x 3
解:（1）f(x)=  sin2x(1cos2x)
2 2
3 1 3
= sin2x cos2x
2 2 2
 3
=sin(2x+ ) .
6 2
2
∴f(x)的最小正周期T= =π.
2
 
由题意得2kπ- ≤2x+ ,k∈Z,
2 6

∴f(x)的单调增区间为［kπ- ］,k∈Z.
3
(2)方法一：
 
先把y=sin 2x图象上所有的点向左平移 个单位长度，得到y=sin(2x+ )的图象，再把
12 6
3  3
所得图象上所有的点向上平移 个单位年度，就得到y=sin(2x+ )+ 的图象.
2 6 2
方法二：
第4页 | 共10页 2  3
把y=sin 2x图象上所有的点按向量a=(- , )平移，就得到y=sin(2x+ )+ 的图象.
12 3 6 2
(18)本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离等基本
知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分12分.
方法一:
(1)证明：连结OC.
∵BO=DO,AB=AD, ∴AO⊥BD.
∵BO=DO,BC=CD, ∴CO⊥BD.
在△AOC中，由已知可得AO=1,CO= 3.
而AC=2,
∴AO2+CO2=AC2,
∴∠AOC=90°,即AO⊥OC.
BD OC 0,
 
∴AB平面BCD.
（Ⅱ）解：取AC的中点M,连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知ME∥AB,OE∥DC.
∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角.
在△OME中，
1 2 1
EM  AB  ,OE  DC 1,
2 2 2
1
OM 是直角△AOC斜边AC上的中线，∴OM  AC 1,

2
2
∴cosOEA ,
4
2
∴异面直线AB与CD所成角的大小为arccos .
4
（Ⅲ）解：设点E到平面ACD的距离为h.
V V ,
 AACD ACDE
1 1
∴ h·S = ·AO·S .
△ACD △CDE
3 3
第5页 | 共10页在△ACD中，CA=CD=2,AD= 2 ,
3
1  2 7
∴S =  2 22    ,
△ACD  
2 2 2
 
1 3 3
而AO=1, S =  22  ,
△CDE
2 4 2
3
1
AOS 2 21
∴h= CDE   ,
S 7 7
ACD
2
21
∴点E到平面ACD的距离为 .
7
方法二：
（Ⅰ）同方法一：
（Ⅱ）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(-1，0，0)，
1 3
C(0， 3，0)，A(0,0,1),E( , ,0),BA(1,0,1),CD (1, 3,0).
2 2
BACD 2
∴cos BA,CD   ,
BACD 4
2
∴异面直线AB与CD所成角的大小为arccos .
4
（Ⅲ）解：设平面ACD的法向量为n=(x,y,z),则
 n AD (x,y,z)(1,0,1) 0,

 n AC (x,y,z)(0, 3,1) 0,
x z 0,
∴
 3yz 0.
令y=1，得n=(- 3,1, 3)是平面ACD的一个法向量.
1 3
又EC ( , ,0),
2 2
∴点E到平面ACD的距离
| EC· n| 3 21
h=   .
|n| 7 7
第6页 | 共10页(19)本小题主要考查函数，导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问
题的能力.满分12分.
100
解: (1)当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了  2.5小时,
40
1 3
要耗油( 403  408）2.517.5(升).
128000 80
答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升.
100
(2)当速度为x千米/小时，汽车从甲地到乙地行驶了 小时,设耗油量为h(x)升，衣题意
x
得
1 3 100 1 800 15
h(x)=( x3  x8)·  x2   (0＜x＜120),
128000 80 x 1280 x 4
x 800 x3 803
h’(x)=   (0＜x≤120＝
640 x2 640x2
令h’(x)=0，得x=80.
当x∈(0,80)时，h’(x)＜0,h(x)是减函数;
当x∈(80,120)时，h’(x)＞0,h(x)是增函数.
∴当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=11.25.
因为h(x)在(0,120)上只有一个极值，所以它是最小值.
答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.
(20)本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，
考查运算能力和综合能力.满分12分.
解(1) ∵a2=2,b2=1,∴c=1,F(-1,0),l:x=-2.
∵圆过点O、F.
1
∴圆心M在直线x=- 上.
2
1
设M(- ,t),则圆半径
2
1 3
r=|(- )-(-2)|= .
2 2
1 3
由|OM|=r,得 ( )2 t2  .
2 2
解得t=± 2 ,
第7页 | 共10页1 9
∴所求圆的方程为(x+ )2+(y± 2 ) 2= .
2 4
(2)设直线AB的方程为y=k(x+1)(k≠0),
x2
代入 +y2=1,整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0.
2
∵直线AB过椭圆的左焦点F,
∴方程有两个不等实根.
记A(x,y),B(x,y),AB中点N(x,y),
1 1 2 2 0 0
4k2
则x+x=- ,
1 1 2k2 1
1 2k2 k
x (x1x2) y k(x 1) ,
0= 2 2k2 1 0 0 2k2 1
1
 AB垂直平分线NG的方程为y y  (xx ).
0 k 0
令y=0，得
2k2 k2 k2 1 1
x  x ky      .
C 0 0 2k2 1 2k2 1 2k2 1 2 4k2 2
1
∵k 0,  x 0.
2 0
1
∴点G横坐标的取值范围为（ ,0）。
2
（21）本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质
的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和
分析问题、解决问题的能力。满分12分。
解：（I）f(x)=－x2+8x=－(x－4)2+16,
当t+1<4，即t<3时，f(x)在[t，t+1]上单调递增，
h(t)=f(t+1)=－(t+1)2+8(t+1)=－t2+6t+7;
当t≤4≤t+1时,即3≤t≤4时，h(t)=f(4)=16;
当t>4时，f(x)在[t，t+1]上单调递减，
h(t)=f(x)=－t2+8t .
t2 6t7, t<3,

综上，h(t)=16, 3≤t≤4,

 t2 8t, t>4
（II）函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数
￿￿x￿￿g(x)－f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点。
∴￿￿x￿￿x￿－8x+16ln x+m,
6 2x2 8x6 2(x1)(x3)
∵￿′￿x￿￿￿x－8+   (x0),
x x x
第8页 | 共10页当x∈(0,1)时，￿′￿x￿￿￿，￿￿x￿是增函数；
当x∈(1,3)时，￿′￿x￿￿￿，￿￿x￿是减函数；
当x∈(3,+∞)时，￿′￿x￿￿￿，￿￿x￿是增函数；
当x=1，或x=3时，￿￿′￿x￿￿￿；
∴￿￿x￿ ￿￿￿1￿￿m－7,￿￿￿x￿ ￿￿￿3￿￿m+6ln 3－15.
极大值 极小值
∵当x充分接近￿时，￿￿x￿￿￿，当x充分大时，￿￿x￿>0.
∴要使￿￿x￿的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须
(x) m70,
极大值
 既7<m<－6ln 3.
(x) m＋6ln3150,
 极小值
所以存在实数m，使得函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，m的取
值范围为（7，15—6ln 3）.
（22）本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综
合解题能力。满分14分。
（I）解：∵a =2 a+1（n∈N）,
n+1 n
∴a +1=2(a+1),
n+1 n
∴| a+1| 是以a+1=2为首项，2为公比的等比数列。
n 1
∴a+1=2n，
n
既a=2n－1(n∈N)。
n
（II）证法一：∵4b1－14 b2－2…4 bn－1=(a+1)bn，
∵4k1+k2+…+kn =2nk,
∴2[(b+b+…+b)-n]=nb, ①
1 2 n
2[(b+b+…+b )-(n+1)]=(n+1)b ②
1 2 n+1 n+1
②-①,得2(b -1)=(n+1)b -nb,
n+1 n+1
即 (n-1)b -nb+2=0. ③
n+1 n
nb =(n+1)b +2=0. ④
n+2 n+1
④-③，得nb -2nb nb=0,
n+2 n+1- n
即 b -2b +b=0,
n+2 n+1
∴b -b =b(n∈N*),
n-2 n+1 n
∴{b}是等差数列.
n
证法二：同证法一，得
(n-1)b =nb+2=0
n+1 n
令n=1，得b=2.
1
设b=2+d(d∈R),，下面用数学归纳法证明 b=2+(n-1)d.
2 n
(1)当n=1,得b=2.
1
(2)假设当n=k(k≥2)时，b=2+(k-1)d,那么
1
k 2 k 2
b = b  (2(k 1)d)  2((k 1)1)d.
k+1
k 1 k 1 k 1 k 1
这就是说，当n=k+1时，等式也成立.
根据(1)和(2)，可知b=2(n-1)d对任何n∈N*都成立.
n
∵b -b=d, ∴{b}是等差数列.
n+1 n n
a 2k 1 2k 1 1
(3)证明：∵ k   ＜ ,k 1,2,...,n,
a 2k1 1 1 2
k1 2(2k  )
2
第9页 | 共10页a a a n
∴ 1  2  n ＜ .
a a a 2
2 3 n1
a 2k 1 1 1 1 1 1 1 1
∵ k      ≥  ( ),k=1,2,…,n,
a 2k1 1 2 2(2k1 1) 2 3· 2k 2k 2 2 3 2k
k1
第10页 | 共10页