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湖湘名校教育联合体·2024 年下学期高二 10 月大联考
数学
本试卷全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上
无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1. 已知 ，则 （ ）
.
A B. C. D.
2. 将直线 绕点 逆时针旋转90°得到直线 ，则 的方程是（ ）
A. B. C. D.
3. 圆 与圆 的位置关系是（ ）
A. 内含 B. 内切 C. 外离 D. 相交
4. 若椭圆 的右焦点坐标为 ，则 的值为（ ）
A. 1 B. 1或3 C. 9 D. 1或9
5. 已知 空间任意一点， 四点共面，且任意三点不共线，若 ，则
的
最大值为（ ）
A. B. C. D.6. 如图，正四棱锥 的棱长均为2， 分别为 ， 的中点，则点 到直线 的距离
为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数 ，若对任意 恒成立，则 的取值范围为（
）
A. B.
C. D.
8. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.如图所示，某同学利用两个完全一样
的半圆柱，得到了一个三棱锥 ，该三棱锥为鳖臑， ， 为半圆柱的圆心，半径为 2，
， ，动点 在 内运动（含边界），且满足 ，则点 的轨迹长度为
（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9. 函数 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 是曲线 的一条对称轴 D. 在区间 上单调递增
的
10. 如图，正方体 体积为8， ， ， ， 分别为 ， ， ，
的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线 与 为异面直线
B. 向量 在向量 上的投影向量为
C. 若 为 上靠近点 的四等分点，则4
D. 线段 上存在点 ，使得 平面
11. 设圆 ，直线 为 上的动点，过点 作圆 的两条切线
，切点分别为 ， ，则下列说法正确的是（ ）A. 若圆心 到直线 的距离为 ，则
B. 直线 恒过定点
C. 若线段 的中点为 ，则 的最小值为
D. 若 ，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知事件 与事件 相互独立，且 ，则 __________．
13. 已 知 点 是 直 线 上 一 点 ， 则 的 最 小 值 为
__________．
14. 已知椭圆 的左，右焦点分别为 ，过原点的直线与 相交于 ，
两点，若 且 ，则椭圆 的离心率为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ．
（1）求角 的大小；
（2）若 ， ，角 的平分线交 于点 ，求线段 的长．
16. 已知圆 的圆心在 轴上，且经过点 ， ．
（1）求圆 的标准方程；
的
（2）若圆 上存在一点 满足 面积为5，求直线 的方程．
的
17. 图1是棱长为2 正方体 ， ， ， ， 分别是 ， ， ，的中点，截去三棱柱 和三棱柱 得到如图2的四棱柱 ，
分别是 ， 的中点，过点 ， ， 的平面 交 于点 ．
（1）求线段 的长；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值．
18. 在直角坐标系 中，点 ，动点 满足直线 与 的斜率之积为
．记 的轨迹为曲线 ．
（1）求 的方程，并说明 是什么曲线；
（2）过左焦点 且与坐标轴不垂直的直线 ，与曲线 相交于 ， 两点， 的中点为 ，直线
与曲线 相交于 ， 两点．求四边形 面积的取值范围．
19. 已知集合 ， 为正整数且 为集合 的子集，记 表示集合 中元
素的个数．
（1）当 时， ，请写出满足条件的集合 ；
（2）当 时，对任意的 可以相同），都有 ，求 的最大值；
（3）若 均为 的子集，且 ，求证：一定存在两个不同
的子集 ，使得 ．湖湘名校教育联合体·2024 年下学期高二 10 月大联考
数学
本试卷全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上
无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】A
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
【9题答案】
【答案】AD【10题答案】
【答案】ABC
【11题答案】
【答案】ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
【12题答案】
【答案】0.7
【13题答案】
【答案】5
【14题答案】
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分．答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【15题答案】
【答案】（1）
（2） ．
【16题答案】
【答案】（1）
（2） 或
【17题答案】
【答案】（1）
（2） ．
【18题答案】
【答案】（1）曲线 是以坐标原点为中心，焦点在 轴上，不包括左右两顶点的椭圆，；
（2） ．
【19题答案】
【答案】（1） ， ．
（2）10； （3）证明见解析
