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高二入学考试数学参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
A C B B C A D C ACD BCD BCD
12 . a＝ 13 . 14．(－∞，－4)∪(0，＋∞)
n
14.因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.设切点为A(x ，(x ＋a)ex)，O为坐标原点，
0 0 0
依题意得，切线斜率k ＝(x ＋a＋1)ex ＝，化简，得x＋ax －a＝0.因为曲线y＝(x＋a)ex
OA 0 0 0
有两条过坐标原点的切线，所以关于x 的方程x＋ax －a＝0有两个不同的根，所以Δ＝a2
0 0
＋4a>0，解得a<－4或a>0，所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞).
15．解 (1)设抽样比为x，则由分层随机抽样可知，街舞、围棋、武术三个社团抽取的人
数分别为48x，42x，30x.由题意得48x－42x＝1，解得x＝.
故街舞、围棋、武术三个社团抽取的人数分别为48×＝8，42×＝7，30×＝5.
(2)由(1)知，从围棋社团抽取的同学有7人，其中2名女生记为A，B，5名男生记为C，
D，E，F，G.从中随机选出2人担任该社团活动监督职务，有(A，B)，(A，C)，(A，D)，
(A，E)，(A，F)，(A，G)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(B，G)，(C，D)，(C，
E)，(C，F)，(C，G)，(D，E)，(D，F)，(D，G)，(E，F)，(E，G)，(F，G)，共21种不同
的结果，
至少有1名女同学担任监督职务，有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(A，
G)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(B，G)，共11种不同的结果，
所以至少有1名女同学担任监督职务的概率为P＝ .
16．解 (1)根据正弦定理，由c sin ＝a sin C可得sin C sin ＝sin A sin C，
即sin C sin ＝sin A sin C，即sin C cos ＝2sin cos sin C.因为0<C<π，0<A<π，
所以sin C>0，0<<，cos >0.所以sin ＝，即＝，A＝.
(2) 由正弦定理＝，可得＝，解得a＝，
根据余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A，即7＝4＋c2－2c，c2－2c－3＝0，
解得c＝3或c＝－1(舍去)，故c＝3.因为b<a，所以B<A＝，
所以cos B＝＝，所以sin2B＝2sin B cos B＝2××＝，
cos 2B＝1－2sin2B＝1－2×()2＝，
所以sin (2B＋A)＝sin 2B cos A＋cos 2B·sin A＝×＋×＝.
17．解 (1)连接BD.因为AB＝AD，且AB⊥AD，所以BD＝AD.
因为PD＝AD，所以PD＝BD.因为E为PB的中点，所以DE⊥PB.
因为DE⊥PC，PC，PB⊂平面PBC，且PC∩PB＝P，所以DE⊥平面PBC.
因为BC⊂平面PBC，所以DE⊥BC.
由题意得BC＝BD＝AB，则BC2＋BD2＝CD2，所以BC⊥BD.
因为BD，DE⊂平面PBD，且BD∩DE＝D，所以BC⊥平面PBD.
因为PD⊂平面PBD，所以BC⊥PD.因为PD＝BD＝AB，PB＝2AB，所以PB2＝PD2＋BD2，所以PD⊥BD.
因为BD，BC⊂平面ABCD，且BD∩BC＝B，所以PD⊥平面ABCD.
(2)以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，P，E，F(2，1，0)，
从而PB＝，BC＝(－2，2，0)，EF＝.
设平面PBC的法向量为m＝(x，y，z)，
则即令x＝1，得m＝.
设直线EF与平面PBC所成角为α，
则sin α＝＝＝＝，
所以直线EF与平面PBC所成角的正弦值为.
18. (1)当n＝1时，2S＝2a＝a＋2，解得a＝2；
1 1 1 1
当n≥3时，2S＝n(a＋2)，2S ＝(n－1)(a ＋2)，
n n n－1 n－1
两式相减可得(n－2)a－(n－1)a ＝－2，
n n－1
则－＝－2，－＝－2，…，－＝－2，
叠加可得－＝，则a＝n＋1，而n＝1，2时也符合题意，
n
所以数列{a}的通项公式为a＝n＋1.
n n
(2)由(1)知a＝n＋1，可得＝＝－，
n
故＋＋…＋＝－＋－＋…＋－＝.
方法一：由＋＋…＋≥λa ，可得≥λ(n＋2)，
n＋1
即λ≤，则λ≤ ，又由＝≤，
max
当且仅当n＝2时取等号，故实数λ的取值范围为.
方法二：由＋＋…＋＝－≥λ(n＋2)，
可得λ≤－＝－＋，
当n＋2＝4，即n＝2时， ＝，
max则λ≤，故实数λ的取值范围为.
19．解 (1)设A(x，y)，B(x，y)，
A A B B
由得y2－4py＋2p＝0，所以y＋y＝4p，yy＝2p，
A B A B
所以|AB|＝|y－y|＝×＝4，
A B
即2p2－p－6＝0，因为p>0，解得p＝2.
(2)因为F(1，0)，显然直线MN的斜率不可能为零，
设直线MN：x＝my＋n，M(x，y)，N(x，y)，
1 1 2 2
由得y2－4my－4n＝0，所以y＋y＝4m，yy＝－4n，
1 2 1 2
Δ＝16m2＋16n>0m2＋n>0.
因为FM·FN＝0，所以(x－1)(x－1)＋yy＝0，即(my＋n－1)(my＋n－1)＋yy＝0，
1 2 1 2 1 2 1 2
亦即(m2＋1)yy＋m(n－1)(y＋y)＋(n－1)2＝0，
1 2 1 2
将y＋y＝4m，yy＝－4n代入，得4m2＝n2－6n＋1，4(m2＋n)＝(n－1)2>0，
1 2 1 2
所以n≠1，且n2－6n＋1≥0，解得n≥3＋2或n≤3－2.
设点F到直线MN的距离为d，所以d＝，
|MN|＝×|y－y|＝
1 2
＝×＝2|n－1|，
所以△MFN的面积S＝×|MN|×d＝××2|n－1|＝(n－1)2，
而n≥3＋2或n≤3－2，
所以当n＝3－2时，△MFN的面积S ＝＝12－8.
min
