成都市第七中学2025-2026学年高二上学期11月半期考试数学答案_2025年11月高二试卷_251121四川省成都市第七中学2025-2026学年高二上学期11月半期考试（全）

2025～2026 学年度高二上期数学半期检测题 参考答案与评分标准 一、选择题(每小题5分，共40分) 1-4：CDAD; 5-8：BDDC． 8. 【解析】设 MF =t ， MF =t ，则t +t =2a①，在△FMF 中，由FMF =60及余弦定理可得 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 4 FF 2 = MF 2+ MF 2−2MF  MF cos60，即t2+t2−tt =4c2②，①2−②得tt = ( a2−c2) ， 1 2 1 2 1 2 1 2 12 12 3 1 3 1 3 所以S = tt sin60= ( a2−c2)，又S = (2a+2c)rr= (a−c)， F1MF2 2 12 3 F1MF2 2 3 2c 2 3c 又 =2R R= ，因为R=3r， sin60 3 2 3c 3 c 3 所以 =3 (a−c)，解得e= = . 3 3 a 5 二、选择题(每小题6分，共18分) 9. AC； 10.ABD； 11. BCD. 11.【解析】对于A，由弦长公式计算得 AB =6,7,8,9,10，由对称性，这样的弦长共1+2×3+1=8条; 对于B，设M(m,n),则切点弦AB所在直线的方程为mx+ny−25=0， 该直线过P(1,2)，则满足m+2n−25=0， 所以M 在直线x+2y−25=0上； 对于C， 圆O:x2 + y2 =25， 圆心O坐标(0,0)，半径r =5， 设圆心O到AB、CD的距离分别为d 、d ， 1 2 P(1,2)，则d2 +d2 =OP2 =5， 1 2 |AB|=2 r2 −d2 =2 25−d2 ，|CD|=2 r2 −d 2 =2 25−d 2 ， 1 1 2 2 1 S = |AB||CD| =2 25−d2  25−d 2 (25−d2)+(25−d 2)=50−5=45， 四边形ACBD 2 1 2 1 2 当且仅当d =d 时取等号，四边形ACBD面积的最大值为45； 1 2 对于D，如图所示，由O作AB，CD的垂线OE，OF ，连接OP，BD， 记OE=d ，OF =d ， P(5, 5)，则d2 +d 2 =OP2 =30． 1 2 1 2 AE=BE= 25−d2 ，PE= 30−d2 =d ， 1 1 2 CF =DF = 25−d 2 ，PF = 30−d 2 =d ， 2 2 1 1 1 故S =S −S = PBPD− PAPC 凸四边形ABDC PBD PAC 2 2 145 25 16. 解：（1）由题意得， 0.75 ，y= =0.625 ，z=2000.0350.2=6 ， x= =200 2000.045 0.065 所以x=200，y=0.625，z=6；……6分 （2）根据频率分布直方图， x =22.50.3+27.50.2+32.50.2+37.50.15+42.50.15=30.75， 所以估计这200人年龄的平均值为30.75；……10分 （3）从年龄段在[25,35)的“e族”中采取分层随机抽样的方法抽取9人进行深度专访， 25 从年龄段在[25,30)的“e族”中选9 =5（人），分别记为A，B，C，D，E ， 25+20 20 从年龄段在[30,35)的“e族”中选9 =4（人），分别记为a，b，c，d， 25+20 在这9人中选取2人作为幸运抽奖者，所有的基本事件有(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,E)， (A,a)，(A,b)，(A,c)，(A,d)，(B,C)，(B,D)，(B,E)，(B,a)，(B,b)，(B,c)， (B,d)，(C,D)，(C,E)，(C,a)，(C,b)，(C,c)，(C,d)，(D,E)，(D,a)，(D,b)， (D,c)，(D,d)，(E,a)，(E,b)，(E,c)，(E,d)，(a,b)，(a,c)，(a,d)，(b,c)，(b,d)， (c,d)，共36种， 选取的2名幸运抽奖者中至少有1人年龄在[30,35)中包含的基本事件有(A,a)，(A,b)， (A,c)，(A,d)，(B,a)，(B,b)，(B,c)，(B,d)，(C,a)，(C,b)，(C,c)，(C,d)， (D,a)，(D,b)，(D,c)，(D,d)，(E,a)，(E,b)，(E,c)，(E,d)，(a,b)，(a,c)， (a,d)，(b,c)，(b,d)，(c,d)，共26种， 26 13 因此，选取的2名幸运抽奖者中至少有1人年龄在[30,35)中的概率P= = ， 36 18 13 所以选取的2名幸运抽奖者中至少有1人年龄在[30,35)中的概率 .……15分 18 （注：本小问使用排列组合相关知识亦可得分） 17. 解：（1）取CF中点M ，连接OM,GM ， 1 由题意可知AG//EF 且AG= EF， 2 又因为O是矩形EBCF对角线的交点， 1 所以OM //EF 且OM = EF ，所以AG//OM 且AG=OM， 2 则四边形AOMG为平行四边形，所以AO//MG且AO=MG， 又因为AO平面GCF ，GM 平面GCF ，所以AO//平面GCF ；……6分 （2）因为在图1中EF ⊥ AE,EF ⊥BE，且EF =4,AE=BE=2, 在图2中上述关系依然成立， 2 所以AEB即为二面角A−EF−B的平面角，则AEB= π， 3 3以E为坐标原点，EB,EF分别为x轴，y轴正向，垂直平面EBCF向上方向为z轴， 建立空间直角坐标系Exyz，如图所示： 则B(2,0,0),F(0,4,0),C(2,4,0)， 2π 2π x = AEcos =−1,y =0,z = AEsin = 3，所以A(−1,0, 3)， A 3 A A 3 又因为AG=2，AG//平面BCFE，所以G(−1,2, 3)， 所以AB=(3,0,− 3)，FC=(2,0,0),GC=(3,2,− 3)， 设平面GFC的一个法向量n=(x,y,z)，  FCn=2x=0  x=0 则 ，则有 3 ，取n=(0, 3,2)， GCn=3x+2y− 3z=0 y= z  2 |ABn| 7 所以|cosAB,n|= = ， |AB||n| 7 7 所以直线AB与平面GCF 所成角的正弦值为 .……15分 7 x2 + y2 −1=0, 18. 解：（1）如图所示，由 x2 + y2 −2x−8y−19=0, 两式相减x2 + y2 −1−(x2 + y2 −2x−8y−19)=0，得x+4y+9=0， 所以圆O 与圆O 的公共弦所在的直线方程为x+4y+9=0， 1 3 又 圆O 与圆O 关于直线y=x+2对称，设圆O 的圆心为(a,b)， 1 2 2 b =−1   a a=−2  ,解得 , 圆O 方程为(x+2)2 +(y−2)2 =1；……6分  a − b +2=0 b=−2 2 2 2 1 （2）由相切，知OC ⊥ PC ，OD⊥ PD，设OPC =， OP =(4)，则sin= ,  故PCPD= PC  PD cosCPD= PC 2 cos2=(OP 2 −1)(1−2sin2) 2 2 =(2 −1)(1− )=2 + −3(4)， 2 2 2 2 105 令2 =t(t 16)，易知y =t+ −3在[16,+)单增，故PCPD16+ −3= (当t=16时取等号), t 16 8 105  ∴PCPD的取值范围是  ，+ ；……11分  8  4（3）由题设，Q(x,y)满足方程x2+ y2 =2x+8y+19， 2 QM 若存在N(m,n)，使 =k为定值，而 QM 2 = x2 + y2 −1， QN 2 =(x−m)2 +(y−n)2， 2 QN ∴x2+y2−1=k(x−m)2+k(y−n)2，整理得(1−k)(x2+y2)=k(m2+n2)−2mkx−2nky+1， 将x2+ y2 =2x+8y+19代入，得(1−k)(2x+8y+19)=k(m2+n2)−2mkx−2nky+1， 整理可得(2−2k+2mk)x+(8−8k+2nk)y+18−19k−k(m2+n2)=0，  1 m=−   2 2−2k+2mk =0  17 m=−1 QM   4  要使 =k为定值，则8−8k+2nk =0 ，解得n=− 或n=−4. QN 2   18−19k−k(m2 +n2)=0   17 17   k = 1  k =  2  18 2 1 4 QM 17 1 综上，存在N(− ,− )或N(−1,−4)，使 =k为定值，该定值对应为 或 . ……17分 17 17 QN 2 18 2 19. 解：（1）连接OM，设∠SOx为，02，设P(x,y)， x 由题意，有 x= x S =2cos ，即  2 =cos ，平方后相加，可得 x2 +y2 =1，  y = y R =sin  y =sin 4 x2 即轨迹C的方程为 +y2 =1；……5分 4 （2）由（1）知，设P(2cos,sin)，其中02， 设动点P到直线l:x+ y−4=0的距离为d, 2cos+sin−4 5sin(+)−4 5+4 10 d = =  = +2 2， 2 2 2 2 10 故动点P到直线l:x+ y−4=0的距离的最大值为 +2 2；……10分 2 (3)由对称性可知直线MN的斜率不为0，故可设直线MN:x=my+n， x2 联立直线MN与椭圆 x2 +y2 =1，  4 +y2 =1  ( m2+4 ) y2+2mny+n2−4=0， 4  x=my+n 设M(x,y )，N(x ,y )， 1 1 2 2 则Δ04+m2−n2 0， ……① 5−2mn n2−4 y +y = ,y y = ，……② 1 2 m2+4 1 2 m2+4 x 又Q(0,1)，所以MQ:x= 1 (y−1) ， y −1 1 −x 令 y=0，得点A横坐标x = 1 ， A y −1 1 −x 同理可得点B横坐标x = 2 ， B y −1 2 −x −x 故x +x = 1 + 2 =4， A B y −1 y −1 1 2 将x =my +n,x =my +n代入上式， 1 1 2 2 整理可得：(2m+4)y y +(n−m−4)(y +y )+4−2n=0， 1 2 1 2 再将②式代入得m2+2mn+n2−2m−2n=0(m+n)(m+n−2)=0， （i）若m+n=0，则直线MN:x=m(y−1)，恒过Q(0，1)，不合题意； （ii）若m+n−2=0，则MN:x=m(y−1)+2，恒过G(2，1)，符合题意， x2 故直线MN恒过G(2，1)，且与椭圆 +y2 =1始终有两个交点， 4 又Q(0，1),QT ⊥MN，垂足为T， 所以点T的轨迹是以GQ为直径的半圆（不含点G,Q，在直线GQ下方部分）， 且圆心C(1，1)，半径为1，所以OT  OC −1= 2−1，当且仅当点T在线段OC上时， 所以OT 的最小值为 2−1. ……17分 6