重庆市名校联盟2025-2026学年高二上学期第一次联合考试（11月期中）数学试卷（含答案）_251208重庆市名校联盟2025-2026学年高二上学期11月期中联考（全）

重庆市名校联盟2025-2026学年高二上学期第一次联合考试数学试卷 一、单选题 1．在空间直角坐标系中，点 关于 轴对称的点的坐标是（ ） A． B． C． D． 2．直线 的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 3．如图，在正方体 中，异面直线 与 所成的角等于（ ） A． B． C． D． 4．如图，在三棱锥 中， 为 中点， ， ， ，则 等于（ ） A． B． C． D． 5．已知圆心为 ，半径为2的圆的标准方程为（ ）A． B． C． D． 6．已知点 为椭圆 上任意一点，直线 过 ： 的圆心且与 交于 两点，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．点 为直线 上的一点，过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ， 则 的最小值为（ ） A． B． C． D．4 8．已知点 ，椭圆 上两点 ， 满足 ，当 （ ）时，点 横坐标 绝对值最大． A．－2 B．4 C．－3 D．5 二、多选题 9．已知圆 ，直线 ，下列说法正确的是（ ） A．若 ，则直线过圆心． B．若 ， ，则直线与圆相交． C．若直线与圆 相离，则 ． D．圆心到直线 的距离为3，则直线 与圆相切． 10．已知椭圆 的离心率为 ， 是 的焦点， 是 上一动点， 是圆上一动点，则（ ） A． B． 的焦距为 C． 的最小值为1 D． 的最大值为5 11．如图，棱长为3的正方体 ，动点 在正方体 内及其边界上运动，点 在棱 上，且 ，则下列说法正确的是（ ） A．若 ，且 ，则三棱锥 体积为定值 B．若 ，则动点 所围成的图形的面积为 C．若 ，则 的最小值为3 D．若动点 满足 ，则 的轨迹的长度为 三、填空题 12．已知直线 ，直线 ，当 时， ． 13．已知 ， ， ，若 ，则 的值为 ． 14．设点 、 为椭圆 的两个焦点，离心率 ， 是椭圆上与 、 不共线的任一点， 是 的内切圆圆心，延长 交直线 于点 ，则比值 为 ． 四、解答题 15．已知圆 ，直线 ． (1)求过圆心且与直线 垂直的直线方程． (2)直线 与圆 交于 ， 两点，求 的面积． 16．如图，长方体 中， ， ， ． (1)求证：平面 平面 ． (2)求三棱锥 的体积． 17．已知椭圆 ： 过 点，且离心率 ． (1)椭圆 的方程； (2)过右焦点 的直线 交椭圆 于两点 ， ，AB的中点为 ．设原点为 ，射线OM交椭圆 于点 ， 已知四边形AOBD为平行四边形，求直线 的方程． 18．如图，在三棱锥 中， ， ， 为 的中点．（1）证明： 平面 ； （2）若点 在棱 上，且二面角 为 ，求 与平面 所成角的正弦值． 19．设 ，在平面直角坐标系中，已知向量 ，向量 ， 且动点 的 轨迹为 ． (1)求轨迹 的方程，并说明该方程表示的曲线形状． (2)已知 ，证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹 恒有两个交点 ， ，且 （ 为坐标原点），并求出该圆的方程． (3)已知 ，设直线 与圆 相切于 ，且 与轨迹 只有一个公共点 ，当 为 何值时， 取得最大值？并求最大值．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C A B A C D ABD AC 题号 11 答案 ABD 12． 13． 14． 15．（1）由圆 ，即 ， 则圆心为 ，半径为 ， 直线 的斜率为1， 则所求直线的斜率为 ， 所求直线的方程为 ，即 . （2）圆心 到直线 的距离为 ， 则 ， 所以 的面积为 . 16．（1） 是长方体， ， ， ， ， ， 为平行四边形， ， 又 平面 ， 平面 ， 平面 ； ， ， ， ， ， ， 为平行四边形， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ；， 平面 ， 平面 ， 平面 平面 . （2） ， ， . 17．（1） 椭圆 过 点， ，又 ， ， 解得： ， 椭圆 的方程为 ； （2） 设直线 的方程为 ， 由 得 ， 设 ，则 . ， 四边形 为平行四边形. 设 ，则 ， 所以 ， ， 因为点 在椭圆 上， 所以得 ，解得 ， 当直线 的斜率不存在时，显然不成立 所以，直线 的方程为 或 18．（1）因为 ， 为 的中点，所以 ，且 ． 连结 ． 因为 ，所以 为等腰直角三角形， 且 ，由 知 ． 由 知， 平面 ． （2）［方法一］：【通性通法】向量法 如图，以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系 ．由已知得 取平面 的法向量 ． 设 ，则 ． 设平面 的法向量为 ． 由 得 ， 可取 所以 ．由已知得 ． 所以 ．解得 (舍去)， ． 所以 ． 又 ，所以 ． 所以 与平面 所成角的正弦值为 ． ［方法二］：三垂线＋等积法 由（1）知 平面 ，可得平面 平面 ．如图5，在平面 内作 ，垂足为 N，则 平面 ．在平面 内作 ，垂足为F，联结 ，则 ，故 为二 面角 的平面角，即 ．设 ，则 ，在 中， ．在 中，由 ，得 ，则 ．设点C到平面 的距离为h，由 ，得 ，解得 ，则 与平面 所成角的正弦值为 ． ［方法三］：三垂线＋线面角定义法 由（1）知 平面 ，可得平面 平面 ．如图6，在平面 内作 ，垂足为 N，则 平面 ．在平面 内作 ，垂足为F，联结 ，则 ，故 为二 面角 的平面角，即 ．同解法1可得 ． 在 中，过N作 ，在 中，过N作 ，垂足为G，联结 ．在 中， ．因为 ，所以 ． 由 平面 ，可得平面 平面 ，交线为 ．在平面 内，由 ，可得 平面 ，则 为直线 与平面 所成的角． 设 ，则 ，又 ，所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ． ［方法四］：【最优解】定义法 如图7，取 的中点H，联结 ，则 ．过C作平面 的垂线，垂足记为T（垂足T在平面内）．联结 ，则 即为二面角 的平面角，即 ，得 ． 联结 ，则 为直线 与平面 所成的角．在 中， ，所以 ． 【整体点评】（2）方法一：根据题目条件建系，由二面角的向量公式以及线面角的向量公式硬算即可求 出，是该类型题的通性通法； 方法二：根据三垂线法找到二面角的平面角，再根据等积法求出点到面的距离，由定义求出线面角，是几 何法解决空间角的基本手段； 方法三：根据三垂线法找到二面角的平面角，再利用线面角的等价转化，然后利用定义法找到线面角解出， 是几何法解决线面角的基本思想，对于该题，略显麻烦； 方法四：直接根据二面角的定义和线面角的定义解决，原理简单，计算简单，是该题的最优解． 19（1）因为 ， ， ， 所以 ， 即 . 当 时，方程表示两直线，方程为 ； 当 时， 方程表示的是圆； 当 且 时，方程表示的是椭圆. （2）当 时， 轨迹 的方程为 ， 设圆心在原点的圆的一条切线为 ，由 ，得 ， 要使切线与轨迹 恒有两个交点 ， ，设 ， ， 则 ， 即 ，即 ， 且 ， ， 则 ， 由 ，则 ， 即 ，所以 ， 即 且 ， 即 恒成立. 又因为直线 为圆心在原点的圆的一条切线， 所以圆的半径为 ， ， 所求的圆的方程为 . 当切线的斜率不存在时，切线为 ，与 交于点 或 ，也满足 . 综上所述， 存在圆心在原点的圆 ，使得该圆的任意一条切线与轨迹 恒有两个交点 ， ， 且 .（3）当 时，轨迹 的方程为 ， 设直线 的方程为 ， 因为直线 与圆 相切于 ， 则 ， 即 ①， 因为 与轨迹 只有一个公共点 ， 联立 ，得 ， 则 ， 即 ， ② 由①②得 ， 设点 ， 则 ， 又点 在椭圆 上，则 ，即 ， 所以 ， 在直角三角形 中， ，因为 当且仅当 时取等号， 所以 ， 当 时， 取得最大值，最大值为1.