2007年黑龙江高考文科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_黑龙江

2007 年黑龙江高考文科数学真题及答案 注意事项： 1．本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，总分150分， 考试时间120分钟． 2．答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的 位置上． 3．选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上． 4．非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹 清楚 5．非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或 在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效． 6．考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 参考公式： 如果事件A，B互斥，那么 球的表面积公式 P(AB) P(A)P(B) S 4πR2 如果事件A，B相互独立，那么 其中R表示球的半径 P(A B) P(A) P(B) 球的体积公式   4 如果事件A在一次试验中发生的概率是 p，那么 V  πR3 3 n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径 P (k)Ckpk(1 p)nk(k 0，1，2，… ，n) n n 一、选择题 1．cos330 （ ） 1 1 3 3 A． B． C． D． 2 2 2 2 2．设集合U {1，2，3，4}，A{1，2}，B{2，4}，则ð (A B)（ ） U  A．{2} B．{3} C．{1，2，4} D．{1，4} 3．函数y  sinx 的一个单调增区间是（ ）     3   3  A．  ，  B． ，  C． ，  D． ，2              第1页 | 共8页4．下列四个数中最大的是（ ） A．(ln2)2 B．ln(ln2) C．ln 2 D．ln2 x2 5．不等式 0的解集是（ ） x3 A．(3，2) B．(2，) C．(，3) (2，) D．(，2) (3，)     1  6．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD2DB，CD CACB，则（ ） 3 2 1 1 2 A． B． C． D． 3 3 3 3 7．已知三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（ ） 3 3 2 3 A． B． C． D． 6 4 2 2 x2 1 8．已知曲线y  的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为（ ） 4 2 A．1 B．2 C．3 D．4 9．把函数y ex的图像按向量a (2，3)平移，得到y  f(x)的图像，则 f(x)（ ） A．ex 2 B．ex 2 C．ex2 D．ex2 10．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方 法共有（ ） A．10种 B．20种 C．25种 D．32种 11．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ） 1 3 1 3 A． B． C． D． 3 3 2 2 y2 12．设 F，F 分别是双曲线 x2  1的左、右焦点．若点 P在双曲线上，且 1 2 9     PF PF 0，则 PF PF （ ） 1 2 1 2 A． 10 B．2 10 C． 5 D．2 5 第Ⅱ卷（非选择题） 本卷共10题，共90分 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 第2页 | 共8页13．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本， 则指定的某个个体被抽到的概率为 ． 14．已知数列的通项a 5n2，则其前n项和S  ． n n 15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为 1cm，那么该棱柱的表面积为 cm2． 8  1 16．(12x2)  1  的展开式中常数项为 ．（用数字作答）  x 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 设等比数列{a }的公比q1，前n项和为S ．已知a 2，S 5S ，求{a }的通项公 n n 3 4 2 n 式． 18．（本小题满分12分）  在△ABC中，已知内角A ，边BC 2 3．设内角B x，周长为y．  （1）求函数y  f(x)的解析式和定义域； （2）求y的最大值． 19．（本小题满分12分） 从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产 品中至多有1件是二等品”的概率P(A)0.96． （1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率 p； （2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B：“取出的2件产品中至少有一 件二等品”的概率P(B)． S 20．（本小题满分12分） 如图，在四棱锥SABCD中， 底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F 分别为AB，SC的中点． F （1）证明EF∥平面SAD； （2）设SD2DC，求二面角AEF D的大小． C D A E B 21．（本小题满分12分） 第3页 | 共8页在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x 3y 4相切． （1）求圆O的方程； （2）圆O与 x轴相交于 A，B两点，圆内的动点 P使 PA，PO，PB 成等比数列，求   PA PB的取值范围．  22．（本小题满分12分） 1 已知函数 f(x) ax3 bx2 (2b)x1 3 在x x 处取得极大值，在x x 处取得极小值，且0 x 1 x 2． 1 2 1 2 （1）证明a 0； （2）若z=a+2b,求z的取值范围。 参考答案 评分说明： 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主 要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容 和难度．可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分． 一、选择题 1．C 2．B 3．C 4．D 5．C 6．A 7．A 8．A 9．C 10．D 11．D 12．B 二、填空题 1 5n2 n 13． 14． 15．24 2 20 2 三、解答题 a (1qn) 17．解：由题设知a 0，S  1 ， 1 n 1q aq2 2，  1 a (1q2) 则a (1q4) 5 1 ． ② 1 1q   1q 由②得1q4 5(1q2)，(q2 4)(q2 1)0，(q2)(q2)(q1)(q1)0， 第4页 | 共8页因为q1，解得q1或q2． 当q1时，代入①得a 2，通项公式a 2(1)n1； 1 n 1 1 当q2时，代入①得a  ，通项公式a  (2)n1． 1 2 n 2  18 ． 解 ：（ 1 ） △ABC的 内 角 和 ABC ， 由 A ，B0，C 0得  2 0 B ．  应用正弦定理，知 BC 2 3 AC  sinB sinx4sinx， sinA  sin  BC 2  AB sinC 4sin  x ． sin A    因为y  ABBC AC ， 2   2 所以y 4sinx4sin  x  2 3  0 x ，     3    1  （2）因为y 4sinx cosx sinx2 3    2       5 4 3sin  x  2 3   x  ，          所以，当x  ，即x 时，y取得最大值6 3．    19．（1）记A 表示事件“取出的2件产品中无二等品”， 0 A表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”． 1 则A，A互斥，且A A  A ，故 0 1 0 1 P(A) P(A  A) 0 1  P(A )P(A) 0 1 (1 p)2 C1p(1 p) 2 1 p2 于是0.961 p2． 第5页 | 共8页解得 p 0.2，p 0.2（舍去）． 1 2 （2）记B 表示事件“取出的2件产品中无二等品”， 0 则B B ． 0 若 该 批 产 品 共 100 件 ， 由 （ 1 ） 知 其 中 二 等 品 有 1000.220件 ， 故 C2 316 P(B ) 80  ． 0 C2 495 100 316 179 P(B) P(B )1P(B )1  0 0 495 495 20．解法一： （1）作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点． 1 连结AG，FG∥ CD，又CD∥AB， 2 故FG∥AE，AEFG为平行四边形． S EF∥AG，又AG平面SAD，EF 平面SAD． 所以EF∥平面SAD． （2）不妨设DC 2，则SD4，DG 2，△ADG为等 腰直角三角形． F 取AG中点H ，连结DH ，则DH⊥AG． G 又AB⊥平面SAD，所以AB⊥DH ，而AB AG  A，  所以DH⊥面AEF ． 取EF 中点M ，连结MH ，则HM ⊥EF ． H M 连结DM ，则DM ⊥EF ． C 故DMH 为二面角AEF D的平面角 D DH 2 A tanDMH    2． E B HM 1 z 所以二面角AEF D的大小为arctan 2 ． S 解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系Dxyz． 设A(a，0，0)，S(0，0，b)，则B(a，a，0)，C(0，a，0)， F G  a   a b E  a，，0  ，F  0，， ，  2   2 2 M   b EF    a，0， 2   ． D C y A E B 第6页 | 共8页 x A b   b 取SD的中点G  0，0， ，则AG   a，0， ．  2  2   EF  AG，EF∥AG，AG平面SAD，EF 平面SAD， 所以EF∥平面SAD．  1   1  （2）不妨设A(1，0，0)，则B(1，1，0)，C(0，1，0)，S(0，0，2)，E  1，，0  ，F  0，，1 ．  2   2  1 1 1   1 1 1    EF 中点M  ，，  ，MD   ， ，  ，EF (1，0，1)，MD  EF 0，MD⊥EF 2 2 2  2 2 2   1    又EA  0， ，0 ，EA  EF 0，EA⊥EF ，  2    所以向量MD和EA的夹角等于二面角AEF D的平面角．    MD EA 3 cosMD，EA   ．   MD EA 3  3 所以二面角AEF D的大小为arccos ． 3 21．解：（1）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线x 3y 4的距离， 4 即 r  2． 13 得圆O的方程为x2  y2 4． （2）不妨设A(x，0)，B(x，0)，x  x ．由x2 4即得 1 2 1 2 A(2，0)，B(2，0)． 设P(x，y)，由 PA，PO，PB 成等比数列，得 (x2)2  y2 (x2)2  y2  x2  y2，  即 x2  y2 2．   PA PB(2x， y) (2x， y)    x2 4 y2 2(y2 1). 第7页 | 共8页x2  y2 4， 由于点P在圆O内，故 x2  y2 2. 由此得y2 1．   所以PA PB的取值范围为[2，0)．  22．解：求函数 f(x)的导数 f(x)ax2 2bx2b． （Ⅰ）由函数 f(x)在x x 处取得极大值，在x x 处取得极小值，知x，x 是 f(x)0 1 2 1 2 的两个根． 所以 f(x)a(xx )(xx ) 1 2 当x x 时， f(x)为增函数， f(x)0，由xx 0，xx 0得a 0． 1 1 2 f(0)0 2b0   （Ⅱ）在题设下，0 x 1 x 2等价于f(1)0 即a2b2b0 ． 1 2   f(2)0 4a4b2b0   2b0  化简得a3b20 ．  4a5b20  此不等式组表示的区域为平面aOb上三条直线：2b0，a3b20，4a5b20． 4 6 所围成的△ABC的内部，其三个顶点分别为：A  ，  ，B(2，2)，C(4，2)． 7 7 16 z在这三点的值依次为 ，6，8． b 7 所以z的取值范围为   16 ，8  ． 2 B(2，2)  7  C(4，2) 1 4 6 A ，  7 7 O 2 4 a 第8页 | 共8页