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微专题 21 动力学中的临界和极值问题
1．直接接触的连接体存在“要分离还没分”的临界状态。两物体即将分离时，a相同、F
N
＝0。靠静摩擦力连接(带动)的连接体，即将滑动时a相同，两物体间到达最大静摩擦力。2.
极限分析法：把题中条件推向极大或极小，找到临界状态，分析临界状态的受力特点，列出
方程。3.数学分析法：将物理过程用数学表达式表示，由数学方法(如二次函数、不等式、
三角函数等)求极值。
1．如图所示，卡车上固定有倾角均为 37°的两个斜面体，匀质圆筒状工件置于两个斜面间。
卡车正以90 km/h的速度匀速行驶，为了保证刹车时工件不与其中任何一个斜面脱离，则其
刹车的最小距离更接近于(路面能提供足够大的摩擦，sin 37°＝0.6)( )
A．23 m B．33 m C．43 m D．53 m
答案 C
解析 卡车刹车时，当后斜面的支持力为零时，加速度最大，设卡车安全刹车的最大加速度
大小为a，此时工件的受力情况如图所示，根据牛顿第二定律可得mgtan 37°＝ma，解得a＝
g。取g＝10 m/s2，根据运动学公式，则有0－v2＝－2ax，解得x＝ m。其刹车的最小距离
更接近于43 m，故C正确，A、B、D错误。
2. 如图所示，静止在光滑水平面上的斜面体，质量为M、倾角为α，其斜面上有一静止的滑
块(可视为质点)，质量为m，重力加速度为g。现给斜面体施加水平向右的力使斜面体加速
运动，若要使滑块做自由落体运动，图中水平向右的力F的最小值为( )
A. B. C. D．Mg
答案 A
解析 设滑块由静止到斜面体底端的距离为l，滑块做自由落体运动到达地面时竖直方向的
位移为lsin α，在水平向右的力F的最小值作用下，斜面体在水平方向的位移恰好为 lcos
关注公众号《黑洞视角》获取更多资料α，对滑块有lsin α＝gt2，对斜面体有lcos α＝at2，F＝Ma，解得F＝，故选项A正确。
3. 如图物体A叠放在物体B上，B置于水平面上。A、B质量分别为m ＝6 kg，m ＝2 kg，
A B
A、B之间的动摩擦因数μ＝0.2，B与地面之间的动摩擦因数μ＝0.1，最大静摩擦力等于滑
1 2
动摩擦力，F从零开始逐渐增加，则( )
A．无论F多大，A都不会相对B滑动
B．当拉力F超过16 N时，A开始相对B滑动
C．当A的加速度为1.5 m/s2时，A、B已经发生相对滑动
D．若把F作用在B上，方向仍然水平向右，A、B刚好发生相对滑动的F大小与作用在A
上相同
答案 D
解析 A、B之间的最大静摩擦力F ＝μm g＝12 N，B与地面之间的最大静摩擦力F ＝
f1 1 A f2
μ(m ＋m )g＝8 N，A与B刚好不发生相对滑动时，对B受力分析，a ＝＝2 m/s2，对于A、
2 A B B
B组成的系统F－F ＝(m ＋m )a ，解得F＝24 N，即拉力超过24 N时，A开始相对B滑动，
f2 A B B
A、B、C错误；把F作用在B上，A与B刚好不发生相对滑动时对A受力分析，F ＝μm g
f1 1 A
＝m a ，解得a ＝2 m/s2，对于A、B组成的系统F－F ＝(m ＋m )a ，解得F＝24 N，即
A A A f2 A B A
A、B刚好发生相对滑动的F大小与作用在A上相同，D正确。
4. (多选)如图所示，质量m ＝2 kg的水平托盘B与一竖直放置的轻弹簧焊接，托盘上放一
B
质量m ＝1 kg的小物块A，整个装置静止。现对小物块A施加一个竖直向上的变力F，使
A
其从静止开始以加速度a＝2 m/s2做匀加速直线运动，已知弹簧的劲度系数k＝600 N/m，g＝
10 m/s2。忽略空气阻力，弹簧始终在弹性限度内。以下结论正确的是( )
A．变力F的最小值为2 N
B．变力F的最小值为6 N
C．小物块A与托盘B分离瞬间的速度为0.2 m/s
D．小物块A与托盘B分离瞬间的速度为 m/s
答案 BC
解析 对A、B整体有F＋F －(m ＋m )g＝(m ＋m )a，F＝(m ＋m )a＋(m ＋m )g－
NAB A B A B A B A B
F ，当F 最大时，F最小，即刚开始施力时，F 最大，等于A、B所受的重力，则
NAB NAB NAB
F ＝(m ＋m )a＝6 N，A错误，B正确；刚开始，弹簧的压缩量为x ＝＝0.05 m，A、B分
min A B 1
离时，两者间恰好无作用力，对托盘B，由牛顿第二定律可知kx －m g＝m a，得x ＝0.04
2 B B 2
关注公众号《黑洞视角》获取更多资料m，物体A在这一过程的位移为Δx＝x －x ＝0.01 m，由运动学公式可知v2＝2aΔx，代入数
1 2
据得v＝0.2 m/s，C正确，D错误。
5. 如图所示，水平桌面上放置一个倾角为45°的光滑楔形滑块A，一细线的一端固定于楔形
滑块A的顶端O处，细线另一端拴一质量m＝0.2 kg的小球。若滑块与小球一起以加速度a
向左做匀加速运动(取g＝10 m/s2)，则下列说法正确的是( )
A．当a＝5 m/s2时，滑块对球的支持力大小为 N
B．当a＝15 m/s2时，滑块对球的支持力大小为 N
C．当a＝5 m/s2时，地面对A的支持力一定大于两个物体的重力之和
D．当a＝15 m/s2时，地面对A的支持力一定小于两个物体的重力之和
答案 A
解析 设加速度为a 时小球对滑块的压力等于零，对小球受力分析，受重力和拉力，根据
0
牛顿第二定律，水平方向有F ＝Fcos 45°＝ma ，竖直方向有Fsin 45°＝mg，解得a ＝g。
合 0 0
当a＝5 m/s2时，小球未离开滑块，水平方向有Fcos 45°－F cos 45°＝ma，竖直方向有Fsin
N
45°＋F sin 45°＝mg，解得F ＝ N，故A正确；当a＝15 m/s2时，小球已经离开滑块，只受
N N
重力和细线的拉力，滑块对小球的支持力为零，故B错误；当系统相对稳定后，竖直方向
没有加速度，受力平衡，所以地面对A的支持力一定等于两个物体的重力之和，故C、D错
误。
6. (多选)如图所示，质量为10 kg的物体A拴在一个被水平拉伸的弹簧一端，弹簧另一端固
定在小车上，弹簧的劲度系数为100 N/m，此时弹簧伸长了5 cm，物体A和车均处于静止
状态，g＝10 m/s2。下列说法正确的是( )
A．物体A与小车间的最大静摩擦力大小一定等于5 N
B．若让小车和物体一起以1 m/s2的加速度向右加速运动，则物体A受摩擦力方向向右，大
小为5 N
C．若让小车和物体A一起以0.5 m/s2的加速度向左减速运动，则物体A不受摩擦力
D．若让小车和物体A一起以1 m/s2的加速度向左加速运动，弹簧的长度一定不变
答案 BC
解析 根据胡克定律，有F ＝kx＝5 N，物体A处于静止状态，可得F ＝F ，因为0<F
弹 静 弹 静
≤F ，所以物体A与小车间的最大静摩擦力大小一定大于或等于5 N，故A错误；根据牛
max
顿第二定律，有F ＋F ′＝ma ，代入数据，得F ′＝5 N，物体A受摩擦力方向向右，B
弹 静 1 静
正确；根据牛顿第二定律，有F ＋F ″＝ma ，代入数据得F ″＝0，物体A不受摩擦力，
弹 静 2 静
关注公众号《黑洞视角》获取更多资料故C正确；根据牛顿第二定律，有F ＝ma ，代入数据，得F ＝10 N，当小车对物体A的
合 3 合
最大静摩擦力大于等于15 N时，弹簧的长度不变，小于15 N的时候，弹簧长度肯定会变短，
故D错误。
7．(多选)如图所示，三个物体A、B和C的质量分别为2m、m和m，A、B叠放在水平桌面
上，A通过跨过光滑定滑轮的轻绳与C相连，定滑轮左端的轻绳与桌面平行，A、B间的动
摩擦因数为μ(μ<1)，B与桌面间的动摩擦因数为，A、B、桌面之间的最大静摩擦力等于相
对应的滑动摩擦力，重力加速度为g，忽略其他阻力，下列说法正确的是( )
A．三个物体A、B、C均保持静止
B．轻绳对定滑轮的作用力大小为mg
C．若A、B之间发生相对滑动，则需满足μ<0.2
D．若A、B之间未发生相对滑动，则A受到的摩擦力大小为mg
答案 CD
解析 物体A与B之间的最大静摩擦力F ＝2μmg，物体B与桌面间的最大静摩擦力F ＝
f1 f2
3mg×＝μmg，则F <F ，由于μ<1即μmg<mg，物体B一定与桌面间发生相对滑动，故 A
f2 f1
错误；由于物体 C 加速下滑，绳子拉力 F <mg，因此轻绳对定滑轮的作用力大小 F＝
T
F <mg，故B错误；当A与B间恰好将发生相对滑动时，A与B的加速度恰好相等，此时对
T
物体B，F －F ＝ma
f1 f2
对A、B整体，F －F ＝3ma，对物体C，mg－F ＝ma，解得μ＝0.2。因此若A、B之间发
T f2 T
关注公众号《黑洞视角》获取更多资料生相对滑动，则需满足μ<0.2，故C正确；
若A、B之间未发生相对滑动，则对A、B、C整体，mg－F ＝4ma，对物体B，F－F ＝
f2 f f2
ma。可得A受到的摩擦力大小F＝mg，故D正确。
f
8. 如图所示，质量m＝1 kg的光滑小球用细线系在质量为M＝8 kg、倾角为α＝30°的斜面
体上，细线与斜面平行，斜面体与水平面间的摩擦不计，g取10 m/s2。求：
(1)若用水平向右的力F拉斜面体，要使小球不离开斜面，拉力F的最大值；
(2)若用水平向左的力F′推斜面体，要使小球不沿斜面滑动，推力F′的最大值。
答案 (1)90 N (2)30 N
解析 (1)小球不离开斜面体，两者加速度相同，临界条件为斜面体对小球的支持力恰好为
0，对小球受力分析如图甲
由牛顿第二定律得＝ma，解得a＝＝10 m/s2，
对整体由牛顿第二定律得F＝(M＋m)a＝90 N
(2)小球不沿斜面滑动，两者加速度相同，临界条件是细线对小球的拉力恰好为 0，对小球受
力分析如图乙，由牛顿第二定律得mgtan 30°＝ma′，解得a′＝ m/s2
对整体由牛顿第二定律得
F′＝(M＋m)a′＝30 N。
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