文档内容
2010年普通高等学校招生全国统一考试 A卷
文科数学（必修+选修Ⅱ）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，
每小题5分，共50分）.
1.集合A= x -1£ x£2 ，B= x x<1 ,则A∩B=
(A) x x<1 （B） x -1£ x£2
(C) x -1£ x£1 （D） x -1£ x<1
i
2.复数z= 在复平面上对应的点位于
1+i
(A)第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
3.函数 f(x)=2sinxcosx是
(A)最小正周期为2π的奇函数 （B）最小正周期为2π的偶函数
(C)最小正周期为π的奇函数 （D）最小正周期为π的偶函数
4.如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x 和x ,样本标准差
A B
分别为s 和s ,则
A B
(A) x ＞x ，s ＞s
A B A B
(B) x ＜x ，s ＞s
A B A B
(C) x ＞x ，s ＜s
A B A B
(D) x ＜x ，s ＜s
A B A B
5.右图是求x,x，…，x的乘积S的程序框图，图中空白框中应填入
1 2 10
的内容为
(A)S=S*(n+1)
(B)S=S*x
m+1
(C)S=S*n
(D)S=S*x
m
第- 1 -页 | 共12页6.“a>0”是“ a ＞0”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
7.下列四类函数中，具有性质“对任意的x>0,y >0，函数 f(x)满足
f(x+ y)= f(x)f(y)n”的是
（A）幂函数 （B）对数函数
（C）指数函数 （D）余弦函数
[来源:学科
8.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
（A）2 （B）1
2 1
（C） （D）
3 3
9.已知抛物线y2 =2px(p>0)的准线与圆 (x-3)2 + y2 =16相切，则p的值为
1
（A） （B）1 （C）2 （D）4
2
10.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数
大于6时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函
数y =x（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为
x x+3 x+4 x+5
（A）y＝[ ] （B）y＝[ ] （C）y＝[ ] （D）y＝[ ]
10 10 10 10
二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分
）.
11.观察下列等式：13+23 =(1+2)2,13 +23+33 =(1+2+3)2,
13+23 +33 +43 =(1+2+3+4)2, ,根据上述规律，第四个等式为 .
L
12.已知向量a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2)若(a+b)∥c，则m＝ .
ì3x+2,x<1,
13.已知函数 f(x)=í 若 f(f(0))=4a，则实数a＝ .
îx2 +ax,x³1,
第- 2 -页 | 共12页ìx+2y£4,
ï
14.设x,y满足约束条件íx- y£1, ，则目标函数z =3x- y的最大值为 .
ï
x+2³0,
î
15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
A.（不等式选做题）不等式 2x-1 <3的解集为 .
B.（几何证明选做题）如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分
别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝ cm.
ìx=cosa,
C.（坐标系与参数方程选做题）参数方程í （a为参数）
îy =1+sina
化成普通方程为 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）.
16.（本小题满分12分）
已知{a }是公差不为零的等差数列，a ＝1，且a ，a ，a 成等比数列.
n 1 1 3 9
（Ⅰ）求数列{a }的通项; （Ⅱ）求数列 2a n 的前n项和S .
n n
17.（本小题满分12分）
在△ABC中，已知B=45°,D是BC边上的一点，
AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.
.
[来源:Zxxk.Com]
18.(本小题满分12分)
如图，在四棱锥P—
ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，
F分别是PB,PC的中点.
(Ⅰ)证明：EF∥平面PAD；
(Ⅱ)求三棱锥E—ABC的体积V.
第- 3 -页 | 共12页.
19 （本小题满分12分）
为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样检查，测得身
高情况的统计图如下：
[来源:学。
科。网Z。X。X。K]
（Ⅰ）估计该校男生的人数；
（Ⅱ）估计该校学生身高在170~185cm之间的概率；
[来源:学.科.网]
（Ⅲ）从样本中身高在180~190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185~190cm之
间的概率.
20.（本小题满分13分）
x2 y2
如图，椭圆C: + =1的顶点为A,A ,B,B ，焦点为F,F ，
a2 b2 1 2 1 2 1 2
AB = 7,S =2S .
1 1 YB
1
A
1
B
2
A
2
YB
1
F
1
B
2
F
2
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
(Ⅱ)设n 为过原点的直线，l是与n垂直相交于P点，与椭圆相交于A,
uuur uuur uuur
B两点的直线， OP =1.是否存在上述直线l使OA×OB=0成立？若存在，求出直线l的方
程；并说出；若不存在，请说明理由.
21、(本小题满分14分)
已知函数 f(x)= x ，g(x)=alnx，aÎR.
（Ⅰ）若曲线y = f(x)与曲线y = g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线
的方程；
（Ⅱ）设函数h(x)= f(x)-g(x),当h(x)存在最小值时，求其最小值j(a)的解析式；
（Ⅲ）对（Ⅱ）中的j(a)，证明：当aÎ(0,+¥)时， j(a)£1.
[来源:学科网ZXXK]
第- 4 -页 | 共12页参考答案
17. 解：在△ADC中，AD=10，AC=14，DC=6,
AD2 +DC2 -AC2 100+36-196 1
由余弦定理得cosÐ = =- ,
2AD DC 2´10´6 2
g
\ÐADC=120°, ÐADB=60°
[来源:Z*xx*k.Com]
在△ABD中，AD=10, ÐB=45°, ÐADB=60°，
AB AD
由正弦定理得 = ,
sinÐADB sinB
3
10´
AD sinÐADB 10sin60°
g 2
\AB= = = =5 6
sinB sin45° 2
2
18. 解： (Ⅰ) 在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.
又BC∥AD，∴ EF∥AD,
又∵ADË平面PAD，EFË平面PAD,
[来源:学科网]
∴EF∥平面PAD.
(Ⅱ)连接AE，AC，EC，过E作EG∥PA交AB于点G,
第- 5 -页 | 共12页19. 解 ：（Ⅰ）样本中男生人数为40 ，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400.
（Ⅱ）由统计图知，样本中身高在170~185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人，样本容
量为70
35
，所以样本中学生身高在170~185cm之间的频率 f = =0.5,故有 f 估计该校学生身高在17
70
0~180cm之间的概率 p=0.5.
（Ⅲ）样本中身高在180~185cm之间的男生有4人，设其编号为①，②，③，④，
样本中身高在185~190cm之间的男生有2人，设其编号为⑤，⑥，
从上述6人中任取2人的树状图为：
故从样本中身高在180~190cm之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15，至少有1人身高
9 3
在185~190cm之间的可能结果数为9，因此，所求概率 p = = .
2 15 5
20. 解 : (Ⅰ)由 AB = 7 知a2+b2=7, ①
1 1
由S AB A B =2S BFB F 知a=2c, ②
Y 1 1 2 2 Y 1 1 2 2
又b2=a2-c2 ③
由 ①，②，③解得a2=4,b2=3,
x2 y2
故椭圆C的方程为 + =1.
4 3
(Ⅱ) 设A,B两点的坐标分别为（ x ,y）,x ,y
1 1 2 2
uuur uuur
假设使OA OB=0成立的直线l存在，
g
(i) 当l不垂直于x轴时，设l的方程为y =kx+m,
第- 6 -页 | 共12页uuur
由l与n垂直相交于P点且 OP =1得
0= x x + y y = x x +(kx +m)(kx +m)
1 2 1 2 1 2 1 2
= x x +k2x x +km(x +x )+m2
1 2 1 2 1 2
=(1+k2)x x +km(x +x )+m2,
1 2 1 2
将④，⑤代入上式并化简得
(1+k2)(4m2 -12)-8k2m2 +m2(3+4k2)=0, ⑥
将m=1+k2代入⑥并化简得-5(k2 +1)=0，矛盾.
即此时直线l不存在.
[来源:学&科&网]
uuur
（ii）当l垂直于x轴时，满足 OP=1的直线l的方程为x=1或x=-1，
3 3 3 3
则A,B两点的坐标为(1, ),(1,- ),或(-1, ),(-1,- ),
2 2 2 2
uuur uuur 3 3 5
当x=1时，OA OB=(1, ) (1,- )=- ¹0;
g g
2 2 4
uuur uuur 3 3 5
当x=-1时，OA OB=(-1, ) (-1,- )=- ¹0;
g g
2 2 4
∴ 此时直线l也不存在.
uuur uuur
综上可知，使OA OB=0成立的直线l不存在.
g
1 a
21. 解： （Ⅰ） f¢x = ,g¢(x)= (x>0),
2 x x
第- 7 -页 | 共12页ì x =alnx,
ï e
由已知得í 1 a 解得a= ，x=e2,
= , 2
ï
î2 x x
（i）当a>0时，令h¢(x)=0,解得x=4a2，
∴ 当0 4a2时，h¢(x)>0,，h(x)在(4a2,+¥)上递增.
∴ x=4a2是h(x)在(0,+¥)上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点.
∴ 最小值j(a)=h(4a2)=2a-aln4a2 =2a(1-ln2a).
x -2a
（ii）当a£0时，h¢(x)= >0, h(x)在（0，+∞）上递增，无最小值。
2x
故h(x)的最小值j(a)的解析式为j(a)=2a(1-ln2a)(a>0).
（Ⅲ）由（Ⅱ）知j(a)=2a(1-ln2-lna).
1
则j¢ (a)=-2ln2a，令j¢ (a)=0解得a= .
2
1 1
当00，∴j(a)在(0, )上递增；
2 2
1 1
当a> 时，j¢ (a)<0，∴j(a)在( ,+¥)上递减.
2 2
1 1
∴j(a)在a= 处取得最大值j( )=1,
2 2
1
∵j(a)在(0,+¥)上有且只有一个极值点，所以j( )=1也是j(a)的最大值.
2
∴当aÎ(0,+¥)时，总有j(a)£1.
第- 8 -页 | 共12页选择填空解析：
1.集合A={x －1≤x≤2}，B＝｛x x＜1｝,则A∩B= [D]
(A){x x＜1} （B）{x －1≤x≤2}
(C) {x －1≤x≤1} (D) {x －1≤x＜1}
解析：本题考查集合的基本运算
由交集定义得{x －1≤x≤2}∩｛x x＜1｝={x －1≤x＜1}
i
2.复数z= 在复平面上对应的点位于 [A]
1+i
(A)第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
解析：本题考查复数的运算及几何意义
i i(1-i) 1 1 1 1
= = + i，所以点（ , )位于第一象限
1+i 2 2 2 2 2
3.函数f (x)=2sinxcosx是 [C]
(A)最小正周期为2π的奇函数 （B）最小正周期为2π的偶函数
(C)最小正周期为π的奇函数 （D）最小正周期为π的偶函数
解析：本题考查三角函数的性质
f (x)=2sinxcosx=sin2x，周期为π的奇函数
4.如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x 和x ,样本标准差
A B
分别为s和s,则 [B]
A B
解析：本题考查样本分析中两个特征数的作
(A) x ＞x ，s＞s
A B A B 用
(B) x ＜x ，s＞s x ＜10＜x ；A的取值波动程度显然大于B
A B A B A B
，所以s＞s
(C) x ＞x ，s＜s A B
A B A B
(D) x ＜x ，s＜s
A B A B
第- 9 -页 | 共12页5.右图是求x,x，…，x的乘积S的程序框图，图中空白框中应填入的内容为 [D]
1 2 10
(A)S=S*(n+1)
（B）S=S*x
n+1
(C)S=S*n
(D)S=S*x
n
解析：本题考查算法
S=S*x
n
6.“a＞0”是“ a ＞0”的 [A]
(A)充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
解析：本题考查充要条件的判断
a >0 a >0, a >0 a >0，\ a＞0”是“ a ＞0”的充分不必要条件
7.下列四类函数中，个有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f（x＋y）＝f（x）
f（y）”的是 [C]
（A）幂函数 （B）对数函数 （C）指数函数 （D）余弦函数
解析：本题考查幂的运算性质
f(x)f(y) = axay = ax+y = f(x+ y)
8.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
[B]
（A）2 （B）1
2 1
（C） （D）
3 3
2
2
解析：本题考查立体图形三视图及体积公式
如图，该立体图形为直三棱柱 1
1
所以其体积为 ´1´ 2´ 2 =1
2
9.已知抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切，则p的值为
[C]
1
（A） （B）1 （C）2 （D）4
2
解析：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系
p
法一：抛物线y2＝2px（p>0）的准线方程为x = - ，因为抛物线y2＝2px（p>0）的准线与
2
p
圆（x－3）2＋y2＝16相切，所以3+ = 4,p = 2
2
第10页 | 共12页法二：作图可知，抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切与点（-
1,0）
p
所以- = -1,p = 2
2
10.某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的
余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用
取整函数y＝[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为 [B]
x x+3 x+4
（A）y＝[ ] （B）y＝[ ] （C）y＝[ ]
10 10 10
x+5
（D）y＝[ ]
10
解析：法一：特殊取值法，若x=56，y=5,排除C、D，若x=57，y=6，排除A，所以选B
x+3 a+3 x
法二：设x =10m+a(0£a£9)，0£a£6时, = m+ = m = ，
10 10 10
x+3 a+3 x
当6
