文档内容
2024 届高三下学期开学摸底考
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的．
1．若全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．若复数 ，其中 ，则复数 在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．在等比数列 中， 成等差数列，则 （ ）
A．3 B． C．9 D．
4．放射性物质的半衰期 的定义为：每经过时间 ，该物质的质量会衰减成原来的一半．由此可知，
，其中 为初始时物质的质量， 为经过的时间， 为半衰期， 为经过时间 后物质的质量．
若某铅制容器中有 ， 两种放射性物质，半衰期分别为 ， ，开始时这两种物质的质量相等，100天
后测量发现物质 的质量为物质 的质量的四分之一，则 （ ）
A． B． C．50 D．25
5．过抛物线 的焦点 作直线交抛物线于 ， 两点，则
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知向量 ， ，则向量 与 夹角的余弦值为（ ）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
7．已知体积为 的正四棱锥 的所有顶点均在球 的球面上，则球 的表面积的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
8．已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知 ， 都是正数，且 ，则下列说法正确的是（ ）．
A． 的最大值为 B． 的最小值为
C． 的最小值为 D． 的最大值为
10．已知由样本数据 （ ）组成的一个样本，得到经验回归方程为 且 ，
去除两个异常数据 和 后，得到的新的经验回归直线的斜率为3，则（ ）
A．相关变量 ， 具有正相关关系
B．去除异常数据后，新的平均数
C．去除异常数据后的经验回归方程为
D．去除异常数据后，随 值增加， 的值增加速度变小
11．已知圆锥 （ 是底面圆的圆心， 是圆锥的顶点）的母线长为 ，高为 .若 、 为底面圆周上
任意两点，则下列结论正确的是（ ）
A．三角形 面积的最大值为
B．三棱锥 体积的最大值
C．四面体 外接球表面积最小值为
D．直线 与平面 所成角余弦值最小值为
12．已知双曲线 的离心率为 ， ， 是双曲线 的两个焦点，经过点 直
线 垂直于双曲线 的一条渐近线，直线 与双曲线 交于 ， 两点，若 的面积为 ，则
（ ）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．双曲线 的渐近线方程为 B．双曲线 的实轴长为
C．线段 的长为 D． 是直角三角形
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知 的二项式系数和为256，则展开式中含 项的系数为 ．
14．已知 ， ，则 .
15．已知圆 与圆 有3条公切线，则 的值为 ．
16．设函数 ，若不等式 有且只有三个整数解，则实数 的取值范围
是 .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
记 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ， ．
（1）求 ；
（2）若D是边 上一点， ，且 ，求 的面积，
18．（12分）
已知数列 是数列 的前 项和，已知对于任意 ，都有 ，数列 是等差
数列， ，且 成等比数列.
（1）求数列 和 的通项公式.
（2）记 ，求数列 的前 项和 .
（3）记 ，求 .
19．（12分）
如图，在多面体 中，四边形 是矩形， ， 平面 ， 为 的中点，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司， ．
（1）证明： 平面 ；
（2）求平面 与平面 的夹角的余弦值．
20．（12分）
直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受．针对这种现状，某公司决定
逐月加大直播带货的投入，直播带货金额稳步提升，以下是该公司2023年前5个月的带货金额：
月份 1 2 3 4 5
58
带货金额 /万元 350 440 700 880
0
（1）求变量 ， 之间的线性回归方程，并据此预测2023年7月份该公司的直播带货金额．
（2）该公司随机抽取55人进行问卷调查，得到如下不完整的列联表：
参加过直播带货 未参加过直播带货 总计
女
25 30
性
男
10
性
总
计
请填写上表，并判断是否有90%的把握认为参加直播带货与性别有关．
参考数据： ， ， ， ， ．
参考公式：线性回归方程的斜率 ，截距 ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司附： ，其中 ．
0.15 0.10 0.05 0.025
2.072 2.706 3.841 5.024
21．（12分）
在椭圆 ： （ ）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆 ： 上，称此
圆为椭圆的蒙日圆．椭圆 过 ，
（1）求椭圆 的方程；
（2）过椭圆 的蒙日圆上一点 ，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点 ，若 ， 存在．证明：
为定值．
22．（12分）
已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时，若 且 ，求证： ．
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