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(209)--第五章：多元函数微分学_已解密_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{3}--全部课件

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,0
0
0
lim
)
0,0
(
0







x
f
x
x
,0
0
0
lim
)
0,0
(
0







x
f
y
y

]
)
0,0
(
)
0,0
(
[
)]
0,0
(
)
,
(
[
lim
0
0
y
f
x
f
f
y
x
f
y
x
y
x













2
2
0
0
)
(
)
(
lim
y
x
y
x
y
x










,0
0
)
(
1
sin
)
(
lim
)
0,0
(
2
2
0









x
x
x
f
x
x
,0
0
)
(
1
sin
)
(
lim
)
0,0
(
2
2
0









y
y
y
f
y
y

]
)
0,0
(
)
0,0
(
[
)]
0,0
(
)
,
(
[
lim
0
0
y
f
x
f
f
y
x
f
y
x
y
x













2
2
2
2
2
2
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
1
sin
)
)
(
)
((
lim
y
x
y
x
y
x
y
x














)
0,0
(
)
,
(

y
x
2
2
2
2
2
2
1
cos
2
1
sin
2
)
,
(
y
x
y
x
x
y
x
x
y
x
f x





,0
1
sin
2
lim
2
2
)
0
,
0
(
)
,
(



y
x
x
y
x
2
2
2
2
)
0
,
0
(
)
,
(
1
cos
2
lim
y
x
y
x
x
y
x



)
0,0
(
)
1
,0
(
)
1
,0
(
)
1
,1
(
)
0,0
(
)
1
,1
(
)
1
,1
(
f
f
f
f
f
f
f











.2
1
1
)
1
(
)
,0
(
)
1
,
(










y
x
f
f
.
1.1
1.1
)
,
(
y
x
y
x
f


,0
)
1
,1
(
,2.2
)
1,1
(
,0
)
1,1
(







f
f
f
)
0,0
(
)
0,1
(
)
0,1
(
)
1,1
(
)
0,0
(
)
1,1
(
f
f
f
f
f
f









.1
0
1
)
1
(
)
0,
(
)
,1
(










x
y
f
f
1
)
0,0
(
)
1,1
(



f
f
2
2
)
0
,
0
(
)
,
(
2
2
)
0
,
0
(
)
,
(
2
2
2
2
)
0
,
0
(
)
,
(
lim
)
,
(
lim
)
(
)
,
(
lim
y
x
y
x
y
x
f
y
x
y
x
y
x
f
y
x
y
x
y
x










1
)
,
(
lim
2
2
)
0
,
0
(
)
,
(




y
x
y
x
f
y
x
【解1】 直接法
           
0
)
,
(
lim
)
0
,
0
(
)
,
(


y
x
f
y
x
,0
)
0,0
(

f
)
,
(
y
x
f
)
0,0
(
则
，若
在
点连续，否则不连续。故(A）不正确。
【解法2】排除法
,
,0
,1
0
,
)
,
(
2
2
2
2
2
2









y
x
y
x
y
x
y
x
f
 
0
2
)
,
(
lim
2
2
2
2
)
0
,
0
(
)
,
(







y
x
y
x
y
x
y
x
f
y
x
,0
)
0,0
(

f
0
2
)
,
(
lim
2
2
)
0
,
0
(
)
,
(





y
x
y
x
y
x
f
y
x
【解】
知，
且
则 
,0
]
2
[
)
0,0
(
)
,
(
lim
2
2
)
0
,
0
(
)
,
(







y
x
y
x
f
y
x
f
y
x
)
(
2
)
0,0
(
)
,
(







y
x
f
y
x
f
,1
)
0,0
(
,2
)
0,0
(



y
x
f
f
【解】验证法：（A）(C)（D）都不满足
x
x
f y


)
0,
(
，故应选（B）.
2
2
2



y
z
),
(
2
2
x
y
dy
y
z







,
2
x
y
y
z










),
(
)
2
(
2
x
xy
y
dy
x
y
z

.1
2



xy
y
z
0
)
,
(
lim
2
2
0
0






y
x
y
x
f
y
x
,0
)
0,0
(

f
,0
)
,
(
2
2

y
x
y
x
f
,0
)
0,0
(
)
0,
(
lim
0






x
f
x
f
x
,0
)
0,0
(
)
0,
(
lim
0







x
f
x
f
x
y
y
x
x
z
d
d
d


,
)
(
2
1
2
2
C
y
x
z



【解1】
【解2】
)
(
ln
)
(
y
f
x
f
x
z




)
(
)
(
)
(
y
f
y
f
x
f
y
z




)
(
ln
)
(
2
2
y
f
x
f
x
z




 
，
，
，
y
x
z


2
)
(
)
(
)
(
y
f
y
f
x
f



)
(
)]
(
[
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
y
f
y
f
y
f
y
f
x
f
y
z







)
(
)
(
y
g
x
f
x
z




)
(
)
(
y
g
x
f
y
z




)
(
)
(
2
2
y
g
x
f
x
z




)
(
)
(
2
y
g
x
f
y
x
z






)
(
)
(
2
2
y
g
x
f
y
z




 
，
，
，
，
.
2
2
2
2
2
2
2
)]
0
(
)
0
(
[
)
0
(
)
0
(
)
0
(
)
0
(
g
f
g
f
g
f
y
x
z
y
z
x
z






















).
0
(
)
0
(
)
0
(
)
0
(
g
f
g
f



                               
y
x
F
F
x
y





)
(
0
)
(
0 
x
y
2)
(
]
[
]
[
)
(
y
x
yy
yx
y
xy
xx
F
F
y
F
F
F
y
F
F
x
y















)
,
(
)
,
(
)
(
0
0
0
0
0
y
x
F
y
x
F
x
y
y
xx





，
B
y
x
u
C
y
u
A
x
u










2
2
2
2
2
,
,
,0
2




y
x
u
,0
2
2
2
2






y
u
x
u
,0
,0



C
A
B
0
2 
B
AC
【解】 
由题设
可知,
则 
),
(
)
1
sin(
1
)
1
(
)
,0
(
y
y
y
y
z







,1
)
1
(




.1
)
1,
0
(




y
z
,
1
4
2
2
y
x
y
x
z




,
)
,0
(
2
y
y
zx

.2
2
1
)
1,
0
(
2






y
y
x
y
z
 
)
e
ln(
ln
y
x
x
z












y
y
x
x
x
z
x
z
e
)
e
ln(
.2
ln
2
1
)
0
,1
(




x
z
，
,
)
(
1
ln
1
1





















y
x
y
x
y
x
y
y
x
x
z
y
x
,
)
(
1
ln
1
2
2
2






















y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
z
y
x
,2
ln
2
1
)
1,1
(




x
z
),
2
ln
2
1
(
)
1,1
(





y
z
).
d
)(d
2
ln
2
1
(
d
)
1,1
(
y
x
z



        
  
2
,1


y
x
.0

z
,
ln
ln
)
ln(
y
x
y
z
x



,
1
)
ln(
x
y
z
xz
y
z
x 



).
2
ln
1
(
2


xz
0
,1



y
x
.1

z
,0
3
3
3
3
3
3
2
2
2






xydz
xzdy
yzdx
dz
z
dy
y
dx
x
;0
3
3
3



dy
dz
dx
,
3
2
2
2
3
2
3
dz
z
e
x
dy
z
e
x
dx
z
xe
du
y
y
y



.
3
2
dz
dy
dx
du




.
2
5
)
3
3
(
2
dy
dx
dy
dx
dy
dx
du









x
x
f

)
0,
(
.1
)
0,
(

x
f x
y
x
y
x
z




2
),
(
2
1
)
(
2
x
y
xy
dy
y
x
x
z









,1
2
1
2 




y
xy
x
z
),
(
2
1
2
1
)
1
2
1
(
2
2
2
y
x
xy
y
x
dx
y
xy
z








.
)
(
2
y
y 

2
1
)
2,
(
x
x
x
u

x
x
x
u
x
x
u
2
)
2,
(
2
)
2,
(
12
11


x
x
x
u

)
2,
(
1
)
2,
(
2
)
2,
(
2
1


x
x
u
x
x
u
0
)
2,
(
4
)
2,
(
2
)
2,
(
2
)
2,
(
22
21
12
11




x
x
u
x
x
u
x
x
u
x
x
u
0
)
2,
(
4
)
2,
(
5
12
11


x
x
u
x
x
u
.
3
4
)
2,
(
11
x
x
x
u


,
1
1
)
(
2
1
2
2
1
F
x
F
y
x
z
F
F
x
z








,
1
1
)
(
2
1
2
2
1
F
x
F
y
F
y
z
F
y
z








.






y
z
y
x
z
x
)
(
xy
z 
t
t
y
x
f
y
t
x
f
t
)
,
(
)
,
2
(
lim
0
0
0
0
0




t
y
x
f
t
y
x
f
y
x
f
y
t
x
f
t
)]
,
(
)
,
(
[
)]
,
(
)
,
2
(
[
lim
0
0
0
0
0
0
0
0
0







)
,
(
)
,
(
2
0
0
0
0
y
x
f
y
x
f
y
x




5
1
2
2




0
)
1
(
2
2
)
,
(
lim
2
2
0
1








y
x
y
x
y
x
f
y
x
,2
)
0,1
(
,1
)
0,1
(



y
x
f
f
t
f
t
f
f
t
f
t
t
f
t
f
t
t
)
0,1
(
)
2,1
[
]
0,1
(
)
0,
1
(
[
lim
)
2,1
(
)
0,
1
(
lim
0
0









.5
)
0,1
(
2
)
0,1
(



y
x
f
f









1
0
1
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
xy
xy
dt
t
f
xy
t
dt
t
f
t
xy
dt
t
f
t
xy
z







1
1
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
xy
xy
xy
xy
dt
t
f
xy
dt
t
tf
dt
t
tf
dt
t
f
xy








1
2
2
2
2
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
xy
xy
x
dt
t
f
y
xy
f
xy
xy
f
xy
xy
f
xy
xy
f
xy
t
f
y
z




1
0
)
(
)
(
xy
xy
dt
t
f
y
dt
t
f
y
)
(
2
)
(
)
(
2
2
2
xy
f
y
xy
f
y
xy
f
y
zxx



)
(
2
2
xy
f
x
z yy 
).
(
)
(
2
2
2
xy
f
y
x
z
z
yy
xx



;
2
2
3
1
y
x
x
f
f
x
u







;
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
33
2
2
13
11
2
2
y
x
x
y
f
y
x
x
f
y
x
x
f
f
x
z














,1
)
1,1
(
))
1,1
(
,1
(
)
1
(



f
f
f

1
2
1
3
d
)
(
d
)
(
3
)
(
d
d







x
x
x
x
x
x
x



1
2
1
2
1
2
))]
,
(
)
,
(
))(
,
(
,
(
))
,
(
,
(
)[
(
3








x
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
f
x
x
f
x
f
x

.
51
)]
3
2
(
3
2
[
1
3






  
               
                   
.
d
d
d
d
d
d
x
z
z
f
x
y
y
f
x
f
x
u









2
e

xy
xy
,0
d
d
d
d
e












x
y
x
y
x
y
x
y
xy
.
d
d
x
y
x
y





z
x
x
t
t
t
0
d
sin
e
,
d
d
1
)
sin(
e








x
z
z
x
z
x
x
.)
sin(
)
(
e
1
d
d
z
x
z
x
x
z
x




.
)
sin(
)
(
e
1
d
d
z
f
z
x
z
x
y
f
x
y
x
f
x
u
x
















,
v
z
u
z
x
z








,
2
v
z
a
u
z
y
z









,
2
2
2
2
2
2
2
2
v
z
v
u
z
u
z
x
z












,
4
4
2
2
2
2
2
2
2
2
v
z
a
v
u
z
a
u
z
y
z












.
)
2
(
2
2
2
2
2
2
2
v
z
a
v
u
z
a
u
z
y
x
z















【解1】  
  
  
            
  
.0
)
6
(
)
5
10
(
2
2
2
2










v
z
a
a
v
u
z
a
0
6
2 


a
a
,0
5
10

a
.3

a
.
2
,
2
2







a
v
u
y
a
v
au
x
,
2
1
2
y
z
a
x
z
a
a
u
y
y
z
u
x
x
z
u
z




























































v
y
y
z
v
x
x
y
z
a
v
y
y
x
z
u
x
x
z
a
a
v
u
z
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
.
2
1
)
2
(
2
)
2
(
2
2
2
2
2
2
2
2
y
z
a
y
x
z
a
a
x
z
a
a














      
      
           
【解2】  
,
u
x
y 
)
(
)
(
u
f
y
x
z


x
y
y
z
x
z






.
)
(
2
)
(
)
1
(
2
u
u
f
u
f
u




C
u
u
u
u
u
u
f








1
2
)
1
ln(
1
1
)
(
.
2
)
1
ln(
)
(
y
x
x
y
y
x
z





)
(
)
(
)
,
(
2
2
y
x
g
r
g
y
x
f



r
x
r
g
y
x
x
r
g
x
f








)
(
)
(
2
2
3
2
2
)
(
)
(
r
xy
r
g
r
xy
r
g
y
x
f







3
2
2
2
sin
cos
)
(
sin
cos
)
(
r
r
r
g
r
r
r
g








0
2




y
x
f
.0
)
(
1
)
(




r
g
r
r
g
2
2
1
)
(
C
r
C
r
g


.
)
(
)
,
(
2
2
2
1
C
y
x
C
y
x
f



2
2
y
x
r


,
dr
dz
r
x
x
r
dr
dz
x
z








,
1
3
2
2
2
2
2
2
2
dr
dz
r
x
dr
dz
r
dr
z
d
r
x
x
z








,
1
3
2
2
2
2
2
2
2
dr
dz
r
y
dr
dz
r
dr
z
d
r
y
y
z








.
2
2
2
r
z
dr
z
d


.2
sin
cos
2
2
1




r
r
C
r
C
z













0
)
(
2
4
0
)
(
2
4
3
3
y
x
y
f
y
x
x
f
y
x
)
0,0
(
),
1,1
(
),
1
,1
(


)
1,1
(
),
1
,1
(


0
2 
B
AC
0

A
)
0,0
(
.0
2 
B
AC
;0
)
0,0
(

f
.0
2
)
,
(
4 


x
x
x
f
.0
)
0,
(
2
4



x
x
x
f
      
                                                       
),
2
(
2
)
,
(
2
y
x
y
x
f x



.1
ln
2
)
,
(
2




y
y
x
y
x
f y







,0
)
,
(
,0
)
,
(
y
x
f
y
x
f
y
x




e
1
,0
【解】  
令
解得唯一驻点
. 由于
,
e
1
2
2
)
2
(
2
e
1
,0
2
e
1,
0
2


















y
f
A
xx
,0
4
e
1
,0
e
1,
0











xy
f
B
xy
e,
1
2
e
1
,0
e
1,
0
2


















y
x
f
C
yy
                   
0
e
1
2
e
2
2
2







B
AC
.0

A
.
e
1
e
1
,0






f
所以
极小值为
0
)
1
(

g
,
)
(
2
1
f
x
g
y
fy
x
z







].
)
(
)[
(
)
(
]
)
(
[
22
21
2
12
11
1
2
f
x
g
f
x
g
y
f
x
g
f
x
g
f
x
y
f
y
x
z

















).
1,1
(
)
1,1
(
)
1,1
(
12
11
1
1
1
2
f
f
f
y
x
z
y
x











)
,
(
))
,
(
,
(
))
,
(
,
(
1
2
1
y
x
f
y
x
f
y
x
f
y
x
f
y
x
f
x
z










))
,
(
,
(
)
,
(
)
,
(
))
,
(
,
(
))
,
(
,
(
2
12
2
12
11
2
y
x
f
y
x
f
y
x
f
y
x
f
y
x
f
y
x
f
y
x
f
y
x
f
y
x
z
















)].
,
(
))
,
(
,
(
))
,
(
,
(
)[
,
(
2
22
21
1
y
x
f
y
x
f
y
x
f
y
x
f
y
x
f
y
x
f









,0
)
1,1
(
,0
)
1,1
(
2
1




f
f
).
1,1
(
)
2,2
(
)
2,2
(
12
2
11
)
1,1
(
2
f
f
f
y
x
z
























.0
8
2
4
,0
8
8
2
4
y
y
y
x
x
x
z
xz
zz
y
z
xz
z
zz
x
1

z
7
8


z
)
1,0,2
(
).
7
8
,0,
7
16
(

)
7
8
,0,
7
16
(

取极小值,
取极大值.
)
1,0,2
(
)
)
1
(
(
)
1
(
)
,
(
2
2
y
x
o
y
x
y
x
f







0
)
0,1
(

f
.1
)
0,1
(
)
0,1
(





y
x
f
f
  
,
2
2
2
1
2
1
y
f
x
e
f
g
x
f
y
e
f
g
xy
y
xy
x










.0
)
0,0
(
,0
)
0,0
(




y
x
g
g
2
22
21
2
1
12
11
2
2
)
2
(
)
2
(
2
f
x
x
f
y
e
f
y
e
f
y
e
x
f
y
e
f
g
xy
xy
xy
xy
x













x
y
f
x
e
f
e
xy
e
f
y
e
y
f
x
e
f
g
xy
xy
xy
xy
xy
xy
2
)
2
(
)
(
)
2
(
22
21
1
12
11












2
22
21
2
1
12
11
2
2
)
2
(
)
2
(
2
f
y
y
f
x
e
f
x
e
f
x
e
y
f
x
e
f
g
xy
xy
xy
xy
y













1
)
0,1
(
)
0,0
(
,2
)
0,1
(
2
)
0,0
(
1
2
2












f
g
B
f
g
A
xy
x
，
，
2
)
0,1
(
2
)
0,0
(
2
2






f
g
C
y
0
3
2


B
AC
0

A
0
)
0,1
(
)
0,0
(

f
g
，











,0
2
4
,0
2
2
2
2
y
x
y
f
xy
x
f
y
x
.2
)
1,2
(
),
1,2
(



f
)
2
2
(
0
:
1




x
y
L
,
)
0,
(
)
(
2
x
x
f
x
g


)
0
(
4
:
2
2
2



y
y
x
L
).
2
2
(
8
5
)
4
,
(
)
(
2
4
2








x
x
x
x
x
f
x
h
.8
)
2,0
(
)
0
(

f
h
.
4
7
2
3
,
2
5
2
5














f
h
【解】 
)
25
4
(
2
12
)
,
,
(
2
2
2
2






y
x
y
xy
x
y
x
F



















0
25
4
)
2
(
0
2
4
12
)
1
(
0
8
12
2
2
2
y
x
F
y
y
x
F
x
y
x
F
y
x



令
由(1) 和(2)式知：







0
)
2
(
6
0
6
)
4
1
(
y
x
y
x


且有非零解.
,0
2
6
6
4
1





4
17
,2
2
1





则  
解得 
2
1 

.
50
),
3,2
(
),
3
,2
(
2
1




z
P
P
时, 驻点
4
17
2



.
4
425
),
4
,
2
3
(
),
4,
2
3
(
4
3



z
P
P
时, 驻点
0
4
12
,0
12
2






y
x
z
y
x
z
y
x
得驻点
0
)
0,0
(
),
0,0
(

z
)
10
(
2
)
,
,
,
(
2
2
2






z
y
x
yz
xy
z
y
x
F



























0
10
0
2
2
0
2
2
0
2
2
2
2
z
y
x
F
z
y
F
y
z
x
F
x
y
F
z
y
x




【解】令   
1）当
时，
0


,0
2
,0



z
x
y
);
2,5
,1
(
1P
);
2
,5
,1
(
2


P
);
2,5
,1
(
3

P
);
2
,5
,1
(
4



P
2）当
时，
0


,
5,
2
2
2
y
x
z
x


);
2
,0,2
2
(
5

P
);
2
,0,2
2
(
6 
P
;
5
5
)
(
)
(
4
1


P
u
P
u
;
5
5
)
(
)
(
3
2



P
u
P
u
;0
)
(
)
(
6
5


P
u
P
u
).
4
(
)
(
)
,
,
,
,
(
2
2
2
2
2










z
y
x
z
y
x
z
y
x
z
y
x
F






































,0
4
,0
,0
2
,0
2
2
,0
2
2
2
2
z
y
x
F
z
y
x
F
z
F
y
y
F
x
x
F
z
y
x








【解】  
令        
),
2,1,1
(
)
,
,
(
1
1
1

z
y
x
).
8,2
,2
(
)
,
,
(
2
2
2



z
y
x
解方程组，得  
故所求的最大值为72，最小值为6. 
)
)(
(
x
X
x
y
y
Y




y
x
y
x
x
y
3
3
)
(





y
x
Y
y
x
X
3
1
,
3
1
0
0




       
)
8
1
(
2
1
xy
S


)
0
,0
(


y
x
)
1
3
2
3
(
)
,
,
(
2
2





y
xy
x
xy
y
x
F


2
2
y
x 
,
8
1

y
x
4
1

S
 
         
   
  
   
  
)
5
3
(
)
2
(
)
,
,
,
,
(
2
2
2
2








z
y
x
z
y
x
z
z
y
x
L






























,5
3
,0
2
,0
3
4
2
,0
2
,0
2
2
2
2
z
y
x
z
y
x
z
z
L
y
L
x
L
z
y
x






y
x 







,5
3
2
,0
2
2
2
2
z
x
z
x








,5
,5
,5
z
y
x






.1
,1
,1
z
y
x
)
(
)
2
3
(
)
,
,
,
,
(
2
2
2
2
2
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x
z
y
x
L













2
6
13
11
d






6
13
11
1


d
6
13
11
2


d
  
    


































0
1
2
3
0
2
2
0
2
0
3
2
2
2
2
2
z
y
x
L
z
y
x
L
z
z
L
y
y
L
x
x
L
z
y
x








xy
)
0
(



k
k
q
y
p
x
q
p
【证】求函数
在条件
下的最大值。
)
(
)
,
(
k
q
y
p
x
xy
y
x
L
q
p





0
1 



p
x
x
y
L

0
1 



q
y
y
x
L

k
q
y
p
x
q
p


令 
 
             
                 
q
k
y
k
x
p
1
,
1


q
x
p
x
k
k
k
k
xy
q
p
q
p
q
p






1
1
1
1
（I）
10000
)
0,0
(
,
6
,
2
20









C
y
y
C
x
x
C
.
2
6
4
20
10000
)
,
(
2
2
y
y
x
x
y
x
C





（II）
,
50
0,
2
)
50
(
)
50
(
6
4
20
10000
)
50
,
(
)
(
2
2











x
x
x
x
x
x
x
C
x
f
0
36
2
3
)
(




x
x
f
.
24

x
（III）
32
)
2
20
(
26
24
26
24









y
x
y
x
x
x
C
 
y
x
y
x
C
y
x
R
y
x
L
2
)
,
(
)
,
(
)
,
(




36
4
2
32
14
2
2






y
xy
x
y
x
【解】1）令
                    


















0
8
2
32
0
2
2
14
y
x
y
L
y
x
x
L
3
,4


y
x
40
)
3,4
(
max

L
                    
)
6
2
(
)
,
(
)
,
,
(




y
x
y
x
L
y
x
F






















0
6
2
0
2
8
2
32
0
2
2
14
y
x
F
y
x
F
y
x
F
y
x



2）令
2
,2


y
x
28
)
2,2
(
max

L
)
(
2
)
,
(
)
,
(
2
2
y
x
y
x
f
y
x
g



1
2
2

y
x
,1
)
,
(

y
x
g
1
)
0,0
(

g
)
,
(
y
x
g
)
,
(
0
0 y
x
0
)
,
(
)
,
(
0
0
0
0






y
y
x
g
x
y
x
g
0
0
0
4
)
,
(
x
x
y
x
f




0
0
0
4
)
,
(
y
y
y
x
f




.
16
)
(
16
)
,
(
)
,
(
2
0
2
0
2
0
0
2
0
0
















y
x
y
y
x
f
x
y
x
f
【证】考查函数
在单位圆周
上，
. 而
. 
可在单位圆内
，从而有
取到它的最小值.设该点是
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