精品解析：北京市第三中学2023~2024学年九年级上学期期中数学试题（解析版）(1)_北京初中期末题_C605-京七八九_B京市数学七八九_北京9上数学_2023-2024_北京数学9上期中

微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 2023-2024 学年北京三中九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗 产代表作名录．以下剪纸中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形的概念，根据中心对称图形与轴对称图形的概念：把一个图形绕某一 点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，是解决问题 的关键． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，故不符合题意； B．该图形不是中心对称图形，故不符合题意； C．该图形是中心对称图形，故符合题意； D．该图形不是中心对称图形，故不符合题意． 故选：C． 2. 抛物线y＝（x＋3）2﹣1的顶点坐标是（ ） A. （3，﹣1） B. （3，1） C. （﹣3，1） D. （﹣3，﹣1） 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式的特点即可求解． 【详解】抛物线y＝（x＋3）2﹣1的顶点坐标是（-3，﹣1） 故选D． 【点睛】此题主要考查二次函数的顶点，解题的关键是熟知二次函数y＝（x-h）2+k的顶点为（h，k）． 3. 如图，将三角形△ABC绕着点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC=90°， 则∠A的度数是（ ） 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 A. 35° B. 65° C. 55° D. 25° 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质，可得知∠ACA′=35°，从而求得∠A′的度数，又因为∠A的对应角是∠A′，则 ∠A度数可求． 【详解】解：∵△ABC绕着点C时针旋转35°，得到 AB′C′ ∴∠ACA′=35°，∠A'DC=90° △ ∴∠A′=55°， ∵∠A的对应角是∠A′，即∠A=∠A′， ∴∠A=55°． 故选C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质，图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点 旋转固定角度的位置移动．其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变．解 题的关键是正确确定对应角． 4. 若关于x的方程 两个相等的实数根，则k的值是（ ） A. B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式．根据题意，运用根的判别式 即可求解． 【详解】解：∵关于 的方程 有两个相等的实数根， ， ∴ ， 解得， ， 故选：B． 5. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ） 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 A. a＞0，b＞0，c＞0 B. a＜0，b＞0，c＞0 C. a＜0，b＞0，c＜0 D. a＜0，b＜0，c＞0 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线开口方向确定a的符号，利用对称轴方程可确定b的符号，利用抛物线与y轴的交点 位置可确定c的符号． 【详解】∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴x＝﹣ ＞0， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＞0， 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定 抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和 二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时 （即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物 线与x轴交点个数由△决定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线 与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 6. 如图，在 中，弦 ， ， ，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的 圆心角的一半．先根据圆周角定理得到 ，然后根据三角形外角的性质计算 的度 数． 【详解】解：∵ ∴ ， ∵ ∴ ． 故选：D． 7. 某农场2019年的产值为80万元，通过改进技术，2021年的产值达到96.8万元，求该农场这两年产值的 年平均增长率．设该农场这两年产值的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的运用，增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的 量×（1+增长率），参照本题，如果年平均增长率为x，根据“2019年产值80万元，2021年产值96.8万 元”即可得出方程． 【详解】解：根据题意得：2019的产值为：80万元，则：2021的产值为： 万元． 那么可得方程： ． 故选：A． 8. 如图，线段AB＝5，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段AB运动至点B，以点A为 圆心，线段AP长为半径作圆．设点P的运动时间为t，点P，B之间的距离为y，⊙A的面积为S，则y与 t，S与t满足的函数关系分别是（ ） 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 A. 正比例函数关系，一次函数关系 B. 一次函数关系，正比例函数关系 C. 一次函数关系， 二次函数关系 D. 正比例函数关系，二次函数关系 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分别列出y与t，S与t的函数关系，进而进行判断即可． 【详解】解：根据题意得 ， ， 即 ，是一次函数； ⊙A的面积为 ，即 ，是二次函数 故选C 【点睛】本题考查了列函数表达式，一次函数与二次函数的识别，根据题意列出函数表达式是解题的关键． 二、填空题（共16分，每小题2分） 9. 在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中任意一点 ，关于原点的对称点是 ，即关于原点的对称 点，横、纵坐标都变成相反数． 【详解】解：点 关于原点对称的点的坐标是 ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了关于原点 对的称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相 反数． 10. 抛物线 向上平移 个单位后得到的抛物线表达式是_____． 【答案】 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，先求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式即可写出 抛物线的解析式，利用顶点式确定二次函数的解析式是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线 的顶点坐标是 ， ∴平移后的抛物线的顶点坐标是 ， ∴得到的抛物线解析式是 ． 故答案为： ． 11. 已知 是关于x的方程 的一个根，则n的值是 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把 代入原一元二次方程得到关于n的一次方程，然后解一次 方程即可．理解能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解决问题的关键． 【详解】解：把 代入方程 得： ， 解得 ，即 的值为 ． 故答案为： ． 12. 已知a是方程 的一个根，则代数式 的值是________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据题意“a是方程 的一个根”，则可把 代入原方程，得到关于a的一个 一元二次方程，通过移项得到“ ”，将 当作一个整体，代入原代数式，即可得到答案． 【详解】解： 是方程 的一个根， ， 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 ， ， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的 解，将 当作一个整体，代入原代数式是解题的关键． 13. 如图， 与 相切于点B， 的延长线交 于点C．若 ，则∠C=_____． 【答案】 ##25度 【解析】 【分析】连接 ， 与 相切于点B，得到 ，根据三角形内角和得到 的度数， 然后用三角形外角的性质求出 的度数． 【详解】解：如图：连接 ， ∵ 与 相切于点B， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 故答案是： ． 【点睛】本题考查了切线的性质，三角形的内角和定理和三角形外角的性质，求出 的度数是解题 的关键． 14. 如图，在 中， ， ，点D在 上，且 ，将点D绕着点 A 顺时针方向旋转，使得点 D 的对应点 E 恰好落在 边上．若连接 ，则 的长为 ________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，由旋转的性质可得旋转角为 ， ，由勾股定理可求解． 【详解】解：如图，连接 ， 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 ， ， ， ∵将点D绕着点A顺时针方向旋转，使得点D的对应点E恰好落在 边上， ∴旋转角为 ， ， ， ， 故答案为: ． 15. 抛物线 的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程 的两 根为 _______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，理解二次函数与x轴的交点的横坐标就是对应的方程的解是解题关 键．根据抛物线的对称性求出抛物线与 轴的另一个交点坐标即可求解． 【详解】解：根据图象可得：图象与x轴的一个交点是 ，对称轴为直线 ， ∴图象与x轴 另的一个交点是 ， 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 ∴关于x的一元二次方程 的两根为： ． 故答案为： ． 16. 如图，在平面直角坐标系 中，P为x轴正半轴上一点．已知点 ， ， 为 的外接圆． （1）点M的纵坐标为 _____； （2）当 最大时，点P的坐标为 __________． 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】（1）根据点A、点B的坐标求出 的中点，根据外心的概念得到点M的纵坐标； （2）连接 、 ，过点M作 轴于点N，根据垂径定理求出 ，进而求出 ，根据勾股 定理计算，得到答案． 【详解】解：（1）∵点 ， ， ∴ 的中点坐标为 ， ∵ 为 的外接圆， ∴点M在 的垂直平分线上， ∴点M的纵坐标为5， 故答案为：5； （2）连接 ， ， 根据解析（1）可知，点M一定在直线 上， 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 ∵ 为 的外接圆，点P在x轴上， ∴ ， ∴ ， 如图，过点M作 于点N， ∵ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴当 最小时， 最大，即 最大， 最大， ∴当 ，即当 与x轴相切于点P时， 最大， 连接 、 ， ∵ 与x轴相切于点P， ∴ 轴， ∴四边形 为矩形， ∴ ， ， 在 中， ， ∴ ， ∴点P的坐标为 ， 故答案为： ． 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心、切线的性质、圆周角定理，根据圆周角定理得到当 与 x轴相切于点P时， 最大是解题的关键． 三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分；第23-26题，每小题5分：第27-28题， 每小题5分） 17. 解方程： ． 【答案】 ， ． 【解析】 【分析】方程利用配方法求出解即可． 【详解】∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程－配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 18. 如图， 是 的直径，弦 于点H， ， ，求 的半径的长． 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理、含 角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握 圆周角定理和垂径定理是解题的关键．连接 ，先根据垂径定理可得 ，根据含 角的 直角三角形的性质可得 ，设 的半径的长为 ，则 ，再根据圆周角定理可得 ，然后在 中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，连接 ， ∵ 是 的直径，弦 ， ， ， ， ， 设 的半径的长为 ，则 ， 由圆周角定理得： ， ， 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 在 中， ，即 ， 解得 或 （不符合题意，舍去）， 即 的半径的长为2． 19. 下面是小明设计的“作圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程. 已知：⊙O. 求作：⊙O的内接等腰直角三角形ABC. 作法：如图， ①作直径AB； ②分别以点A, B为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧交于M 点； ③作直线MO交⊙O于点C，D； ④连接AC，BC． 所以△ABC就是所求的等腰直角三角形. 根据小明设计的尺规作图过程，解决下面的问题： （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明. 证明：连接MA，MB． ∵MA=MB，OA=OB， ∴MO是AB的垂直平分线． ∴AC= ． 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 ∵AB是直径, ∴∠ACB= ( ) (填写推理依据) ． ∴△ABC是等腰直角三角形． 【答案】（1）见解析；（2）BC，90°，直径所对的圆周角是直角 【解析】 【分析】（1）过点O任作直线交圆于AB两点，再作AB的垂直平分线OM，直线MO交⊙O于点C，D； 连结AC、BC即可； （2）根据线段垂直平分线的判定与性质得出AC=BC，根据圆周角定理得出∠ACB=90°即可． 【详解】（1）①作直径AB； ②分别以点A, B为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧交于M 点； ③作直线MO交⊙O于点C，D； ④连接AC，BC． 所以 ABC就是所求的等腰直角三角形. △ （2）证明：连接MA，MB． ∵MA=MB，OA=OB， ∴MO是AB的垂直平分线． ∴AC=BC． ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°(直径所对的圆周角是直角) ． ∴△ABC是等腰直角三角形． 故答案为：BC，90°，直径所对的圆周角是直角． 【点睛】本题考查尺规作圆内接等腰直角三角形，圆周角定理，线段垂直平分线判定与性质，掌握尺规作 圆内接等腰直角三角形，圆周角定理，线段垂直平分线判定与性质是解题关键． 20. 已知关于 的一元二次方程 ． 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个根小于2，求 的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2） ． 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得△＝（k−4）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根； （2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x＝4，x＝k，根据方程有一根小于2，即可得出k的取值 1 2 范围． 【详解】（1）∵ ， ∴△= ， ∴方程总有两个实数根． （2）∵ ， ∴ ， 解得： ， ， ∵该方程有一个根小于2， ∴ ． 【点睛】本题考查了根 的判别式、因式分解法解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程表示出方 程的两个根，熟练掌握当△≥0时，方程有两个实数根是解题关键． 21. 若二次函数 的x与y的部分对应值如下表： x … -4 -3 -2 -1 0 1 … y … -5 0 3 4 3 0 … （1）求此二次函数的解析式； （2）画出此函数图象 （不用列表） ； （3）结合函数图象，当y>0时，直接写出自变量x的取值范围． 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 【答案】（1） ；（2）图见解析；（3） ． 【解析】 【分析】（1）先根据表格可知二次函数的顶点坐标为 ，从而可得二次函数的解析式为 ，再将点 代入计算即可得； （2）根据表格中的数据，利用描点法画出函数图象即可得； （3）找出函数图象位于 轴上方时， 的取值范围即可得． 【详解】解：（1）由表格可知，此二次函数的顶点坐标为 ， 则设二次函数的解析式为 ， 将点 代入得： ，解得 ， 则二次函数的解析式为 ，即 ； （2）利用描点法画出函数图象如下： 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 （3） 表示二次函数的图象位于 轴上方， 则自变量 的取值范围为 ． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、画二次函数的图象等知识点，熟练掌握待定系数法是解题关键． 22. 如图．在平面直角坐标系 中， 的顶点坐标分别为 ， ， ．将 绕点 顺时针旋转 得到△ ，点 旋转后的对应点为 （1）画出旋转后的图形△ ，并写出点 的坐标； （2）求点 经过的路径 的长（结果保留π）． 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 【答案】（1）详见解析，点A′的坐标为 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查作图—旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义与性质及弧长公式． （1）将点 、 分别绕点 顺时针旋转 得到其对应点，再与点 首尾顺次连接即可； （2）根据弧长公式求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，△ 即为所求． 点 的坐标为 ； 【小问2详解】 由图知， ， ， 点 在旋转过程中所走过的路径长 ． 23. 如图，AC是⊙O的弦，过点O作OP⊥OC交AC于点P，在OP的延长线上取点B，使得BA＝BP． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为4，PC＝ ，求线段AB的长． 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 【答案】（1）见解析；（2） ． 【解析】 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质可得∠BPA＝∠BAP、∠OAC＝∠OCA．再运用等量代换说明∠OAB ＝90°，即可证明结论； （2）先由勾股定理可得OP=2, 设AB＝x，则OB＝x＋2．在Rt△AOB中运用勾股定理列方程解答即可． 【详解】解：（1）证明：∵BA＝BP， ∴∠BPA＝∠BAP． ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA． ∵OP⊥OC， ∴∠COP＝90°． ∴∠OPC＋∠OCP＝90°． ∵∠APB＝∠OPC， ∴∠BAP＋∠OAC＝90°．即∠OAB＝90°， ∴OA⊥AB． ∵OA为半径， ∴AB为⊙O的切线； （2）在Rt△OPC中，OC＝4，PC＝ ， ∴OP＝ 2． 设AB＝x，则OB＝x＋2． 在Rt△AOB中， ， ∴x＝3,即AB＝3． 【点睛】本题主要考查了圆的性质、圆的切线证明、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质、定理成为解 答本题的关键． 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 24. 在美化校园的活动中，某兴趣小组借助如图所示的直角墙角（墙角两边 和 足够长），用 长的篱笆围成一个矩形花园 （篱笆只围 和 两边），设 ，则 ． （1）求y与x之间的关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当矩形花园的面积为 时，求 的长； （3）如果在点P处有一棵树（不考虑粗细），它与墙 和 的距离分别是 和 ，如果要将这棵 树围在矩形花园内部（含边界），直接写出矩形花园面积的最大值 【答案】（1） （2） 长为 或 （3）花园面积最大值为 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用： （1）根据矩形面积=长×宽求解． （2）令 ，然后解一元二次方程，即可作答．． （3）由点P在矩形内部可得x的取值范围，将函数解析式化为顶点式求解． 解题关键是根据题意列出等式，掌握二次函数求最值的方法 【小问1详解】 解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 ∴ ， ∴y与x的关系式为 ． 【小问2详解】 解：令 ，则 ， 解得 或 ， ∴ 长为16m或12m． 【小问3详解】 解：∵点P在矩形内部， ∴ ， 解得 ． ∵ ， 当 时，y随x增大而增大， ∴ 时，y取最大值为 ， 答：花园面积最大值为 ． 25. 篮球是学生非常喜爱的运动项目之一、篮圈中心距离地面的竖直高度是 ，小石站在距篮圈中心 水平距离 处的点 练习定点投篮，篮球从小石正上方出手到接触篮球架的过程中，当篮球运行的水 平距离是 （单位： ）时，球心距离地面的竖直高度是 （单位： ），记录了如下两次训练： 的 （1）第一次训练时，篮球 水平距离 与竖直高度 的几组数据如下： 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 水平距 离 竖直高 度 ①在平面直角坐标系 中，描出以如表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接； ②结合表中数据或所画图象，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度，并求 与 满足的函数解 析式； ③小石第一次投篮练习没能投进，请说明理由； （2）第二次训练时，小石通过调整出手高度的方式将球投进．篮球出手后运行路线的形状与第一次相同， 达到最高点时，篮球的位置恰好在第一次的正上方，则小石的出手高度是 ． 【答案】（1）①详见解析；② 米； ；③理由见解析． （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，根据图象求出抛物线解析式是解答本题的关键． （1）①根据表中数据，描点，连线，作出函数图象； ②根据表格数据和函数图象设抛物线解析式为 ，然后由待定系数法求出函数解析式； ③当 时求出 的值，再与 比较得出结论； （2）根据题意第二次篮球运行的抛物线相当于第一次篮球运行的抛物线向上平移 个单位，然后把 代入解析式求出 ，得到答案． 【小问1详解】 解：①如图所示，根据题意，描点，连线： 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 ②结合表中数据或所画图象可知，篮球运行的最高点距离地面的竖直高度为 米， 由表格数据和函数图象可知，抛物线的顶点为 ， 设抛物线解析式为 ， 把 代入解析式得： ， 解得 ， 与 满足的函数解析式为 ； ③当 时， ， 小石第一次投篮练习没能投进； 【小问2详解】 解：根据题意可知： 第二次篮球运行的抛物线相当于第一次篮球运行的抛物线向上平移 个单位， 则第二次篮球运行的抛物线解析式为 ， 第二次篮球运行的抛物线经过 ， ， 解得 ， ， 答：小石的出手高度为： 米． 故答案为： ． 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 26. 在平面直角坐标系 中，抛物线 的对称轴为 ，两个不同的点 在抛物线上 （1）若 ，求t的值； （2）若 ，求t的取值范围． 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】（1）根据点 在抛物线 上，且 得到点 与 关于对称轴对称，得到关于 的方程，求解即可； （2）根据题意得到点 在对称轴 的右侧，点 在对称轴的左侧，点 不在对称轴上． 之后分点 在对称轴 的左侧与右侧时进行讨论即可． 本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵点 ， 在抛物线 上，且 ， ∴ ． 解得： ； 【小问2详解】 解：由题意，点 在对称轴 的右侧，点 在对称轴的左侧， 点 不在对称轴上． ①当点 在对称轴 的左侧时， 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 点 关于对称轴 的对称点为 ． ∵ 且 ， ∴ ． ∴ ． ②当点 在对称轴 的右侧时， 点 关于对称轴 的对称点为 ． ∵ 且 ， ∴ ． ∴ ． 综上所述， 的取值范围是 或 ． 27. 如图，在等边三角形 中，点 为 内一点，连接 ， ， ，将线段 绕点A顺时 针旋转 得到 ，连接 ， ． （1）用等式表示 与 的数量关系，并证明； （2）当 时， 直接写出 的度数为______； 若 为 的中点，连接 ，用等式表示 与 的数量关系，并证明． 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 【答案】（1） ，详见解析 （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）利用 证明 ，即可得出答案； （2）①由三角形内角和定理知 ，再利用角度之间的转化对 进行转 化， ，从而解决问题； ②延长 到 ，使 ，连接 ， ，得出四边形 为平行四边形，则 且 ，再利用 证明 ，得 ． 【小问1详解】 解： ，理由如下： 是等边三角形， ， ， ， 将线段 绕点 顺时针旋转 得到 ， ， ， ， ， ， ； 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 【小问2详解】 解：①如图，当 时， 则 ， ， ， ； ② ，理由如下： 延长 到 ，使 ，连接 ， ， 为 的中点， ， 四边形 为平行四边形， 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 且 ， ， ， 又 ， ， ， 又 ， ， ， ， 又 为正三角形， ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定 与性质，平行四边形的判定与性质等知识，利用倍长中线构造平行四边形是解题的关键． 28. 对于平面直角坐标系 中的点P和图形W、给出如下定义：若图形W上存在点Q，使得点P绕着点 Q旋转 得到的对应点 在图形W上，则称点P为图形W的“关联点”． （1）图形W是线段 ，其中点A的坐标为 ，点B的坐标为 ， ①如图1，在点 ， ， ， 中，线段 的“关联点”是 ； 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 ②如图2，若直线 上存在点P，使点P为线段 的“关联点”，求b的取值范围； （2）图形W是以 为圆心，1为半径的 ．已知点 ， ．若线段 上存在点 P，使点P为 的“关联点”，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）① 、 ；② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据“关联点”的定义进行判断即可； ②当直线 经过点 时，可得b的最小值，当直线 经过点 时，可得b 的最大值，由此可解； （2）当线段 与 的“关联点”轨迹有交点时，t取得最大值，当线段 与 的“关联点”轨迹 相切时，t取得最小值，列出不等式分别求得t的最小值和最大值即可． 【小问1详解】 解：①如图1，∵点A的坐标为 ，点B的坐标为 ， ∴ 绕着点 逆时针旋转 得到的对应点 在线段 上， 绕着点 顺时针旋转 得到的对应点 在线段 上， 线段 上不存在点Q，使得 ， 绕着点Q旋转 得到的对应点 在线段 上， ∴ 、 是线段 的“关联点”， ， 不是线段 的“关联点”， 故答案为： 、 ； 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 ②如图2，当直线 经过点 时，可得b的最小值， 当直线 经过点 时，可得b的最大值， 把 代入 ，得 ， 解得 ； 把 代入 ，得 ； 解得 ； ∴b的取值范围为 ； 【小问2详解】 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 解：根据“关联点”的定义可知：当线段 与 的“关联点”轨迹有交点时，t取得最大值，当线段 与 的“关联点”轨迹相切时，t取得最小值， 则 ， 解得 ∴t的取值范围为 ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了旋转变换，圆的性质，“关联点”的定义等知识，解题的关键是理解 题意，学会用转化的思想思考问题，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题． 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结