文档内容
数学试卷
考生须知
1．本试卷共7页，共26道小题，满分100分．附加题共2道，满分10分．考试时间100分
钟．
2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号．
3．答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
第一部分 （满分100分）
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每道题给出的四个选项中，
只有一个选项正确）
1. 下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平移与旋转的性质得出．
【详解】解：A．能通过其中一个四边形平移得到，故本选项不符合题意；
B．能通过其中一个四边形平移得到，故本选项不符合题意；
C．能通过其中一个四边形平移得到，故本选项不符合题意；
D．不能通过其中一个四边形平移得到，需要一个四边形旋转得到，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混
淆图形的平移与旋转或翻转，导致误选．
2. 在下列各数0， ， ， ，2022，7.1010010001…（两个1之间依次多一个0）， 中，无理
数的个数是（ ）．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C【解析】
【分析】根据无理数的定义判断即可．
【详解】是无理数的有 ，7.1010010001…， 有3个，
故选C．
【点睛】本题考查了无理数的定义即无限不循环小数，熟练掌握定义是解题的关键．
3. 若代数式 在实数范围内有平方根，则 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】实数范围内有平方根的条件是大于等于零，根据平方根的性质即可解答．
【详解】解：∵代数式 在实数范围内有平方根
∴
∴
故选：A．
【点睛】本题考查一个数在实数范围内有平方根的条件，解题的关键正确理解一个数在实数范围内有平方
根的条件．
4. 下列运算中，正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用二次根式的化简的法则对各项进行运算即可．
【详解】解答：解：A、 ，故A不符合题意；
B、 ，故B不符合题意；
C、 ，故C符合题意；
D、 ，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．5. 如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点E，D，B，F在同一条直线上．若∠ CBD=55°，则∠
EDA的度数是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的性质求得∠ADF的度数，则∠ADE即可求得．
【详解】∵AD∥CB，
∴∠CDB=∠ADF=55°，
∴∠ADE=180°-∠ADF=180°-55°=125°．
故选B．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
6. 下列四个命题，其中假命题是（ ）．
A. 点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度
B. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
C. 相等的角是对顶角
D. 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补
【答案】C
【解析】
【分析】根据对顶角的定义、平行线的判定及性质、平行公理、点到直线的距离的定义逐项判定即可．
【详解】解：A．点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度，为真命题，不符合题意；
B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，为真命题，不符合题意；
C．对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故原命题为假命题，符合题意；
D．两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，为真命题，不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查命题与定理知识，熟练掌握对顶角的定义、平行线的判定及性质、平行公理、点到
直线的距离的定义是解答此题的关键．
7. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）．A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据数轴,确定a，b的符号，绝对值的大小，再进行计算判断即可．
【详解】∵a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，
∴ ， ， ，
∴A、B、C都错误；
∵ ，
∴D正确；
故选D．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，二次根式的化简，熟练掌握大小比较的原则，化简的原则是解题的
关键．
8. 将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边对齐，
则 的度数为（ ）．
A. 75° B. 60° C. 45° D. 30°
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角板可得：∠2=60°，∠5=45°，然后根据三角形内角和定理可得∠2的度数，进而得到∠4的
度数，再根据三角形内角与外角的关系可得∠2的度数．
【详解】解：如图：由题意得：∠2=60°，∠5=45°，
∵∠2=60°，
∴∠3=180°-90°-60°=30°，
∴∠4=30°，
∴∠1=∠4+∠5=30°+45°=75°
故选：A．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻
的两个内角和．
9. 对任意两个实数a、b定义两种运算：a▲b= ，a▼b= 并且定义运算顺序仍然是先做
括号内的，例如（-2）▲3=3、（-2）▼3=-2、（（-2）▲3））▼2=2，那么（ ▲2）▼ 等于（
）
A. B. 3 C. 6 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据新定义先计算 ▲2 ，进而计算 ▼ = ，即可求解．
【详解】依题意，a▲b= ，a▼b=
▲2 ，
，▼ =
（ ▲2）▼ = ▼3=
故选A
【点睛】本题考查了求一个数的立方根，无理数的大小比较，理解新定义是比较两数的大小是解题的关键．
10. 已知a，b为非零实数，下面四个不等式组中，解集有可能为 的不等式组是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式的解集﹣3＜x＜3，推出﹣ x＜1和 x＜1．然后从选项中找出有可能的不等式组．
【详解】解：∵﹣3＜x＜3，
∴x＞﹣3且x＜3，
从而得出 ，
只有A的形式和 的形式一样．
∴只有选项A的解集有可能为﹣3＜x＜3，
故选：A．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
二、填空题（每小题2分，共16分）
11. 16的平方根是 ．
【答案】±4
【解析】
【详解】由（±4）2=16，可得16的平方根是±4，故答案为：±4．
12. 实数a，b满足 ，则 的值为___________．
【答案】﹣2
【解析】
【分析】根据算术平方根的非负性和偶次幂的非负性得a﹣1＝0，2a＋b＝0，先求出a的值，再求出b的
值可．
【详解】解：∵ ≥0， ≥0，
∴a﹣1＝0， ，
解得a＝1，b＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点睛】本题考查了算术平方根的非负性和偶次幂的非负性，根据非负数之和等于0时，各项都等于0，
这是解题的关键．
13. 如图， ， 分别交直线 、 于点 、 ， ，若 ，则 __________度．
【答案】65
【解析】
【详解】解：如图：
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为65
【点睛】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，是基础题，熟记性质是解题的关键．
14. 已知方程 ，用含x的式子表示y，则 ____________．
【答案】
【解析】
【分析】利用等式的性质进行解答即可．
【详解】解：
故答案为： ．
【点睛】本题考查二元一次方程的变形，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程的基本步骤．
15. “如果 ，那么 ”是假命题，请举出一个反例．在你举出的反例中， ____________，
____________．
【答案】 ①. ﹣1（答案不唯一） ②. 0（答案不唯一）
【解析】
【分析】找出一对使得命题不成立的数即可．
【详解】解：当a＝﹣1，b＝0时，满足a2＞b2，但a＜b，故原命题为假命题，
故答案为：﹣1，0．
【点睛】本题主要考查命题与定理知识，能根据题意举出合适的反例是解答此题的关键．16. 如图a，ABCD是长方形纸带 ， ，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成
图c，则图c中的 的度数是__________．
【答案】120°##120度
【解析】
【分析】由平行线的性质知∠DEF＝∠EFB＝20°，进而得到图b中∠GFC＝140°，依据图c中的∠CFE＝
∠GFC﹣∠EFG进行计算．
【详解】解：∵ ，
∴∠DEF＝∠EFB＝20°，
在图b中∠GFC＝180°﹣2∠EFG＝140°，
在图c中∠CFE＝∠GFC﹣∠EFG＝120°．
故答案为：120°．
【点睛】此题考查平行线的性质，图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对
称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
17. 关于 的不等式组 有且只有3个整数解，则k的取值范围是__________．
【答案】﹣3＜k≤﹣2
【解析】
【分析】解两个不等式得出其解集，再根据不等式组整数解的情况列出关于k的不等式，解之即可．
【详解】解：
解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x＜k+4，
∵不等式组只有3个整数解，
∴不等式组的整数解为﹣1、0、1，
则1＜k+4≤2，解得﹣3＜k≤﹣2，
故答案为：﹣3＜k≤﹣2．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，解题的关键是得出关于k的不等式．
18. 小云计划户外徒步锻炼，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，下表对应了每天不同方案
的徒步距离（单位： ）．若选择“高强度”要求前一天必须“休息”（第一天可选择“高强度”）．
则小云5天户外徒步锻炼的最远距离为_______ ．
第1 第2 第3 第4 第5
日期
天 天 天 天 天
低强度 8 6 6 5 4
高强度 12 13 15 12 8
休息 0 0 0 0 0
【答案】36
【解析】
【分析】根据题意得，只有第一天和第三天选择“高强度”，计算出此时的距离即可．
【详解】解：如果第二天和第三天选择低强度，则距离为6+6=12（km），
为
如果第三天选择高强度，则第二天休息，则距离 15km，
∵12<15，
∴第二天休息，第三天选择高强度，
如果第四天和第五天选择低强度，则距离为5+4=9（km），
如果第五天选择高强度，则第四天休息，则距离为8km，
∵9>8，
∴第四天和第五天选择低强度，
为保持最远距离，则第一天为高强度，
∴最远距离为12+0+15+5+4=36（km）
故答案为36．
【点睛】本题考查了有理数的加法应用，解题的关键是理解题意并掌握有理数的加法．
三、解答题（共54分，第19题16分，第21~23，25题每小题5分，第20，24，26题每小题
6分）
19. 计算：
（1） ；（2） ．
（3）解方程组：
（4）解不等式组：
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）﹣2≤x＜1．
【解析】
【分析】（1）根据算术平方根性质和绝对值的意义进行化简即可；
的
（2）根据立方根、绝对值 意义、算术平方根的性质进行计算即可；
（3）利用加减消元法解方程组即可；
（4）分别求出每个不等式的解集，再求不等式组的解集即可．
【小问1详解】
解：
＝
＝ ；
【小问2详解】
解：＝
＝
＝
＝ ；
【小问3详解】
解：
①×2得6x－2y＝10③，
③＋②得11x＝33，
解得x＝3，
把x＝3代入①得3×3－y＝5，
解得y＝4，
∴ ；
【小问4详解】
解：
解不等式①得x＜1，
解不等式②得x≥﹣2，
∴不等式组的解集是﹣2≤x＜1．
【点睛】此题考查了二次根式的化简、立方根、绝对值、二元一次方程组的解法、一元一次不等式组的解
法，熟练掌握运算法则和解题步骤是关键．
20. 作图并回答问题
已知，如图，点P在 的边OA上．（1）过点P作OA边的垂线 ；
（2）过点P作OB边的垂线段PD；
（3）过点O作PD的平行线交 于点E，比较OP，PD，OE三条线段的大小，并用“>”连接得
_____________，得此结论的依据是______________．
（4）平移 得到 ，其中P点的对应点是点E．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）OE＞OP＞PD，直角三角形中，斜边大于任意一条直角边
（4）见解析
【解析】
【分析】(1)根据基本作图的基本要领作图即可．
(2)根据直线外一点作垂线的基本作图的基本要领作图即可．
(3)根据垂直于同一直线的两直线平行作图即可，根据直角三角形中，斜边大于任意一条直角边判断．
(4)构造垂线，运用截取线段相等的思想完成作图．
【小问1详解】
根据作图要领，具体如下：
为
则直线 即 所求．
【小问2详解】
根据作图要领，具体如下：则PD即为所求．
【小问3详解】
根据作图要领，具体如下：
则EO∥PD，
即OE即为所求．
根据直角三角形中，斜边最长，得到OE＞OP＞PD，
故答案为：OE＞OP＞PD，直角三角形中，斜边大于任意一条直角边．
【小问4详解】
截取EG=PD，过点G作GF⊥EG，垂足为G，
截取GF=DO，连接EF，
则 即为所求．
【点睛】本题考查了垂线的基本作图，平行线的作图，平移的作图，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关
键．
21. 完成下面的证明：
已知：如图， ，CD平分 ，EF平分 ．
求证： ．
证明：∵ ，
∴ ___________（ ）．
∵CD平分 ，EF平分 ，
∴∠1=__________，∠2=_________．
∴∠___________=∠_____________．
∴ （___________________________）．
【答案】DEB；两直线平行，同位角相等； ∠ACB； ∠DEB；1；2；同位角相等，两直线平行．
【解析】【分析】依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠1＝∠2，进而判定CD∥EF．
【详解】证明：∵AC∥DE，
∴∠ACB＝∠DEB（两直线平行，同位角相等），
∵CD平分∠ACB．EF平分∠DEB，
∴∠1 ∠ACB，∠2 ∠DEB，
∴∠1＝∠2，
∴CD∥EF（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：DEB；两直线平行，同位角相等； ∠ACB； ∠DEB；1；2；同位角相等，两直线平行．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；
平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
22. 在方程组 中，若 ， 满足 ，求 的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】我们可以根据已知条件先解出题目所给的所给的方程组，然后再根据已知条件列出关于m的不等
式，求出解集即可得出答案.
【详解】解：解得：
【点睛】本题考查的重点是求解二元一次方程组和一元一次不等式的解法，解决本题的关键在于数量掌握
二元一次方程组和一元-次不等式的解法，解题时要把两者结合起来求解.
23. 如图，BD平分 ， ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的度数（用含 的代数式表示）．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）证 ，利用内错角相等，两直线平行即可；
（2）利用直角三角形的两个锐角互余求解即可．
【小问1详解】
证明：∵BD平分 ，
，
，
，
．
【小问2详解】
解：由（1）知 ，，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线定义，直角三角形两个锐互余，正确理解平行线的性
质与判定是解本题的关键．
24. 利用方程（组）或不等式（组）解决问题：
“四书五经”是《大学》、《中庸》、《论语》和《孟子》（四书）及《诗经》、《尚书》、《易经》、
《礼记》、《春秋》（五经）的总称，这是一部被中国人读了几千年的教科书，包含了中国古代的政治理
想和治国之道，是我们了解中国古代社会的一把钥匙．某学校计划分阶段引导学生读这些书，先购买《论
语》和《孟子》供学生阅读．已知用1300元购买《孟子》和《论语》各20本，《孟子》的单价比《论
语》的单价少15元．
（1）求购买《论语》和《孟子》这两种书的单价各是多少元？
（2）学校为了丰富学生的课余生活，举行“书香阅读”活动，根据需要，学校决定再次购进两种书共50本，
正逢书店“优惠促销”活动，《孟子》单价优惠4元，《论语》的单价打8折．如果此次学校购买书的总费
用不超过1500元，且购买《论语》不少于38本，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方
案？为什么？
【答案】（1）购买《论语》的单价40元，《孟子》的单价是25元；
（2）共有3种购买方案，购买《论语》38本，《孟子》12本，理由见解析．
【解析】的
【分析】（1）设购买《论语》 单价是x元，则购买《孟子》的单价是（x﹣15）元，利用总价＝单
价×数量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出购买《论语》的单价，再将其代入（x﹣15）中
即可求出购买《孟子》的单价；
（2）设购买《论语》m本，则购买《孟子》（50﹣m）本，利用总价＝单价×数量，结合“此次学校购买书
的总费用不超过1500元，且购买《论语》不少于38本”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可
得出m的取值范围，结合m为正整数，即可得出各购买方案，再求出各方案所需总费用，比较后即可得出
结论．
【小问1详解】
解：设购买《论语》的单价是x元，则购买《孟子》的单价是（x﹣15）元，
依题意得：20（x﹣15）+20x＝1300，
解得：x＝40，
∴x﹣15＝40﹣15＝25．
答：购买《论语》的单价40元，《孟子》的单价是25元．
【小问2详解】
解：设购买《论语》m本，则购买《孟子》（50﹣m）本，
依题意得： ，
解得： ．
又∵m为正整数，
∴m可以为38，39，40，
∴共有3种购买方案，
方案1：购买《论语》38本，《孟子》12本，所需总费用为40×0.8×38+（25﹣4）×12＝1468（元）；
方案2：购买《论语》39本，《孟子》11本，所需总费用为40×0.8×39+（25﹣4）×11＝1479（元）；
方案3：购买《论语》40本，《孟子》10本，所需总费用为40×0.8×40+（25﹣4）×10＝1490（元）．
∵1468＜1479＜1490，
∴学校应选择方案1：购买《论语》38本，《孟子》12本．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量
关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
25. （1）下面是小李探索 的近似值的过程，请补充完整：我们知道面积是2的正方形的边长是 ，且 ．设 ，可画出如下示意图．
由面积公式，可得 ．
略去 ，得方程 ．
解得 ．即 ____________．
（2）容易知道 ，设 ，类比（1）的方法，探究 的近似值．（画出示意图，标明
数据，并写出求解过程）
【答案】（1）1.5；（2） ≈1.75，示意图求解过程见解析．
【解析】
【分析】（1）根据 ＝1+x，x＝0.5即可得出答案；
（2）画一个边长为2的正方形，左下角正方形的面积＝大正方形的面积﹣2个长方形的面积+小正方形的
面积得到22﹣2x﹣2x+x2＝3，略去x2，求出x，从而得到 的近似值．
【详解】（1）解：∵ ＝1+x，x＝0.5，
∴ ≈1.5，
故答案为：1.5；
（2）解：如图，设 ＝2﹣x，则（2﹣x）2＝3，
根据图中面积可得：22﹣2x﹣2x+x2＝3，
∴4﹣4x+x2＝3，
略去x2，得方程4﹣4x＝3，
∴x＝0.25，
∴ ≈2﹣0.25＝1.75．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，解一元一次方程，考查数形结合的思想，画出示意图是解题的关
键．
26. 已知 ，点M、N分别在直线AB、CD上， 与 的平分线所在的直线相交于点
F．
（1）如图1，点E、F都在直线AB、CD之间且 时， 的度数为___________；
（2）如图2，当点E在直线AB、CD之间，F在直线CD下方时，写出 与 之间的数量关系，
并证明；（3）如图3，当点E在直线AB上方，F在直线AB与CD之间时，直接写出 与 之间的数
量关系．
【答案】（1）145°
（2）∠MEN＝2∠MFN，证明见解析
（3） ∠MEN＋∠MFN＝180°，证明见解析
【解析】
【分析】分析：（1）过E作EH∥AB，FG∥AB，根据平行线的性质得到结论；
（2）根据三角形的外角的性质得，平行线的性质，角平分线的定义即可得到结论；
（3）根据平行线的性质得到∠MGE＝∠ENC，根据角平分线的定义得到∠MGE＝∠ENC＝2∠FNG，∠AME
＝2∠1＝∠E＋∠MGE＝∠E＋2∠FNG，根据三角形的外角的性质和四边形的内角和即可得到结论．
【小问1详解】
解：如图1，过E作EH∥AB，FG∥AB
∵AB∥CD
∴EH∥CD，FG∥CD
∴∠BME＝∠MEH，∠DNE＝∠NEH
∴∠BME＋∠DNE＝∠MEH＋∠NEH＝∠MEN＝70°
∴∠AME＋∠CNE＝360°−（∠BME＋∠DNE）＝290°∵MF，FN分别平分∠AME和∠CNE
∴∠AMF＋∠CNF＝ ×290°＝145°
∵AB∥FG∥CD
∴∠AMF＝∠MFG，∠NFG＝∠CNF
∴∠MFN＝∠MFG＋∠NFG＝∠AMF＋∠CNF＝145°
故答案为：145°；
【小问2详解】
解：∠MEN＝2∠MFN
理由：如图2
∵∠MEN＝∠BME＋∠END
∵MF平分∠AME
∴∠EMH＝ ∠AME＝∠AMF
∴∠HME＝180°−∠MHE−∠MEN＝180°−∠AMH−∠MEN
∴∠NHG＝180°−∠END−∠NGM
∵∠NHG＝∠MHE
∴180°−∠END−∠NGM＝180°−∠EMF−∠MEN
∴∠END＋∠NGM＝∠EMF＋∠MEN
∵FN平分∠CNH
∴∠5＝ ∠CNH∴∠DNH＝180°−2∠5
∵∠5＝∠2＋∠F
∴∠DNH＝180°−2∠2−2∠F
∵AB∥CD
∴∠MHG＝∠DNH
∴180°−∠E−2∠3＝180°−2∠2−2∠F
∵∠2＝∠3
∴∠E＝2∠F
【小问3详解】
∠MEN＋∠MFN＝180°
证明：如图3
∵AB∥CD
∴∠MGE＝∠ENC
∵NF平分∠ENC
∴∠MGE＝∠ENC＝2∠FNG
∵MF平分∠AME∴∠AME＝2∠1＝∠E＋∠MGE＝∠E＋2∠FNG
∴∠FMG＝∠1＝ ∠E＋∠FNG
∵∠E＋∠MFN＝360°−∠FNG−∠FMG−∠EMG＝360°−∠FNG−（180°−∠E−2∠FNG）−（ ∠E＋
∠FNG）＝180°＋ ∠E
∴∠MFN＋ ∠MEN＝180°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，角平分线的定义，正确的识别图形，找到角与
角之间的关系是解题的关键．
第二部分 附加题（满分10分）
27. 已知关于x、y的二元一次方程组 ．
（1）若关于x、y的二元一次方程组 的解为 ，直接写出原方程组的解
为____________．
（2）若 ，且 ，求 的取值范围．
【答案】（1） ；
（2）3＜W＜27
【解析】
【分析】（1）根据两个方程组中各项系数的对应关系可知 ，得出方程组的解；
（2）由 及 得到y＝﹣ ，由 得到 ，解不等式组得
到3
