第 5 讲 功与功率 功能关系
命题规律 1.命题角度：(1)功、功率的分析与计算；(2)功能关系.2.常用方法：微元法、图
像法、转换法.3.常考题型：选择题．
考点一 功、功率的分析与计算
1．功的计算
(1)恒力做功一般用功的公式或动能定理求解．
(2)变力做功通常应用动能定理、微元法、等效转化法、平均力法、图像法求解，或者利用
恒定功率求功W＝Pt.
2．功率的计算
(1)明确是求瞬时功率还是平均功率．
P＝侧重于平均功率的计算，P＝Fvcos α(α为F和速度v的夹角)侧重于瞬时功率的计算．
(2)机车启动(F 不变)
阻
①两个基本关系式：P＝Fv，F－F
阻
＝ma.
②两种常见情况a．恒定功率启动：P不变，此时做加速度减小的加速运动，直到达到最大速度v ，此过程
m
Pt－F
阻
s＝mv
m
2；
b．恒定加速度启动：开始阶段a不变，达到额定功率后，然后保持功率不变，加速度逐渐
减小到零，最终做匀速直线运动．
无论哪种启动方式，最大速度都等于匀速运动时的速度，即v ＝.
m
例1 (多选)(2022·广东卷·9)如图所示，载有防疫物资的无人驾驶小车，在水平MN段以恒
定功率200 W、速度5 m/s匀速行驶，在斜坡PQ段以恒定功率570 W、速度2 m/s匀速行驶．
已知小车总质量为50 kg，MN＝PQ＝20 m，PQ段的倾角为30°，重力加速度g取10 m/s2，
不计空气阻力．下列说法正确的有( )
A．从M到N，小车牵引力大小为40 N
B．从M到N，小车克服摩擦力做功800 J
C．从P到Q，小车重力势能增加1×104 J
D．从P到Q，小车克服摩擦力做功700 J
答案 ABD
解析 小车从M到N，依题意有P ＝Fv ，代入数据解得F＝40 N，故A正确；小车从M到
1 1
N，因匀速行驶，小车所受的摩擦力大小为f＝F＝40 N，则摩擦力做功为W＝－40×20 J＝
1 1
－800 J，则小车克服摩擦力做功为800 J，故B正确；依题意，从P到Q，重力势能增加量
为ΔE ＝mg·PQsin 30°＝5 000 J，故C错误；设小车从 P到Q，摩擦力大小为 f ，有f ＋
p 2 2
mgsin 30°＝，摩擦力做功为W ＝－f·PQ，联立解得W ＝－700 J，则小车克服摩擦力做功
2 2 2
为
700 J，故D正确．
例2 (2021·山东卷·3)如图所示，粗糙程度处处相同的水平桌面上有一长为L的轻质细杆，
一端可绕竖直光滑轴O转动，另一端与质量为m的小木块相连．木块以水平初速度v 出发，
0
恰好能完成一个完整的圆周运动．在运动过程中，木块所受摩擦力的大小为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 在运动过程中，只有摩擦力做功，而摩擦力做功与路径有关，根据动能定理－F·2πL
f＝0－mv2，可得摩擦力的大小F＝，故选B.
0 f
例3 (多选)(2018·全国卷Ⅲ·19)地下矿井中的矿石装在矿车中，用电机通过竖井运送到地面．
某竖井中矿车提升的速度大小v随时间t的变化关系如图所示，其中图线①②分别描述两次
不同的提升过程，它们变速阶段加速度的大小都相同；两次提升的高度相同，提升的质量相
等．不考虑摩擦阻力和空气阻力．对于第①次和第②次提升过程，( )
A．矿车上升所用的时间之比为4∶5
B．电机的最大牵引力之比为2∶1
C．电机输出的最大功率之比为2∶1
D．电机所做的功之比为4∶5
答案 AC
解析 由题图中的图线①知，上升总高度h＝·2t ＝vt.由题图中的图线②知，加速阶段和减
0 00
速阶段上升高度和h ＝··＝vt ，匀速阶段：h－h ＝v·t′，解得t′＝t ，故第②次提升过程
1 00 1 0 0
所用时间为＋t＋＝t，两次上升所用时间之比为2t∶t＝4∶5，A项正确；由于加速阶段加
0 0 0 0
速度相同，故加速时牵引力相同，即电动机的最大牵引力相同，B项错误；在加速上升阶段，
由牛顿第二定律知，F－mg＝ma，则F＝m(g＋a)，第①次在t 时刻，功率P＝F·v，第②次
0 1 0
在时刻，功率P ＝F·，第②次在匀速阶段P′＝F′·＝mg·
90 km/h时汽油机和电动机同时工作，这
种汽车更节能环保，该小汽车在一条平直的公路上由静止启动，汽车的牵引力 F随运动时
间t的图线如图所示，所受阻力恒为1 250 N．已知汽车在t 时刻第一次切换动力引擎，以后
0保持恒定功率行驶至第11 s末，则在前11 s内( )
A．经过计算t＝5 s
0
B．在0～t 时间内小汽车行驶了45 m
0
C．电动机输出的最大功率为60 kW
D．汽油机工作期间牵引力做的功为4.5×105 J
答案 BD
解析 开始阶段加速度为a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2，v ＝54 km/h＝15 m/s，解得t ＝＝ s＝6 s，
1 0
故A错误；汽车前6 s内的位移为x ＝at2＝45 m，故B正确；t 时刻，电动机输出的功率最
1 0 0
大，为P ＝Fv ＝5 000×15 W＝75 kW，故C错误；由题图可知，汽油机工作期间，功率
m 1 1
为P＝Fv ＝90 kW，解得11 s时刻汽车的速度为v ＝＝ m/s＝25 m/s＝90 km/h，故6～11 s
2 1 3
内都是汽油机在做功，且汽油机工作时牵引力做的功为W＝Pt＝4.5×105 J，故D正确．
3.(多选)(2022·海南省模拟)如图所示，某物体(可视为质点)分别从等高的固定斜面Ⅰ、Ⅱ顶
端下滑，物体与接触面间的动摩擦因数处处相同，斜面与水平面接触处用半径可忽略的光滑
小圆弧相连．若该物体沿斜面Ⅰ由静止下滑，运动到水平面上的P点静止，不计空气阻力．
下列说法正确的是( )
A．物体沿斜面Ⅱ由静止下滑，将运动到水平面上P点的左侧静止
B．物体沿斜面Ⅱ运动的路程大于沿斜面Ⅰ运动的路程
C．物体沿斜面Ⅱ运动到P点产生的热量等于沿斜面Ⅰ运动到P点产生的热量
D．物体沿斜面Ⅱ运动损失的机械能大于沿斜面Ⅰ运动损失的机械能
答案 BC
解析 设斜面的倾角为α，长度为l，高度为h，斜面的下端点到P点的水平距离为x，由动
能定理得mgh－μmglcos α－μmgx＝0，设斜面上端点到P点的水平距离为s ，则s ＝lcos
总 总
α＋x，联立可得mgh－μmgs ＝0，可知最终两物体均停止在P点，故A错误；根据几何知
总
识可知，物体沿斜面Ⅱ运动的路程大于沿斜面Ⅰ运动的路程，故B正确；两种情形下，都
是重力势能完全转化为内能，而初始时重力势能相同，则物体沿斜面Ⅱ运动到P点产生的
热量等于沿斜面Ⅰ运动到P点产生的热量，故C正确；沿斜面Ⅰ运动损失的机械能ΔE ＝
1
μmgLcos α ，沿斜面Ⅱ运动损失的机械能ΔE ＝μmgLcos α ，因为L ＞L ，α ＜α ，所以
1 1 2 2 2 1 2 1 2
ΔE＞ΔE，故D错误．
1 2专题强化练
[保分基础练]
1.如图所示，一质量为25 kg的小孩从高为2 m的滑梯顶端由静止滑下，滑到底端时的速度
大小为2 m/s(g取10 m/s2)．关于力对小孩做的功，以下说法正确的是( )
A．重力做功450 J
B．合力做功50 J
C．克服阻力做功50 J
D．支持力做功450 J
答案 B
解析 由功的计算公式可知，重力做功为W ＝mgh＝25×10×2 J＝500 J，A错误；由动能
G
定理可知，合力做功等于动能的变化量，则有W ＝mv2＝×25×22 J＝50 J，B正确；由动
合
能定理可得W －W ＝mv2，故克服阻力做功W ＝W －mv2＝500 J－50 J＝450 J，C错误；
G 克f 克f G
支持力与小孩的运动方向一直垂直，所以支持力不做功，D错误．
2．一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0时其速度为1 m/s，从此刻开始在滑块运动方向上
再施加一水平作用力F，力F和滑块的速度v随时间的变化规律分别如图(a)和图(b)所示．设
在第1秒内、第2秒内、第3秒内力F对滑块做的功分别为W 、W 、W ，则以下关系正确
1 2 3
的是( )
A．W＝W＝W B．Wa ，所以v>v，上升过程的动能减小量为ΔE ＝mv2，下落过程的动能增加量为ΔE ＝
1 2 0 k1 0 k2
mv2，所以上升过程的动能减小量大于下落过程的动能增加量，故C正确；上升过程动量的
变化量大小为Δp＝mv，下落过程的动量变化量大小为Δp＝mv，所以上升过程的动量变化
1 0 2
量大于下落过程的动量变化量，故D错误．
6．(多选)(2021·全国乙卷·19)水平桌面上，一质量为m的物体在水平恒力F拉动下从静止开
始运动，物体通过的路程等于s 时，速度的大小为v ，此时撤去F，物体继续滑行2s 的路
0 0 0
程后停止运动，重力加速度大小为g，则( )
A．在此过程中F所做的功为mv2
0
B．在此过程中F的冲量大小等于mv
0
C．物体与桌面间的动摩擦因数等于
D．F的大小等于物体所受滑动摩擦力大小的2倍
答案 BC
解析 外力撤去前，由牛顿第二定律可知
F－μmg＝ma ①
1
由速度位移公式有v2＝2as②
0 1 0
外力撤去后，由牛顿第二定律可知
－μmg＝ma ③
2
由速度位移公式有－v2＝2a(2s)④
0 2 0
由①②③④可得，水平恒力F＝，物体与桌面间的动摩擦因数μ＝，则滑动摩擦力F＝μmg
f
＝，可知F的大小等于物体所受滑动摩擦力大小的3倍，故C正确，D错误；在此过程中，
外力F做功为W＝Fs ＝mv2，故A错误；由平均速度公式可知，外力F作用时间t ＝＝，
0 0 1
在此过程中，F的冲量大小是I＝Ft＝mv，故B正确．
1 0
7．(2021·湖南卷·3)“复兴号”动车组用多节车厢提供动力，从而达到提速的目的．总质量
为m的动车组在平直的轨道上行驶．该动车组有四节动力车厢，每节车厢发动机的额定功
率均为P，若动车组所受的阻力与其速率成正比(F
阻
＝kv，k为常量)，动车组能达到的最大
速度为v .下列说法正确的是( )
m
A．动车组在匀加速启动过程中，牵引力恒定不变B．若四节动力车厢输出功率均为额定值，则动车组从静止开始做匀加速运动
C．若四节动力车厢输出的总功率为2.25P，则动车组匀速行驶的速度为v
m
D．若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间 t达到最大速度
v ，则这一过程中该动车组克服阻力做的功为mv 2－Pt
m m
答案 C
解析 对动车组由牛顿第二定律有F －F ＝ma，动车组匀加速启动，即加速度a恒定，
牵 阻
但F ＝kv随速度增大而增大，则牵引力也随阻力增大而增大，故 A错误；若四节动力车厢
阻
输出功率均为额定值，则总功率为4P，由牛顿第二定律有－kv＝ma，故可知加速启动的过
程，牵引力减小，阻力增大，则加速度逐渐减小，故B错误；若四节动力车厢输出的总功
率为2.25P，动车组匀速行驶时加速度为零，有＝kv，而以额定功率匀速行驶时，有＝kv ，
m
联立解得v＝v ，故C正确；若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经
m
过时间t达到最大速度v ，由动能定理可知4Pt－W ＝mv 2－0，可得动车组克服阻力做
m 克阻 m
的功为W ＝4Pt－mv 2，故D错误．
克阻 m
[争分提能练]
8．(2022·广东省高三5月测试)在某滑雪场有一段坡道，可看作斜面，一滑雪爱好者从坡道
最低点以某一速度滑上此坡道，滑雪爱好者和全部装备的总质量为50 kg，其重力势能和动
能随上滑距离s的变化如图中直线Ⅰ、Ⅱ所示，以坡道底端所在水平面为重力势能的参考平
面，滑雪爱好者连同全部装备可看作质点，重力加速度g取10 m/s2，则( )
A．坡道与水平面的夹角θ为45°
B．滑雪板和坡道之间的动摩擦因数为0.1
C．滑雪爱好者在坡道上滑的最大高度为15 m
D．滑雪爱好者在坡道上滑过程重力的冲量大小为1 000 N·s
答案 D
解析 上滑过程重力势能为E ＝mgssin θ＝mgsin θ·s，则重力势能随s变化的图线的斜率为
p
mgsin θ＝，解得sin θ＝，则坡道与水平面的夹角为θ＝30°，选项A错误；上滑过程根据动
能定理有－(mgsin θ＋μmgcos θ)s＝E －E ，整理得E ＝－(mgsin θ＋μmgcos θ)s＋E ，动
k k0 k k0
能随s变化的图线斜率为－(mgsin θ＋μmgcos θ)＝，代入数据解得动摩擦因数为μ＝，选项
B错误；上滑过程根据动能定理有－(mgsin θ＋μmgcos θ)s ＝0－E ，解得s ＝15 m，上升
m k0 m
的高度h＝s sin θ＝7.5 m，选项C错误；上滑过程根据动量定理有(mgsin θ＋μmgcos θ)t＝0
m
－(－)，解得上滑时间t＝2 s，则重力的冲量为mgt＝1 000 N·s，选项D正确．9.(2022·山东卷·2)我国多次成功使用“冷发射”技术发射长征十一号系列运载火箭．如图所
示，发射仓内的高压气体先将火箭竖直向上推出，火箭速度接近零时再点火飞向太空．从火
箭开始运动到点火的过程中( )
A．火箭的加速度为零时，动能最大
B．高压气体释放的能量全部转化为火箭的动能
C．高压气体对火箭推力的冲量等于火箭动量的增加量
D．高压气体的推力和空气阻力对火箭做功之和等于火箭动能的增加量
答案 A
解析 火箭从发射仓发射出来，受竖直向下的重力、竖直向下的空气阻力和竖直向上的高压
气体的推力作用，且推力大小不断减小，刚开始向上的时候高压气体的推力大于向下的重力
和空气阻力之和，故火箭向上做加速度减小的加速运动，当向上的高压气体的推力等于向下
的重力和空气阻力之和时，火箭的加速度为零，速度最大，接着向上的高压气体的推力小于
向下的重力和空气阻力之和时，火箭接着向上做加速度增大的减速运动，直至速度为零，故
当火箭的加速度为零时，速度最大，动能最大，故 A正确；根据能量守恒定律，可知高压
气体释放的能量转化为火箭的动能、火箭的重力势能和内能，故B错误；根据动量定理，
可知合力冲量等于火箭动量的增加量，故C错误；根据功能关系，可知高压气体的推力和
空气阻力对火箭做功之和等于火箭机械能的增加量，故D错误．
10．(多选)(2022·甘肃张掖市高三期末)如图所示，内壁光滑的玻璃管竖直固定在水平地面上，
管内底部竖直放置处于自然长度的轻质弹簧．用轻杆连接的两小球A、B的质量分别为m和
2m(球的直径比管的内径略小)，重力加速度为g，现从弹簧的正上方释放两球，则从A球与
弹簧接触起到运动至最低点的过程中，下列说法正确的是( )
A．杆对A球做的功大于杆对B球做的功
B．A球克服弹簧弹力做的功是杆对A球做功的倍C．弹簧和杆对A球做功的总和等于A球机械能的增量
D．A球到最低点时杆对B球的作用力等于4mg
答案 BC
解析 杆对A球的作用力与杆对B球的作用力大小相等，两球的位移相同，所以杆对A球
做的功与杆对B球做的功数值相等，故A错误；设A球克服弹簧弹力做的功为W ，A下降
1
的高度为h，杆对A球做的功为W ，则杆对B球做功为－W ，由动能定理，对A球有mgh
2 2
－W ＋W ＝0，对B球有2mgh－W ＝0，联立解得W ＝W ，即A球克服弹簧弹力做的功是
1 2 2 1 2
杆对A球做的功的倍，故B正确；根据功能关系知，弹簧和杆对A球做功的总和等于A球
机械能的增量，故C正确；若A球从弹簧原长处释放，刚释放时A、B整体的加速度大小为
g，方向竖直向下，根据简谐运动的对称性知，A球到最低点时整体的加速度大小为g，方
向竖直向上，现A球从弹簧正上方下落，A球到最低点时弹簧压缩量比从弹簧原长处释放时
的大，则弹力比从弹簧原长处释放时的大，整体所受的合力增大，加速度将大于 g，所以A
球到最低点时整体的加速度大小大于g，方向竖直向上，在最低点，对B球，由牛顿第二定
律得F－2mg＝2ma＞2mg，则得A球到最低点时杆对B球的作用力 F＞4mg，故D错误．
11．(多选)(2022·山西晋中市榆次区一模)如图所示为某探究活动小组设计的节能运输系统．
固定斜面轨道倾角为30°，质量为M的木箱与轨道间的动摩擦因数为.木箱在轨道顶端时，
自动装货装置将质量为m的货物装入木箱，然后木箱载着货物沿轨道无初速度滑下(货物与
木箱之间无相对滑动)，当轻弹簧被压缩至最短时，自动卸货装置立刻将货物卸下，然后木
箱恰好被弹回到轨道顶端，再重复上述过程．重力加速度为 g，木箱可视为质点，下列说法
正确的是( )
A．木箱与货物的质量之比为6∶1
B．下滑与上滑过程中木箱速度最大的位置在轨道上的同一点
C．木箱与弹簧没有接触时，下滑的加速度与上滑的加速度大小之比为1∶6
D．若木箱下滑的最大距离为l，则弹簧的最大弹性势能为Mgl
答案 BD
解析 根据题意和动能定理可得(M＋m)glsin 30°－μ(M＋m)glcos 30°－W ＝0，W －Mglsin
弹 弹
30°－μMglcos 30°＝0，联立可得M∶m＝1∶6，故A错误；下滑速度最大时有(M＋m)gsin
30°－μ(M＋m)gcos 30°－F ＝0，可得 F ＝Mg，上滑速度最大时有 F ′－Mgsin 30°－
弹 弹 弹
μMgcos 30°＝0，可得F ′＝Mg，所以下滑与上滑过程中木箱速度最大的位置在轨道上的同
弹
一点，故B正确；木箱与弹簧没有接触时，下滑的加速度为a ＝＝g，上滑的加速度为a ＝
1 2
＝g，则＝，故C错误；下滑过程中重力势能转化为内能和弹簧的弹性势能，有(M＋m)glsin
30°－μ(M＋m)glcos 30°＝E，则弹簧的最大弹性势能为E＝Mgl，故D正确．
p p12．(2022·广东高州市二模)如图，“和谐号”是由提供动力的车厢(动车)和不提供动力的车
厢(拖车)编制而成．某“和谐号”由8节车厢组成，其中第1节、第5节为动车，每节车厢
所受的阻力大小F 为自身重力的0.01.已知每节车厢的质量均为m＝2×104 kg，每节动车的
f
额定功率均为P＝600 kW，重力加速度g＝10 m/s2.求：
0
(1)若“和谐号”以a＝0.5 m/s2的加速度从静止开始行驶，“和谐号”做匀加速运动时5、6
节车厢之间的作用力以及匀加速运动的时间；
(2)和谐号能达到的最大速度大小．
答案 (1)3.6×104 N 25 s (2)75 m/s
解析 (1)以第6、7、8三节车厢为整体分析，总质量为3m，所受拉力为F，据牛顿第二定
律有
F－3F＝3ma
f
F＝0.01mg
f
代入数据解得F＝3.6×104 N
每个动车提供最大功率为P＝600 kW，设每个动车提供的牵引力为F ，动车匀加速行驶能
0 牵
达到的最大速度为v，对整个动车组进行分析，根据牛顿第二定律，有
1
2F －8F＝8ma,2P＝2F v
牵 f 0 牵 1
v＝at，联立解得t＝25 s
1 1 1
(2)和谐号动车组以最大速度行驶时动力与阻力平衡
设最大速度为v ，则有2P＝8×0.01mg·v
m 0 m
解得v ＝75 m/s.
m
[尖子生选练]
13．(多选)(2022·辽宁省县级重点高中协作体一模)如图所示，固定的光滑长斜面的倾角θ＝
37°，下端有一固定挡板．两小物块A、B放在斜面上，质量均为m，用与斜面平行的轻弹簧
连接．一跨过轻质定滑轮的轻绳左端与B相连，右端与水平地面上的电动玩具小车相连．
系统静止时，滑轮左侧轻绳与斜面平行，右侧轻绳竖直，长度为L且绳中无弹力．当小车缓
慢向右运动L时，A恰好不离开挡板．已知重力加速度为 g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.在
小车从图示位置发生位移L过程中，下列说法正确的是( )
A．弹簧的劲度系数为
B．绳的拉力对B做功为mgL
C．若小车以速度2向右匀速运动，位移大小为L时，B的速率为D．若小车以速度2向右匀速运动，位移大小为L时，绳的拉力对B做的功为mgL
答案 BD
解析 系统静止时，弹簧压缩量x ＝，A恰好不离开挡板时，弹簧伸长量x ＝，由题可知x
1 2 1
＋x ＝－L＝L，解得k＝，选项A错误；根据x ＝x ，知弹性势能不变，则小车在0～L位移
2 1 2
内拉力对B做的功W ＝mg·Lsin 37°，解得W ＝mgL，选项B正确；小车位移大小为L时，
1 1
滑轮右侧轻绳与竖直方向的夹角为37°，将小车速度沿轻绳方向和与轻绳垂直方向分解，则
B的速率v ＝2sin 37°＝，选项C错误；小车在0～L位移大小内，设拉力对 B做的功为
B
W，对B分析，根据功能关系有W＝mv 2＋mg·Lsin 37°＝mgL，选项D正确．
2 2 B
