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人教A版数学--数列专题八
知识点一 等差数列的单调性,等比数列通项公式的基本量计算,求等比数列中的最大
（小）项,
数列新定义
典例1、设数集 满足：①任意 ，有 ；②任意x， ，有 或 ，
则称数集 具有性质 .
（1）判断数集 和 是否具有性质 ，并说明理由；
（2）若数集 且 具有性质 .
（i）当 时，求证： ， ，…， 是等差数列；
（ii）当 ， ，…， 不是等差数列时，求 的最大值.
随堂练习：已知项数为 的有穷数列 满足如下两个性质，则称数列
具有性质P；
① ；②对任意的 、 ， 与 至少有一个是数列
中的项．
（1）分别判断数列 、 、 、 和 、 、 、 是否具有性质 ，并说明理由；（2）若数列 具有性质 ，求证： ；
（3）若数列 具有性质 ，且 不是等比数列，求 的值．
典例2、对于无穷数列 ，若对任意 ，且 ，存在 ，使得 成
立，则称 为“ 数列”．
（1）若数列 的通项公式为 的通项公式为 ，分别判断 是否
为“ 数列”，并说明理由；
（2）已知数列 为等差数列，
①若 是“ 数列， ，且 ，求 所有可能的取值；
②若对任意 ，存在 ，使得 成立，求证：数列 为“ 数列”．
随堂练习：已知 为正整数数列，满足 ．记 ．定
义A的伴随数列 如下：① ； ② ，其中
．
（1）若数列A：4，3，2，1，直接写出相应的伴随数列 ；
（2）当 时，若 ，求证： ；
（3）当 时，若 ，求证： ．
典例3、已知数列 ： ， ，…， 满足： （ ，2，…， ， ），从
中选取第 项、第 项、…、第 项（ ， ）称数列 ， ，…，
为 的长度为 的子列.记 为 所有子列的个数.例如 ：0，0，1，其
.
（1）设数列 ：1，1，0，0，写出 的长度为3的全部子列，并求 ；
（2）设数列 ： ， ，…， ， ： ， ，…， ， ： ， ，…， ，
判断 ， ， 的大小，并说明理由；（3）对于给定的正整数 ， （ ），若数列 ： ， ，…， 满足：
，求 的最小值.
随堂练习：若项数为 且 的有穷数列 满足： ，
则称数列 具
有“性质 ”．
（1）判断下列数列是否具有“性质 ”，并说明理由； ①1，2，4，3；②2，4，8，
16．
（2）设 ，2， ， ，若数列 具有“性质 ”，且各项互不相同．
求证：“数列 为等差数列”的充要条件是“数列 为常数列”；
（3）已知数列 具有“性质 ”．若存在数列 ，使得数列 是连续 个正整数
1，2， ， 的一个排列，且 ，求 的所有可能的
值．知识点一 利用定义求等差数列通项公式,由递推关系证明数列是等差数列,裂项相消法
求和
典例4、设 是公差不为0的等差数列， ， 是 ， 的等比中项.
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前n项和 .
随堂练习：已知数列 各项均为正数，且 .
（1）求 的通项公式；
（2）记数列 的前 项和为 ，求 的取值范围.典例5、记 为数列 的前 项和，已知 ．
（1）证明： 是等差数列；
（2）若 ，记 ，求数列 的前 项和 ．
随堂练习：数列 满足 ， ．
（1）证明：数列 为等差数列．
（2）若 ，求数列 的前 项和 ．典例6、已知正项数列 的前 项和为 ，且 ， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）记数列 的前 项和 ，求证： .
随堂练习：已知数列 满足
（1）证明：数列 为等差数列：
（2）设数列 满足 ，求数列 的前 项和 .人教A版数学--数列专题八答案
典例1、答案： （1）数集 不具有性质 ，数集 具有性质 ，证明见解析
（2）（i）证明见解析；（ii）4
解：（1）证明：对于数集 ， ， ，所以数集 不具有性质 ，
对于数集 ，任意 ， ，所以数集 具有性质 .
（2）（i）当 时，数集 具有性质 ，
，所以 ，即 ，因为 ，
则 ，又因为 ，所以 ，
则 ，因为 ，
所以得 ， ， ，
因为 ，所以 ，则 ，
又因为 ，所以 或 ，因为 ，
所以 (舍去)，即 ， ，
所以 ，即当 时， ， ，…， 是等差数
列.（ii）若数集 且 具有性质 ，
按照(1)推导的方式得出 一般结论，具体如下：因为
，
所以 ，即 ，
因为 ，
所以 ①，所以 ， ，
因为 ，
所以 ，即 ，
因为 ，
根据 ， 分两种情况：
第一种情况为 ， ，…， ，
第二种情况为 ， ，
先考虑第二种情况 ，与题意矛盾，
，与题意矛盾，
所以只能为第一种情况，可得 ②，
由①-②，得 ， 即
，
即当 时， ， ，…， 是等差数列，
当 时， ，所以 ，即 ，由前面得出 ，所以 ， ，
当 成立时， ， ， ， 不是等差数列， 所以 的最大值为4.
随堂练习：答案：（1）数列 、 、 、 不具有性质 ，数列 、 、 、 不具有性
质 ，见解析
（2）证明见解析 （3）
解：（1）对于数列 、 、 、 ，因为 ， ，
所以，数列 、 、 、 不具有性质 ；
对于数列 、 、 、 ，当 时， ， ，
所以，数列 、 、 、 不具有性质 .
（2）证明：因为 ，
因为 ，则 为数列 中的项，所以， ，
设 且 ，因为 ，则 不是数列 中的项，
所以， 为数列 中的项，
因为 ， 所以， ， ， ， ，
上述等式全部相乘可得 ，因此， .
（3）解：当 时，由（2）可知 ，由题意可得 ，这与数列 是等比数列矛盾；
当 时，由（1）可知，数列 、 、 、 具有性质 ；
当 时，由（2）可知， ，①
当 时， ，所以， 不是数列 中的项，
因为 ， ，
所以， ， ， ， ，所以， ，
因为 ，所以， ， ，
所以， ， ，所以， ，②
由① ②可得 ，这与数列 不是等比数列矛盾，不合题意.
综上所述， .
典例2、答案： （1） 是“ 数列”， 不是“ 数列”；（2）①9,10,12,16；
②证明见解析．
解：（1） ，对任意的 ， ， ， ，
，
取 ，则 ，∴ 是“ 数列”，
，对任意的 ， ， ， ，为偶数，而 为奇数，因此不存在
使得 ，∴ 不是“ 数列”；
（2）数列 为等差数列，
①若 是“ 数列， ，且 ， ， ，
，
对任意的 ， ， ， ，
，由题意存在 ，使得 ，
即 ，显然 ，
所以 ， ，
，所以 是8的正约数，即 ，2，4，8，
时， ， ；
时， ， ；
时， ， ；
时， ， ．
综上， 的可能值为9，10，12，16；
②若对任意 ，存在 ，使得 成立， 所以存在 ，
， ，
设 公差为 ，则 ， ，
，对任意的 ， ， ， ，
，取 ，则
，
所以 是“ 数列”．
随堂练习：答案：（1） ； （2）见解析； （3）见解析.
解：（1）因为数列A：4，3，2，1， ， 所以 .
因为 ， 所以 ， ，
，
， . 故数列A的伴随数列为
.
（2）当 时， ，显然有 ；
当 时，只要证明 . 用反证法，假设 ，
则 ，从而 ，矛盾. 所以
.
再根据 为正整数，可知 . 故当 时， .
当 时， ，有 ，此时 ，命题成立；
（3）当 时，由（2）的结论， 中至少有两个1，现假设 中共有 个1，即 则 .
因为若 ，则 ，矛盾. 所以 .
根据 的定义可知， ， ，
，
以此类推可知一直有 ，再由后面 ，
可知 ；
另一方面 与 奇偶性相同，所以 .
典例3、答案：（1）6 （2） （3）
解：（1）由 的定义以及 ， 可得： 的长度为3的子列为： ，
有2个，
的长度为 的子列有 个， 的长度为 的子列有 个， 所以 .
（2） 理由如下：
若 是 的一个子列，
则 为 的一个子列.
若 与 是 的两个不同子列，
则 与 也是 的两个不同子列.
所以 . 同理 ， 所以 .
同理 所以有（3）由已知可得，数列 中恰有 个1， 个0.
令 ， 下证： .
由于 ，
所以 的子列中含有 个0， 个1 的子列有且
仅有1 个，
设为： .
因为数列 的含有 个0， 个1的子列至少有一个， 所以
.
数列 中， 不含有0的子列有 个，
含有1个0的子列有k个， 含有2个0的子列有 个， ，
含有 个0的子列有 个， 所以 .
所以 的最小值为 .
随堂练习：答案： （1）数列1，2，4，3不具有“性质M”；数列2，4，8，16具有
“性质M”
（2）证明见解析 （3） 或5
解：（1） ， 该数列不具有“性质 ”；
， 该数列具有“性质 ”；
（2）证明：充分性，若数列 是常数列，则 ，
即 ， 或又数列 且各项互不相同， ， 数列 为等差数列；
必要性，若数列 为等差数列，则 ，即 ， 数列 为常数
列；
（3） 数列 是连续 个正整数1，2， ， 的一个排列， 当 时，
，
，不符合题意；
当 时，数列3，2，4，1满足， ，符合题意；当
时，
数列2，3，4，5，1满足 ，符合题意；
当 时，令 ，2， ， ，则 ，
且 ， 的取值有以下三种可能
① ，② ，③ ，
当 时， ，
由（2）知 ， ， ， 是公差为1或 的等差数列，
若公差为1时，由 得 或 ， ，不
合题意， 不合题意；
若公差为 ，同上述方法可得不符合题意；当满足② ，③ 时，同理可证不符
合题意，
故： 或5．
典例4、答案： （1） （2）
解：（1）设 的公差为 ，因为 ， 是 ， 的等比中项，
所以 ，所以 .
因为 ，所以 ，故 .
（2）因为 ，
所以 .
随堂练习：答案：（1） （2）
解：（1）因为 ，所以
所以 ，
因为 各项均为正数， ， 所以 ，
所以数列 是首项为4，公差为4的等差数列，
， 所以数列 的通项公式为 .
（2）因为 所以 ，则
，
因为 ，故 ， 所以 ，又 ，所以 ，
所以 的取值范围为 .
典例5、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）当 且 时， ，
，
整理可得： ， ，
数列 是公差为 的等差数列.
（2）由（1）得： ，
，
.
随堂练习：答案： （1）见解析 （2）
解：（1）证明：因为 ， 所以 ，又 ，所以数列 是首项为1，公差为1的等差数列；
（2）由（1）得 ，
，
则
.
典例6、答案： （1） （2）见解析
解：（1）当 时， ，所以 ，
由 ， 得 ， 两式相减得 ，
又 ，所以 ，
所以数列 的奇数项和偶数项都是以 为公差的等差数列，
又 ， 所以数列 是以 为首项 为公差的等差数列， 所以
；
（2） ， 则 ，
所以，
所以 .
随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）方法1：由 ，
两边同除以 得， ， （ ）为常数，
∴数列 为等差数列，首项 ，公差为1，
方法2：由 得 ，
∴ （ ）为常数，
∴数列 为等差数列，首项 ，公差为1. 由 ，∴
，
（2）方法1： ，
则 .
方法2： ，
则 .
