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人教A版数学--数列专题六
知识点一 由递推数列研究数列的有关性质,由递推关系证明数列是等差数列,数列新定义
典例1、已知 为有穷数列．若对任意的 ,都有
（规定 ）,则称 具有性质 ．设
．
（1）判断数列 是否具有性质 ？若具有性质 ,写出对
应的集合 ;
（2）若 具有性质 ,证明: ;
（3）给定正整数 ,对所有具有性质 的数列 ,求 中元素个数的最小值．
随堂练习：已知数列 满足 ， ，数列 的前
项和记为 .
（1）写出 的最大值和最小值；
（2）若 ，求 的值；（3）是否存在数列 ，使得 ？如果存在，写出此时 的值；如果不存在，
说明理由.
典例2、已知 为实数，数列 满足 .
（1）当 和 时，分别写出数列 的前5项；
（2）证明：当 时，存在正整数 ，使得 ；
（3）当 时，是否存在实数 及正整数 ，使得数列 的前 项和 ？若
存在，求出实数 及正整数 的值；若不存在，请说明理由.随堂练习：已知数列 满足： ，且 .记集合
.
（1）若 ，写出集合 的所有元素；
（2）若集合 存在一个元素是3的倍数，证明： 的所有元素都是3的倍数；
（3）求集合 的元素个数的最大值.
典例3、已知数列 的首项 ，其中 ， 令集合
， ．
（1）若 是数列 中首次为1的项，请写出所有这样数列的前三项；
（2）求证： ；
（3）当 时，求集合 中元素个数 的最大值．随堂练习：已知无穷数列 满足公式 ，设 .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 的值；
（3）给定整数 ，是否存在这样的实数 ，使数列 满足：
①数列 的前 项都不为零；
②数列 中从第 项起，每一项都是零.
若存在，请将所有这样的实数 从小到大排列形成数列 ，并写出数列 的通
项公式；若不存在，请说明理由.
知识点二 利用定义求等差数列通项公式,由递推关系证明数列是等差数列,反证法证明,
利用an与sn关系求通项或项
典例4、已知数列{a}的前n项和为S，且满足a＋S＝2.
n n n n
(1)求数列{a}的通项公式；
n(2)求证：数列{a}中不存在三项按原来顺序成等差数列．
n
随堂练习：已知数列 满足： ， ，记数列
，
（1）证明数列 是等比数列；
（2）求数列 的通项公式；
（3）是否存在数列 的不同项 使之称为等差数列？若存在，请求出这
样的不同项 ；若不存在，请说明理由．典例5、设数列 的前 项和为 ，且 ， .
（1）求证：数列 为等比数列；
（2）设数列 的前 项和为 ，求证： 为定值；
（3）判断数列 中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论.
随堂练习：已知数列 的前 项和 满足 ，数列 的前项和 满足
且 .
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ;
(3)数列 中是否存在不同的三项 ， ， ，使这三项恰好构成等差数列?若存在，
求出 ， ， 的关系；若不存在，请说明理由.典例6、已知等比数列 的前 项和为 ， ， ．数列 的前
项和为 ，且 ， ．
（1）分别求数列 和 的通项公式；
（2）若 ， 为数列 的前 项和，是否存在不同的正整数 ， ，
（其中 ， ， 成等差数列），使得 ， ， 成等比数列？若存在，
求出所有满足条件的 ， ， 的值；若不存在，说明理由．
随堂练习：若数列 的前 项和为 ，且满足等式 .
（1）求数列 的通项公式；（2）能否在数列 中找到这样的三项，它们按原来的顺序构成等差数列？说明理由；
（3）令 ，记函数 的图像在 轴上截得的线段
长为 ，
设 ，求 ，并证明： .
人教A版数学--数列专题六
典例1、答案：（1） 不具有性质 , 具有性质 , （2）证明见
解析 （3）
解：（1）解:由题知 , 即
因为 , 所以 不具有性质 ,
由于 , 即
因为 故
具有性质 ,因为
故 ;
（2）“ ”等价于“证明 两个元素至少有一个在 中”,
假设 两个元素均不在 中, 则有
不妨设 , 若 , 则由 ,
可得 , 与 矛盾, 故 , 同理 ,
从而 , 所以 ,
与 具有性质 矛盾, 所以假设不成立,即 ;
（3）设
规定 时, , 时, ,
则 , 所以 ,
考虑数列 , ,
由题设可知,他们均具有性质 , 设 中元素个数最小值为 ,
所以 , 所以 ,
由(2)知 ,从而 ,
当 时,令 ,
当 时,令 ,
此时均有 , 所以 中元素个数的最小值为 .随堂练习：答案：（1） ， ； （2）0； （3）不存在，理由见解析.
解：（1）因为 ， ， 所以 ，解得 或
，
当 时，由 ，解得 或 ，
当 时，由 ，解得 ，
所以 或 或 ，
所以 最大值为 ，最小值为 .
（2）当 时， ，则 或 ，
此时由 知 ， 不满足，舍去；
当 时， ，则 或 ，
满足 ， 不满足，舍去；
当 时，由 ，得 或 ，
由 知 满足题意，当 时，不满足题意，
综上， 或 ，或 ，
所以 或 或 ， 故 .
（3）由 ， 可得 为整数， ，
所以 ，
则 ，
所以 ，若存在数列 ，使得 ，则 ， 又 为整数，
所以方程无解，
故不存在数列 ，使得 .
典 例 2 、 答 案 ： （ 1 ） 当 时 ， 当 时 ，
（2）证明见解析； （3）存在， 与 ，
解：（1）当 时，
当 时，
当 时， ，
在数列 中直到第一个小于等于 的项出现之前，
数列 是以 为首项， 为公差的递减的等差数列 即
当 足够大时，总可以找到 ，则存在正整数 ，使得
（i）若 ，令 ，则存在正整数 ，使得
（ii）若 ， ，则
令 ，则存在正整数 ，使得
综上所述，则存在正整数 ，使得 .（3）①当 时，
当 时， 当 时，
令 ，而此时 为奇数，成立，
又 不成立，所以存在正整数 ，使得 .
②当 时， 所以数列 的周
期为 ，
当 时，
当 时，
当 时，
当 时， 所以
所以 或者是偶数，或者不是整数，即不存在正整数 ，使得
③当 时，
，当 时，
综上所述，当 与 ， 时， .
随堂练习：答案： （1） （2）见解析 （3）5
解：（1）若 ，则 ， ， ，，故 中的项的大小从第3项开始周期变化，且周期为2. 故
.
（2）设 ， 若 ，则 ，因 互质，故 为3的倍数；
若 ，则 即 ，因 互质， 故 为3
的倍数，
依次类推，有 均为3的倍数.
当 时，我们用数学归纳法证明： 也是3的倍数.
当 时，若 ，则 ，故 为3的倍数；
若 ，则 ，故 为3的倍数，
设当 时， 是3的倍数即 为3的倍数，
若 ，则 ，故 为3的倍数；
若 ，则 ，因 为3的倍数，故 为3的倍数，
故当 时， 是3的倍数也成立，
由数学归纳法可得 是3的倍数成立，
综上， 的所有元素都是3的倍数.
（3）当 ，则 ， ， ， ，故 的元素个数为5；
当 ，则 ，故 的元素个数为4；
当 ，则 ，故 的元素个数为5；
当 ，则 ，故 的元素个数为5；当 ，则 ，故 的元素个数为4；
当 ，则 ，故 的元素个数为5；
当 ，则 ，故 的元素个数为5；
当 ，则 ，故 的元素个数为4；
当 ，则 ，故 的元素个数为5；
当 ，则 ，故 的元素个数为5；
当 ，则 ，故 的元素个数为4；
当 ，则 ，故 的元素个数为5；
当 ，则 ，故 的元素个数为1；
当 时， 的元素个数不超过为5，
综上， 的元素个数的最大值为5.
典例3、答案：（1）27，9，3；8，9，3；6，2，3 （2）证明见解析 （3）21
解：（1） 是数列 中首次为1的项，又 ， ；
或 ，即 或2；同理 或 ，当 时，
即 或8，当 时， 或1（不合题意，舍去）；
所以，满足条件的数列的前三项为： 27，9，3；或8，9，3；或6，2，3．
（2）若 被3除余1，则由已知可得 ， ， ；
若 被3除余2，则由已知可得 ， ， ；若 被3除余0，则由已知可得 ， ； 所以 ，
所以
所以，对于数列 中的任意一项 ，若“ ，则 ”．
因为 ，所以 ． 所以数列 中必存在某一项 （否则会与
上述结论矛盾！）
若 ，则 ， ；若 ，则 ， ，若 ，
，
由递推关系易得 ．
（3）集合 中元素个数 的最大值为21．
由已知递推关系可推得数列 满足：
当 时，总有 成立，其中 ， ， ，．
下面考虑当 时，数列 中大于3的各项：
按逆序排列各项，构成的数列记为 ，由（1）可得 或9，
由（2）的证明过程可知数列 的项满足：
，且当 是3的倍数时，若使 最小，需使 ，
所以，满足 最小的数列 中， 或7，且 ，
所以 ，所以数列 是首项为 或 的公比为3的等比
数列，
所以 或 ，即 或 ，因为 ，所以，当 时， 的最大值是6，
所以 ，所以集合 中元素个数 的最大值为21．
随堂练习：答案：（1） （2） （3）存在这样的 ， ，
理由见解析
解：（1）因为 ，所以 ；
（2）因为 ，
（i）当 时， ，所以 ， 此时，若 ，则
；
若 ，则 .
（ii）当 时， ，所以 ，此时，若 ，则
；
若 ，则 . 综上所述， ；
（3）存在这样的 ， 因为 ，由（2）可知 ，
（i）当 时， ，所以 ，
（ii）当 时， ，所以 ，以此类推， ，
所以数列 的通项公式为 .
典例4、答案：(1) . (2)见证明
解：(1)当n＝1时，a＋S＝2a＝2，则a＝1.
1 1 1 1
又a＋S＝2，所以a ＋S ＝2，两式相减得 ，
n n n＋1 n＋1
所以{a}是首项为1，公比为 的等比数列，所以 .
n
(2)证明：(反证法)假设存在三项按原来顺序成等差数列，
记为a ，a ，a (p＜q＜r，且p，q，r∈N*)，则 ，所以2·2r－q＝
p＋1 q＋1 r＋1
2r－p＋1.①
又因为p＜q＜r，所以r－q，r－p∈N*.
所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立．所以假设不成立，原命题得证．
随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2） ；（3）不存在，理由见
解析．
解：（1）由已知 ，
，
所以 是 为首项， 为公比的等比数列
（2）由（1）得 所以（3）假设存在 满足题意成等差数列，
代入得 ，
所以 ，即 ，左偶右奇不可能成立．
所以假设不成立，这样三项不存在
典例5、答案：（1） （2）证明见解析（3）数列 中不存在三项成等差数列，
证明见解析.
解:（1）1°当 时, ,解得 .
2°当 时, ,即 .
因为 ,所以 ,从而数列 是以2为首项,2为公比的等比数列, 所
以 .
（2）因为 ,所以 , 故数列 是以4为首项,4为公比的等比数
列,
从而 , 而 , 所以 .
（3）不存在.理由如下.
假设 中存在三项成等差数列,不妨设第m,n,k（ ）项成等差数列,
则 ,即 .
因为 ,且m,n, ,所以 .令 （ ）,则 ,显然 在 上是增函数,
所以 ,即 ,
所以 ,
所以 ,其左边为负数,右边为正数,故矛盾,
所以数列 中不存在三项成等差数列.
随堂练习：答案：(1) ； (2) (3) 不存在不同的三项
， ， ，使之成等差数列.理由见解析
解:(1)当 时， .
，① 当 时， .②
①-②得 ， ，
，故 成等比数列，公比 ， 又 ， .
， ， 数列 是一个首项为 ，公差为 的等
差数列，
， ，
当 时， ， 且 满足 ，
.
（2） ，.①
.②
①-②，得 .
.
（3） 且 ， .
假设存在不同的三项 ， ， ，恰好构成等差数列，则 ，
即 ，化简得 .
两边同除以 ，得 .（*）
不妨设 ，则 ，则 ，且 ， ，与（*）矛盾.
不存在不同的三项 ， ， ，使之成等差数列.
典例6、答案：（1） ， ；（2）不存在，理由见解析.
解:（1）因为数列 为等比数列，设首项为 ，公比为 ，由题意可知 ，所以 ， 所以
，
由②可得 ，即 ，所以 或2，
因为 ，所以 ，所以 ， 所以 ，
由 ，可得 ，
所以数列 为等差数列，首项为 ，公差为1，
故 ，则 ，
当 时， ， 当 时， 也适合上式，
故 ．
（2）由 ，可得 ，
所以 ，
所以 ，
假设存在不同的正整数 ， ， （其中 ， ， 成等差数列），
使得 ， ， 成等比数列，则有 ， 所以
，
则 ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，
则 ，所以 ，则 ， 所以 ，即
，
所以 ，这与已知的 ， ， 互不相等矛盾，
故不存在不同的正整数 ， ， （其中 ， ， 成等差数列），
使得 ， ， 成等比数列．
随堂练习：答案：（1） ；（2）不存在，理由见解析；（3） ，证明
见解析.
解: （1）当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
∴ 是首项为 ，公比为 的等比数列， ∴ ， .
（2）若 ，有 成等差数列，则 ，∴ ，即 ，整理有 ，又 ，
∴ ，故 ，与 矛盾，
故数列 中找不到三项，它们按原来的顺序构成等差数列.
（3）由（1）知： ，则 ，
又 ，
∴
∴ ，得证.
