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4.3 利用递推公式求通项（精讲）（基础版）
思维导图考点呈现例题剖析
考点一 累加法
【例1-1】（2022·四川成都）已知数列 满足 ，则a =
n
【答案】
【解析】由题设， ， ， ，…， 且 ，
所以 ，又 ，则 ，故 ，显然 也满足 .
【例1-2】（2022·全国·高三专题练习）在数列 中， ， ，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因 ，则有 ，
于是得，当 时，
，
因此， ，显然， 满足上式，
所以 .
故选：C
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）数列 满足 ，且 ，则数列 的通项公式为
（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，
则 ，
，
，
，
累加得 ，
所以 .
当n=1时也成立
故选：A.
2．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）数列 中， 且 ，则
_________.
【答案】100
【解析】∵ ，∴
∵ =9，即 =9，解得n=100
故答案为：100
3．（2022·全国·高三专题练习）设数列 满足 ，则 =_______.
【答案】【解析】因为数列 满足 ， ，
所以当 时，
.
所以 ， ，
因为 ，也满足上式，
所以数列 的通项公式为 ， 故答案为：
考点二 累乘法
【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ( ， )，则数列
的通项 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】数列 满足 ， ，整理得 ， ， ， ，
所有的项相乘得： ，整理得： ，故选： ．
【一隅三反】
1．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第一中学校一模（文））数列 中， ，当 时， ，则
数列 的通项公式为______．
【答案】【解析】因为 ，
所以 ， ， ， ，
累乘得： ， ，
所以 ， ．
由于 ，所以 ， ．
显然当 时， 满足 ，
所以 ， ．
故答案为：
2．（2022·全国·高三专题练习）设数列 是首项为1的正项数列，且 ，则它
的通项公式 ______.
【答案】
【解析】由 ，则
又数列 为正项数列，即 ，
所以 ，即
所以
故答案为：3（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，则数列 的通项公式为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，得 ，
即 ，则 ， ， ，…， ，
由累乘法可得 ，所以 ，
又 ，符合上式，所以 .故选：D．
考点三 公式法
【例3-1】（2022·上海市）数列 满足 ， ，则数列 的通项公式为______．
【答案】
【解析】当 时， ；
当 时， ，所以 ，又 ，所以两式作差得 ，
所以 ，即 ，所以数列 是从第二项起公比为 的等比数列，
所以 .
故答案为： .
【例3-2】（2022·全国·高三阶段练习（理））已知数列 满足 ， ，则数列 的通项公式为___________.
【答案】
【解析】当 时， .
当 时， ，①
.②
① ②，得 .
因为 不满足上式，所以
故答案为：
【一隅三反】
1．（2022·上海民办南模中学高三阶段练习）已知数列 的前n项和 ，则数列 的通项公式
为______．
【答案】
【解析】 ，整理得到 ，故答案为： .
2．（2022·广西·模拟预测（理））正项数列 的前 项和为 ，且有 ，则
___________．
【答案】【解析】依题意 ， ，
当 时， ，
当 时， ，
，所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
所以 .
故答案为：
3．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（理））已知数列 满足 ，则
___________.
【答案】
【解析】记数列 的前n项和为 ，则由题知 ，当 时， ；当 时，
，所以 .故答案为：
考点四 构造等差数列
【例4-1】（2022·四川省绵阳南山中学）已知数列 满足 ， ， ，则a=
n
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，又 ，
数列 是以1为首项，4为公差的等差数列．所以 ，所以【例4-2】（2022·江西）已知数列 满足： ， （ ， ），则
___________.
【答案】
【解析】由题设， ，即 ，而 ，
∴ 是首项、公差均为 的等差数列，即 ，∴ .故答案为：
【例4-3】（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，求出数列 的通项公
式；
【答案】
【解析】因为 ，所以等式两边同除以 得
所以数列 是以 为首项，2 为公差的等差数列，所以 所以
【一隅三反】
1．（2022·全国·课时练习）已知数列 满足 ，且 ，则数列 __________
1
【答案】
3n−1
【解析】由 可得 ，
1
所以数列 是等差数列，且首项为2，公差为3，则 ，
3n−1
2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，且 ，则数列 的通项
公式 ______．
【答案】【解析】∵ ，∴ ，即 ．又 ，
，
∴数列 是以3为首项，1为公差的等差数列，∴ ，
∴数列 的通项公式 ．故答案为： .
3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的首项 ，且各项满足公式 ，则数
列 的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为数列 的首项 ，且各项满足公式 ，则 ， ， ，
以此类推，对任意的 ， ，
由 可得 ，所以， ，
所以，数列 是等差数列，且首项为 ，公差为 ，
，因此， .故选：B.
考点五 构造等比数列
【例5】（2022·安徽）设 为数列 的前 项和，若 ，则 ______．
【答案】【解析】因为 ， ，所以 ，即 ，所以 是以 为首项，
为公比的等比数列，所以 ，所以
【一隅三反】
1．（2022·全国·高二课时练习）在数列 中， ， ， ，则该数列的通项公式
______．
【答案】
【解析】因为数列 中， ，即 ，
故数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
则 ，解得 .
故答案为： .
2．（2022·上海市控江中学）已知数列 满足 ，则其通项公式
_______．
【答案】
【解析】令 ，则 ，又 ，∴ ，故 ，而
，
∴ 是公比为 ，首项为 ，则 ，∴ .故答案为： .
3．（2022·福建省长汀县第一中学）已知数列 满足 ， ，则 的前n项和为_____.
【答案】
【解析】数列 满足 ，整理得： ，
所以 ，
又 ，
故 是以4为首项，2为公比的等比数列，
所以 ，所以 ，所以 的前 项和
故答案为：
