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7.1 空间几何中的平行（精练）（基础版）
题组一 三角形中位线
1．（2022·云南丽江）如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， 与 交于点O，E为
的中点，求证： 平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：∵四边形 为正方形，∴O为 的中点，∵E为 的中点，∴ ，又∵
平面 平面 ，∴ 平面 ；
2（2022·四川宜宾）如图，正方形ABED的边长为1，G，F分别是EC，BD的中点，求证： 平面
ABC
【答案】证明见解析；
【解析】如图，连接AE，因F是正方形ABED对角线BD的中点，则F是AE的中点，而G是CE的中点，
则 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .3．（2022·浙江·瑞安市第六中学高一阶段练习）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， 为
中点，证明： 平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：设 ，连接 ，因为 分别为 中点，所以 // ， 平面
， 平面 ，所以 //平面 ．
4．（2022·河北唐山）如图，在直三棱柱 中， 为 的中点，求证： 平面【答案】证明见解析
【解析】证明：连接 ，设 ，连接 ，在直三棱柱 中，四边形 为平
行四边形，则 为 的中点，又因为 为 的中点，则 ，因为 平面 ， 平面
，因此， 平面 .
5．（2022·吉林·长春市实验中学）已知直三棱柱 中，D为AB中点，求证： 平面【答案】证明见解析；
【解析】在直三棱柱 中，连 ，连 ，如图，则O为 中点，而D为AB中
点，则有 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
题组二 构造平行四边形
1．（2022·黑龙江·哈师大附中高一期末）四棱锥 底面 为直角梯形，
， ， 为 的中点，求证： 平面
【答案】证明见解析；
【解析】取 的中点 ，连接 ，如图所示，
为 的中点， 为 的中点， ，且 ，又底面 为直角梯形， ,
， ， ， 四边形 为平行四边形， ，又 平面 ，
平面 ， 平面 .2．（2022·辽宁朝阳）如图，在直三棱柱 中，分别是 ， 的中点，求证： 平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：在直三棱柱 中， 分别是 的中点，
取 的中点 ，连接 ，
所以 .
因为 ，所以 ，
所以四边形 是平行四边形，所以 .
因为 平面 平面 ，所以 平面 .
3．（2022·吉林·长春市第五中学）如图，已知四棱锥 的底面是直角梯形， ，
， 为侧棱 的中点，求证： 平面
【答案】证明见解析
【解析】取 的中点 ，连接 ， ，在 中， ， 在梯形 中，
， ∴ ， ，∴四边形 是平行四边形，∴ ，而
平面 ， 平面 ，∴ 平面 ；4．（2022·辽宁抚顺·高一期末）在正方体 中， 分别是 和 的中点.求证：
(1) 平面 .
(2)平面 平面 .
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】（1）连接 ，因为四边形 为正方形， 为 中点，所以 为 中点，又因为
为 中点，所以 .因为 平面 平面 ，所以 平面 ，
（2）连接 ，因为四边形 为正方形， 为 中点，所以 为 中点.又因为 为 中
点，所以 .因为 平面 平面 所以 平面 .由（1）知
平面 ，又 ， 平面 ，所以平面 平面 .5．（2022·辽宁抚顺·高一期末）直四棱柱 ，底面 是平行四边 分别是棱
的中点，求证： 平面
【答案】见解析
【解析】证明：取 的中点 ，连结 ，在 中， 分别为 的中点，所以
且 ，底面 是平行四边形， 是棱 的中点，所以 且 ，
所以 且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 平面 平面
，所以 平面6．（2022·湖南衡阳）如图，四棱柱 的底面ABCD为正方形，O为BD的中点，
，求证：平面 ∥平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：因为四棱柱 的底面ABCD为正方形，
所以 ∥ ， ， ∥ ， ，
所以 ∥， ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ∥ ．
又 平面 ， 平面 ，
所以 ∥平面 ，同理 ∥平面 ．
又 ，
所以平面 ∥平面 ．
7．（2022·福建·厦门市湖滨中学）如图，在正方体 中， 为 的中点， 为 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求证：平面 平面 ．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】
（1）证明：连接 交 于点 ，则 为 的中点，因为 为 的中点，则 ， 平面
， 平面 ，因此， 平面 .（2）证明：因为 且 ， 为 的中点， 为 的中点，所以， ， ，
所以，四边形 为平行四边形，所以， ， 平面 ， 平面 ，所以，
平面 ，因为 ，因此，平面 平面 .
题组三 等比例
1．（2022·江西南昌）两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB， ， ，且
，过M作 于H，求证：
(1)平面 平面BCE；
(2) 平面BCE.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】（1）在正方形ABCD中， ， ，则 ，又 平面 ， 平面
，因此 平面 ，由 ，得 ，而 ， ，则有 ，即
，于是得 ，又 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
因 ， 平面 ，所以平面 平面 .
（2）由（1）知：平面 平面 ，而 平面 ，所以 平面 .
2．（2022·安徽安庆市）如图，四棱锥 中，底面 为直角梯形，且
，点M在棱 上，若直线 平面 ，求 的值
【答案】（1）1∶2；
【解析】连接 与 交于点N，连接 ，
， ， ， ，
又 平面 ， 平面 ，且平面 平面
．3．（2021·全国高三）如图，三棱柱 在圆柱中，等腰直角三角形 ， 分别为上、
下底面的内接三角形，点 ， 分别在棱 和 上， ， ， 平面
，求 的值
【答案】
【解析】过 点作 交 于点 ，连接 ，
， ， 与 确定一个平面．
平面 ，平面 平面 ， ，
四边形 为平行四边形， ．
又 ， ， ， ．
4．（2022·福建省）如图，在三棱柱 中，侧面 是菱形， 是棱 的中点，， 在线段 上，且 ，证明： 平面
【答案】证明见解析
【解析】连接 交 于点 ，连接 ，
因为四边形 为菱形，则 且 ，
为 的中点，则 且 ，故 ，
所以， ， ，
平面 ， 平面 ，因此， 平面 ；
5（2022·安徽）如图，多面体 中，底面 为等腰梯形， ， ，
， ，且 ，求证： 平面
【答案】证明见解析
【解析】 中， ， .设 ，连结 ，
， ， .
，又 ，所以四边形 为平行四边形，
，又 平面 ， 平面 ，
平面 .
6．（2022福建）如图，在四棱锥 中，四边形 是梯形， .
，证明: 平面
【答案】证明见解析
【解析】证明： 四边形 是梯形且 ，又 ,
又 , 是等腰直角三角形．
， ,
如图，连接 交 于点 连接 .
,
在 中，由余弦定理得
解得 故
又点 在棱 上，且 在 中，
又 平面 平面 故 平面 ;
题组四 线面平行的性质
1．（2022·北京市第十三中学）如图，已知在四棱锥 中，底面 是平行四边形， 为
的中点，在 上任取一点 ，过 和 作平面 交平面 于 .(1)求证： 平面 ；
(2)求证： 平面 ；
(3)求证： .
【答案】证明见解析
【解析】(1)证明：因为四边形 为平行四边形，则 ，
平面 ， 平面 ，因此， 平面 .
(2)证明：连接 交 于点 ，连接 ，
因为四边形 为平行四边形， ，则 为 的中点，
又因为 为 的中点，则 ，
平面 ， 平面 ， 平面 .
(3)证明： 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
.
2．（2022·山东·济南市章丘区第四中学）如图，四边形ABCD为长方形， 平面ABCD，
， ，点E、F分别为AD、PC的中点．设平面 平面 ．
(1)证明： 平面PBE；
(2)证明： ；【答案】证明见解析
【解析】取PB中点 ，连接FG，EG，因为点E、F分别为AD、PC的中点所以 ， ，
因为四边形ABCD为长方形，所以 ，且 ，所以 ， ，所以四边形DEGF为
平行四边形，所以 因为 平面PBE， 平面PBE， 平面PBE
（2）由（1）知 平面PBE，又 平面PDC，平面 平面 所以
3．（2022云南）如图，在几何体 ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，G为FC的中点，平面
ABFE∩平面CDEF=EF
(1)证明:AF//平面BDG
(2)证明:AB//EF
【答案】(1)证明见解析.(2)证明见解析.
【解析】(1)连接AC交BD于O,连接OG.因为四边形ABCD为平行四边形，所以AC、BD互相平分.
又G为FC的中点，所以OG为三角形ACF的中位线，所以 .
因为 面 , 面 ,所以AF//平面BDG.
(2)因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB//CD.
因为 面 , 面 ,所以AB//平面 .
因为 面 ,面 面 =EF.
所以AB//EF.
4．（2022·北京海淀·高三期末）如图，已知长方体 中， 为 的中点，平面 交棱
于点F，求证：
【答案】证明见解析；
【解析】由长方体的性质知：面 面 ，又 面 ，
∴ 面 ，又面 面 ，且 面 ，∴ .
5．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在长方体 中，点 是 的中点， 在
上，若过 的平面 交 于 ，交 于 ，求证： 平面【答案】证明见解析
【解析】证明：因为平面 ，平面 ，
平面 ， ，
又 平面 ， 平面 ， 平面 ；
6．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知正方体 的棱长为2， 是 的中点．设平面
与平面 的交线为l，求证： 平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：在正方体 中，平面 平面 ，
又因为平面 平面 ＝l，平面 平面 ，所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．7．（2022·全国·高三专题练习）如图， 平面 ， 平面 ， ，求证：
【答案】证明见解析
【解析】由题意 ， 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ，
又 平面 ， ，∴平面 平面 ，
而平面 平面 ，平面 平面 ，∴ .
8．（2022·全国·高三专题练习）在三棱柱 中，
（1）若 分别是 的中点，求证：平面 平面 .
（2）若点 分别是 上的点，且平面 平面 ，试求 的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）1.
【解析】（1）∵ 分别是 的中点，
∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，∴ ，
又∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
又∵ ， 平面 ，
∴平面 平面 ；
（2）连接 交 于O，连接 ，
由平面 平面 ，且平面 平面 ，
平面 平面 ，
∴ ，
则 ，
又由题设 ，∴ ，即 .
题组五 面面平行的性质
1．（2022·四川成都）如图，四边形ABCD为长方形， ， ，点E、F分别为AD、PC的
中点．设平面 平面 ．
(1)证明： 平面PBE；(2)证明： ．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；
【解析】(1)取PB中点 ，连接FG，EG，
因为点E、F分别为AD、PC的中点，
所以 ， ，
因为四边形ABCD为长方形，所以 ，且 ，
所以 ， ，所以四边形DEGF为平行四边形，
所以 因为 平面PBE， 平面PBE， 平面PBE；
(2) 由（1）知 平面PBE，又 平面PDC，平面 平面 ，所以 .
2．（2022·山东淄博·高一期末）如图，已知正方体 的棱长为 ， 、 分别为棱 、
的中点，证明：直线 平面【答案】证明见解析
【解析】证明：取 的中点 ，连接 、 、 ，
在正方体 中， 且 ，
、 分别为 、 的中点，则 且 ，
故四边形 为平行四边形，则 且 ，
又因为 且 ，则 且 ，
故四边形 为平行四边形，则 ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
因为 且 ，故四边形 为平行四边形，则 ，
、 分别为 、 的中点，则 ，则 ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
， 、 平面 ，所以，平面 平面 ，
平面 ， 平面 .
3．（2022·江苏省镇江第一中学）如图，三棱柱 中侧棱与底面垂直，M，N，P，D分别为
CC ，BC，AB， 的中点，求证：PN∥面ACC A
1 1 1【答案】证明见解析
【解析】∵P，D分别为 ， 的中点，
∴ ，且 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
∵D，N分别为 ，BC的中点，
∴ ，且 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，又 ，
∴平面 平面 ，
又∵ 平面PDN，
∴ 平面 ．
4．（2022·河南驻马店）如图所示，在直角梯形BCEF中， ，A，D分别是BF，CE上
的点，且 ， ，将四边形ADEF沿AD折起，连接BE，BF，CE，AC，
证明： 面BEF
【答案】证明见解析【解析】方法一：取ED中点H，连接HA，HC，HF，如下图：
由题意 可知 ,即四边形AFEH为平行四边形，
可得 ， 面EFB, 面EFB，可得 面EFB，
四边形AFHD为平行四边形，则 ， ，
可得四边形BCHF为平行四边形，则 ， 面EFB, 面EFB，
可得 面EFB， ， 面AHC, 面AHC,
根据面面平行的判定定理可得面 面AHC， 面AHC,
从而可得 面EFB．
方法二：在面AFED内，延长EF，DA交于G点，连接BG，如下图：
则 面EFB．由条件 ，则 ．
从而可得 ，四边形AGBC为平行四边形．
可得 ，又 面EFB， 面EFB，
根据线面平行的判定定理可得 面EFB．
5．（2022·湖南）如图，在长方体 中， ， 分别是线段 ， 的中点.证明：平面
【答案】证明见解析
【解析】设 为 的中点，连接 ， ，
则 ， ，
又 平面 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
又 平面 ，
所以平面 平面 ，又 平面 ，
所以 平面 ；
6．（2022·重庆八中高三阶段练习）如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， 与 相交
于点O，F点是 的中点，E点在线段 上，且 ．求证：直线 ∥平面【答案】证明见解析；
【解析】取 的中点 ，连接CG、GF、EO．
∵ ，
则 ，
∵ 点是 的中点，故 ，且 平面 ，
故 平面 ．
又 ，故 是 的中点， 是 的中点，
则 ，且 平面 ，
故 平面 ，且 ，
故平面 平面 ．
又 平面 ，故 平面 ．
题组六 线面垂直的性质
1．（2022·河南南阳）如图，已知 是正三角形， 、 都垂直于平面 ，且
， 为 的中点．求证： 平面【答案】证明见解析
【解析】证明：取 的中点 ，连接 、 ，
因为 、 都垂直于平面 ，则 且 ，
因为 、 分别为 、 的中点，则 且 ， 且 ，
所以，四边形 为平行四边形，则 ，
平面 ， 平面 ， 平面 .
2．（2022·广东揭阳）圆柱 如图所示， 为下底面圆的直径， 为上底面圆的直径， 底面
， ， ， .证明： 面【答案】见解析
【解析】证明：连接 ， ， ，可得 平面 ，
∵ 平面 ，∴ ，
∵ ，∴四边形 为平行四边形，∴ ，∴ 且 ，
∴四边形 为平行四边形，∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ；
3．（2022·山西临汾）如图（1），在梯形 中， 且 ，线段 上有一点E，满足
， ，现将 分别沿 折起，使 ，得到如图（2）
所示的几何体．求证：【答案】证明见解析；
【解析】图（1）中， ，则 ，而 ，即 ，
在 中， ，有 ，
同理可得 ，则 ，
图（2）中， ，则 ，而 ， 平面 ，则有 平面
，
在 中， ，则 ，又 ， ， 平面 ，因
此 平面 ，
所以 .
4．（2022·河南·三模）多面体ABCDE中， 与 均为边长为2的等边三角形， 为腰长为
的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，F为BC的中点.求证： 平面ECD
【答案】证明见解析
【解析】证明：因为 为等腰三角形，F为BC的中点，所以AF⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面 平面 ， 平面ABC.
所以AF⊥平面BCD，取CD的中点G，连接EG，因为 是等边三角形，所以EG⊥CD，因为平面
CDE⊥平面BCD，交线为CD，且EG 平面CDE，所以EG⊥平面BCD，所以 ，
又 平面ECD， 平面ECD，所以 平面ECD.
5．（2022·全国·高三专题练习）如图，在多面体 中四边形 是正方形， 平面 ，
平面 ， .证明：平面 平面 .
【答案】证明见解析
【解析】证明：∵ 平面 ， 平面 ，
∴ .
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
∵四边形 是正方形，
∴ .
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .∵ 平面 ， 平面 ，且 ，
∴平面 平面 .
6．（2022·全国·高三专题练习）如图所示的多面体 中，四边形 为矩形，
， 平面 ，求证： 平面 .
【答案】证明见解析
【解析】因 ，则 ， ，而 ， 平面ABCD，于
是得 平面ABCD，
因 平面ABCD，则有 ，而 平面BCF， 平面BCF，从而得 平面BCF，
在矩形ABCD中，则 ， 平面BCF， 平面BCF，于是得 平面BCF，
而 ， 平面ADE，因此，平面 平面BCF， 平面ADE，
所以 平面BCF.
7．（2022·全国·课时练习）如图， 是正三角形， 和 都垂直于平面 ，且 ，
， 是 的中点，求证： 平面 ．
【答案】证明见解析
【解析】证明：取 的中点 ，连接 ， ，可得 ， ．因为 平面 ，平面 ，所以 ．
又因为 ．所以 ， ．所以四边形 是平行四边形，所以 ．
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
