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第 53 讲 带电粒子在复合场中的运动
（模拟精练+真题演练）
1．（2022·辽宁大连·大连八中校考模拟预测）如图所示，竖直放置的两块很大的平行金属板a、b，相距为
d，a、b间的电场强度为E，今有一带正电的微粒从a板下边缘以初速度v 竖直向上射入电场，当它飞到b
0
板时，速度大小不变，而方向变为水平方向，且刚好从高度也为d的狭缝穿过b板而进入bc区域，bc区域
的宽度也为d，所加电场强度大小为E，方向竖直向上，磁感应强度方向垂直纸面向里，磁场磁感应强度
大小等于 ，重力加速度为g，则下列关于粒子运动的说法正确的是（ ）
A．粒子在ab区域的运动时间为
B．粒子在bc区域中做匀速圆周运动，圆周半径r＝d
C．粒子在bc区域中做匀速圆周运动，运动时间为
D．粒子在ab、bc区域中运动的总时间为
【答案】D
【详解】A．粒子在ab区域的运动时间为 ，则 得 故A错误；
B．水平方向上做匀加速运动a＝ ＝g则qE＝mg进入bc区域，电场力大小未变，方向竖直向上，电场力
与重力平衡，粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力qvB＝ 得r＝ 代入数据得r＝
0
又 故r＝2d故B错误；
C．在bc区域，粒子运动轨迹所对圆心角为α，则 运动时间 故C错误；
D．粒子在ab、bc区域中运动的总时间为 故D正确。故选D。
2．（2023·山东青岛·统考三模）如图，空间存在水平向右的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场，粗糙绝缘的水平面上有一带正电小球，从P点由静止释放后向右运动，运动过程中会经过N点。已知小球质量
m、电荷量q，电场强度大小E，磁感应强度大小B，小球与水平面间动摩擦因数μ，重力加速度g，
。则关于小球的运动，下列说法正确的是（ ）
A．小球先做加速运动，后做减速运动，最后静止
B．小球能够达到的最大速度为
C．小球运动到N点时合外力做的功为
D．若小球带负电，向左运动一段时间后会脱离水平面
【答案】B
【详解】AB．由左手定则可知，小球受到的洛伦兹力竖直向下，大小为 小球所受摩擦力为
根据牛顿第二定律可得 解得 由题意可知小球先做加速运
动，随着速度增大，洛伦兹力增大，加速度减小，当加速度为0时，速度达到最大，此时有
解得 此后小球做匀速直线运动，故A错误，B正确；
C．小球运动到N点时合外力做的功为 故C错误；
D．若小球带负电，向左运动时受到向左的电场力，向右的摩擦力，此时洛伦兹力向下，所以运动一段时
间后小球不会脱离水平面，故D错误。故选B。
3．（2023·山东日照·统考三模）如图所示，三个同心圆 、 、 的半径分别为 、 、 ，在圆 区
域内存在垂直纸面向外的匀强磁场 。在圆 和圆 间的环形区域存在背向圆心的辐向电场，在圆 和圆
间的环形区域存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为 。一质量为 、电荷量为 的粒子，
从圆 边界上的A点沿半径方向以速度 射入圆 内，第一次从圆 边界射出时速度方向偏转 ，经过辐
向电场加速后，从圆 边界上进入外环区域，粒子恰好不会从圆 飞离磁场。已知磁感应强度 ，
不计粒子的重力。则（ ）A．圆 区域内匀强磁场的磁感应强度 大小为
B．圆 与圆 两边界间辐向电场的电势差为
C．粒子从电场回到入射点A，在磁场中运动的最短时间为
D．粒子从电场回到入射点A，在磁场中运动的最短时间为
【答案】B
【详解】A．如图
根据 ； 由几何关系得，半径 联立解得 故A错误；
B．如图
根据几何关系，在圆 和圆 间的环形区域的匀强磁场偏转半径 又 ；
联立解得U= 故B正确；
CD．粒子运动轨迹如图粒子圆 区域内匀强磁场运动的周期 粒子从电场回到入射点A，在磁场中运动的最短时间
为
故CD错误。故选B。
4．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）如图所示，以竖直向上为 轴建立 坐标系，空间中存
在匀强电场和匀强磁场。匀强电场的电场强度方向沿着 轴正向，大小为 ，匀强磁场的磁感应强度为 ，
方向未知。现有一个质量为 、电荷量为 的带正电的小球恰好从 点沿 轴正方向以速度 做匀速
直线运动， 为重力加速度，下列说法正确的是（ ）
A．匀强磁场的方向一定沿 轴正方向
B．若 的方向改为沿 轴正方向，则改变磁场方向，可使小球仍做匀速直线运动，磁感应强度大小可
能为
C．若撤去电场，小球运动的最低点 坐标为
D．若撤去电场，小球第一次返回到 平面的可能坐标为（ ， ）
【答案】BCD
【详解】A．根据题意知 正电的小球恰好从 点沿 轴正方向以速度 做匀速直线运动，由平衡条
件可知带电小球不受洛仑兹力，所以速度方向与磁场方向相互平行，匀强磁场的方向可能沿 轴正方向，
也可能沿 轴负方向，故A错误；B．若 的方向改为沿 轴正方向，则小球受到的重力和电场力的合力为
方向方向沿 轴正方向和y轴负方向的角平分线，改变磁场方向，可使小球仍做匀速直线运动，根据平衡
条件可知小球所受的洛仑兹力大小为 则磁感应强度大小可能为 故B正确；
C．撤去电场后，粒子的运动如图：
在最低点有 且 根据题意可知 根据几何关系可知最低点坐标为 故C
正确；
D．撤去电场后，小球沿 轴做匀速直线运动，则 粒子做圆周运动的周期为
且 ，x方向的坐标为 解得 ， 所以小球第一次返回到 平面的可能坐
标为（ ， ），故D正确；故选BCD。
5．（2023·河北沧州·河北省吴桥中学校考模拟预测）如图甲所示，在三维坐标系Oxyz（y轴正方向竖直向
上）中，y>0的空间内存在电场强度大小为E，方向沿x轴正方向的匀强电场；y<0的空间内存在平行于y
1
轴的匀强电场和匀强磁场，电场强度E 和磁感应强度B随时间变化的规律分别如图乙和丙所示，甲图中所
2
示方向为正方向。一质量为m、电荷量为+q的小球，从坐标为 的点由静止释放，经过时间T，在
t=0时刻恰好过坐标原点O进入y<0的空间内。已知 ，重力加速度大小为g，不计一切阻力。
则在t=4.5T时刻，小球的位置坐标为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【详解】小球在重力和电场力的作用下，从 位置做初速度为零的匀加速直线运动，恰好过原点，
则 ， 得 到达O点的水平速度与竖直速度均为 由图乙、丙可知，
在 内，小球竖直方向以g做匀加速直线运动，在 时，竖直速度为 在
内，小球以g继续竖直线下做匀减速直线运动， 时，速度减小至 ，则 时，小球的y
轴坐标为
得 小球在水平方向以 做匀速圆周运动。在 内，小
球运动周期为 则在 时，小球x轴和z轴坐标均为0。
在 内，磁场方向竖直向上，大小2B，则周期变为 。 时，运动半周。在 内，做完
0
整的圆周运动。在 内，运动半周，最后回到原点，俯视图如图所示
则在 时刻，小球的位置坐标为 。故选D。
6．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）如图所示，一根固定的绝缘竖直长杆位于范围足够大且
相互正交的匀强电场和匀强磁场中，匀强电场的电场强度大小 、方向竖直向上，匀强磁场的磁感
应强度大小为 、方向垂直纸面向里。一质量为 、电荷量为 的带正电小圆环套在杆上，圆环与杆间的
动摩擦因数为 。现使圆环以初速度 沿杆向下运动，经过时间 ，圆环回到出发点。若圆环回到出发点
之前已经开始做匀速直线运动，不计空气阻力，重力加速度为 ，则下列说法中正确的是（ ）A．圆环下降过程中的加速度逐渐减小
B．圆环的最大加速度
C．圆环在 时间内损失的机械能为
D．圆环下降过程和上升过程中，系统因摩擦产生的内能相等
【答案】AC
【详解】A.圆环向下运动时竖直方向受到重力、向上的电场力和向上的摩擦力。设圆环向下运动的加速度
大小为 ，则 因此圆环速度的减小，会导致其所受洛伦兹力减小，则摩擦
力会减小，因此圆环做加速度减小的减速运动，故A正确；
B.当圆环向上运动时，圆环的加速度大小 随着圆环速度的增大，圆环开始
做加速度减小的加速运动，之后做匀速直线运动，圆环向下运动时的加速度大于向上运动时的加速度，而
向下运动时圆环受到的摩擦力越大，则加速度越大，因此圆环刚开始运动时，加速度最大，有
可得 故B错误；
C.圆环先后两次经过出发点过程中，重力势能变化量为零，可知圆环机械能的损失，即为动能的损失，根
据动能定理，有 而圆环最后做匀速运动的速度 因此圆环在 时间内损失的机
械能为 故C正确；
D.圆环上升和下降的过程中，摩擦力大小的平均值不同，而圆环运动的路程相同，所以两过程中，系统因
摩擦产生的内能不相等，故D项错误。故选AC。
7．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考三模）如图所示，半径为R的光滑绝缘半圆环固定在竖直面内，MN
是圆环的水平直径。空间中存在垂直纸面向里的匀强磁场，一个质量为m，电荷量为q的带正电小球套在
半圆环上，在M点由静止释放，小球第一次运动到圆环最低点P时，下列说法正确的是（ ）A．小球运动到P点的速度大小为
B．如果改变圆环的半径，小球从M到P时，在P点对圆环的弹力随圆环半径的增大而减小
C．小球从M点运动到P点所用的时间与磁感应强度的大小无关
D．若在P点半圆环对小球的作用力大小为mg，则磁场强度大小为 或
【答案】AC
【详解】A．由于洛伦兹力不做功，故小球运动到P点由动能定理有 解得 故A正确；
B．设圆环改变后的半径为 ，可知最低点P处有两种情况，情形一：若线速度较小，在P点圆环对小球
的作用力向上，则有 又由A选项可得 化简可得 即在P
点对圆环的弹力随圆环半径的增大而减小；
情形二：若线速度较大，在P点圆环对小球的作用力向下，则有 又由A选项可得
化简可得 即在P点对圆环的弹力随圆环半径的增大而增大，故B错误；
C．由于磁感应强度的大小只影响轨道半径方向的弹力大小，且洛伦兹力和轨道的弹力均对小球不做功，
所以只要轨道光滑，且轨道形状不变，小球从M点运动到P点所用的时间只与高度有关，与磁感应强度的
大小无关，故C正确；
D．若在P点半圆环对小球的作用力大小为mg，若线速度较小，在P点圆环对小球的作用力向上，则有
又由A选项可得 化简可得 若线速度较大，在P点圆环对小球的
作用力向下，则有 又由A选项可得 化简可得 故D错误。
故选AC。
8．（2023·四川成都·四川师范大学附属中学校考模拟预测）在如图所示的竖直平面内，有一足够长的条状
区域 ，其间距为d，该区域内以水平线 为界存在向上、向下的匀强电场，其电场强度大小均为
E。 右侧存在足够大的方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一带电粒子以速度 从
无限靠近O点的下方沿 方向射入电场，经过一段时间后又从无限靠近O点的上方从磁场射出电场。不
计重力。则下列说法正确的是（ ）A．该粒子一定带负电
B．该粒子的比荷为
C．若该粒子以不同的速度从O点下方进入，在磁场运动的时间都相同
D．若仅改变电场强度的大小，则粒子进磁场和出磁场时经过 上两点的间距不变
【答案】BD
【详解】A．根据左手定则可知，该粒子一定带正电，故A错误；
B．如图所示，在电场中，粒子做类平抛运动有 ； 则有 且
在磁场中 又 联立可得 故B正确；
C．以不同的速度进入电场，出电场时速度偏转角不同，粒子在磁场中运动的周期虽然与速度无关，但在
磁场中转过的圆心角不同，故在磁场中运动的时间也不同，故C错误；
D．若仅改变电场强度大小，进入磁场时的速度满足 粒子进磁场和出磁场时经过 上两点的间距
可见与电场强度无关，故D正确。
故选BD。9．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）如图所示，xOy坐标平面在竖直平面内，x轴沿水平方向，y
轴正方向竖直向上，在图示空间内有垂直于xOy平面的水平匀强磁场。一质量为m的带电小球从O点由静
止释放，运动轨迹如图中曲线。已知重力加速度为g，关于带电小球的运动，下列说法中正确的是（ ）
A．OAB轨迹为半圆 B．小球运动至最低点A时速度最大，且沿水平方向
C．小球在整个运动过程中机械能守恒 D．小球在A点时受到的洛伦兹力大小为3mg
【答案】BC
【详解】小球释放后，除了受到重力外，开始阶段还受到向右侧的洛伦兹力的作用，只有重力做功机械能
守恒。可以假定小球带正电，且磁场方向垂直纸面向里。小球初速度为0，可以将这个初速度分解为向右
的速度v 和向左的速度v
1 2
则两者大小关系为v= v 且使满足qvB = mg则根据前述分析可知，小球的运动可看做是v 引起的向右的
1 2 1 1
匀速直线运动和v 引起的一开始向左的逆时针匀速圆周运动的两个分运动的合运动。很显然，小球的轨迹
2
不是半圆，而是摆线，如图所示
且小球运动至最低点A时速度为向右的v 和v 的矢量和，即2v，洛伦兹力大小为为2mg。其他位置v 和v
2 1 1 2 1
的矢量和都小于2v。故选BC。
1
10．（2023·广东珠海·珠海市第一中学校考三模）如图所示，以棱长为L的正方体顶点O为原点建立三维
坐标系Oxyz，其中顶点P落在x轴上、Q落在y轴上。质量为m、电荷量为＋q的粒子（重力不计〉由Q
点沿x轴正方向以速度 射入。第一次只在正方体内加沿z轴负方向磁感应强度大小为B的匀强磁场，该
粒子恰好能通过OQ的中点；第二次只在正方体内加沿y轴负方向电场强度大小为E的匀强电场，该粒子
恰好能通过OP的中点；第三次在正方体内同时加上匀强磁场和匀强电场；磁场方向不变，电场方向调整
为沿z轴正方向，则（ ）A．该粒子在正方体内运动的时间第一次大于第二次
B．电场强度和磁感应强度满足
C．第三次该粒子在正方体内的运动为匀变速曲线运动
D．第三次该粒子将从正方体的上表面穿出
【答案】ABD
【详解】A．第一次粒子在磁场中做匀速圆周运动，其轨迹为一圆周，运动半径为 由洛伦兹力提供
向心力得 解得 运动时间 第二次粒子在电场中做类平抛运动，沿+x方向
做匀速直线运动，则运动时间为 可知该粒子在正方体内运动的时间第一次大于第二次，故A正确;
B．第二次运动中，粒子在沿-y方向做匀加速直线运动，则有 解得 故B正确；
CD．第三次粒子射入时，所受电场力方向沿z轴正方向，则电场力与洛伦兹力的合力都沿z轴正方向，与
速度不在同一直线，且洛伦兹力不断变化，粒子不会做匀变速曲线运动，且粒子最终会从正方体的上表面
穿出，故C错误，D正确；故选ABD。
11．（2023秋·河南·高三校联考开学考试）如图所示，平面直角坐标系 内，x轴上方有垂直坐标系平
面向里、半径为R的圆形匀强磁场 （大小未知），圆心为 。x轴下方有一平行x轴的虚线MN，
在其下方有磁感应强度方向垂直坐标系平面向外、大小为 的矩形匀强磁场，磁场上边界与MN
重合。在MN与x轴之间有平行与y轴、场强大小为 的匀强电场（图中未画出），且MN与x轴
相距 （大小未知）。现有两相同带电粒子a、b以平行x轴的速度 分别正对 点、A点 射入圆
形磁场，经偏转后都经过坐标原点O进入x轴下方电场。已知粒子质量为m、电荷量大小为q，不计粒子
重力及粒子间的相互作用力。
（1）求磁感应强度 的大小；
（2）若电场沿y轴负方向，欲使带电粒子a不能到达MN，求 的最小值；
（3）若电场沿y轴正方向， ，欲使带电粒子b能到达x轴上且距原点O距离最远，求矩形磁场区域的最小面积。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）a、b平行进入圆形磁场，均进过原点O，则根据“磁聚焦”可知，粒子做圆周运动的半径
大小与磁场区域半径大小相等，即 又 解得
（2）带电粒子a从O点沿y轴负方向进入电场后做减速运动，则由动能定理可得
解得
（3）若匀强电场沿y轴正方向，则粒子b从原点O沿x轴负向进入电场，做类平抛运动，设粒子b经电场
加速度后的速度大小为v，在MN下方磁场做匀速圆周运动的轨道半径为 ，粒子b离开电场进入磁场时速
度方向与水平方向夹角为 ，如图甲所示
则有 解得 又 则 在电场中 ，
在磁场中有 解得 如图乙所示，由几何关系可知，在矩形磁场中运动的圆心 在y轴
上，当粒子从矩形磁场右边界射出，且方向与x轴正方向夹角为 时，粒子能够到达x轴，距离原点O
最远。则最小矩形区域水平边长为 竖直边长为 则最小面积为
12．（2023·广东汕头·仲元中学校联考二模）现代科技中常常利用电场和磁场来控制带电粒子的运动，某
控制装置如图所示，区域Ⅰ是 圆弧形均匀辅向电场，半径为R的中心线 处的场强大小处处相等，且
大小为 ，方向指向圆心 ；在空间坐标系 中，区域Ⅱ是边长为L的正方体空间，该空间内充满
沿y轴正方向的匀强电场 （大小未知）；区域Ⅲ也是边长为L的正方体空间，空间内充满平行于 平
面，与x轴负方向成45°角的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在区域Ⅲ的上表面是一粒子收集板；一群比
荷不同的带正电粒子以不同的速率先后从 沿切线方向进入辐向电场，所有粒子都能通过辐向电场从坐标
原点O沿x轴正方向进入区域Ⅱ，不计带电粒子所受重力和粒子之间的相互作用。
（1）若某一粒子进入辐向电场的速率为 ，该粒子通过区域Ⅱ后刚好从P点进入区域Ⅲ中，已知P点坐
标为 ，求该粒子的比荷 和区域Ⅱ中电场强度 的大小；
（2）保持（1）问中 不变，为了使粒子能够在区域Ⅲ中直接打到粒子收集板上，求粒子的比荷 需要
满足的条件。
【答案】（1） ， ；（2）【详解】（1）某一粒子进入辐向电场的速率为 ，粒子在辐向电场中做勺速圆周运动，由电场力提供向
心力可得 解得该粒子的比荷为 粒子在区域Ⅱ中做类平抛运动，沿 轴方向有
沿y轴方向有 ， 联立解得区域Ⅱ中电场强度 的大小为
（2）设粒子电荷量为q，质量为m，粒子进入辐向电场的速率为v，则粒子在辐向电场中有
解得 粒子在区域Ⅱ中做类平抛运动，设粒子都能进入区域Ⅲ，则沿x轴方向有
沿y轴方向有 ， ， 联立解得 ， 可知所有粒子经过区域Ⅱ后都从P
点进入区域Ⅲ中，进入区域Ⅲ的速度方向与x轴正方向的夹角为 ，则有 解得
粒子进入区域Ⅲ的速度大小为 粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，则有
解得 为了保证粒子能够打到粒子收集器上，如图所示
由几何关系可知粒子在磁场中的半径需要满足 联立解得粒子的比荷需要满
13．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考一模）如图，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，第一、
二象限内磁感应强度大小分别为 、 ，第三象限内存在沿y轴负方向的匀强电场，在坐标为
的P点由静止释放一电子，电子恰好能够分别垂直通过x轴和y轴各一次后到达坐标原点O处，已
知电子的质量为m，带电荷量大小为e。
（1）求第三象限内电场强度E的大小；（2）求电子从P点第一次运动到O处所经历的时间t；
（3）若仅改变P点在第三象限的纵坐标，为保证电子仍然能够到达O处且第一次到达O处的速度沿y轴
方向，求释放点纵坐标的可能取值以及电子从出发点到第一次运动到O处所经历的时间。
【答案】（1） ；（2） ；（3）见解析
【详解】（1）根据题意作出电子在组合场中的运动轨迹如图所示
电子在第一、二象限内做匀速圆周运动的轨道半径分别为 ； 在第二象限内,由洛伦兹力提供向心
力有 电子从P运动到x轴过程中，根据动能定理有 解得
（2）电子在磁场中运动的周期 电子在第一、二象限内运动的时间分别为 ；
电子在电场中运动的时间为 电子从P点第一次运动到O处所经历的时
间
（3）设释放点位置的纵标为 时，电子到达 轴的速度为 ，则 可得 若电子不经
过 y 轴直接到达O点处，则有 其中 联立解得
设电子第一次通过 轴时经历的时间为 ，则 解得 在电场中的运动的总时间为电子在第二象限内运动的总时间为 则电子从出发点到第一
次运动到 点经历的总时间为 若电子经过 轴后再到达 点处，
则有 可解得 在电场中运动的总时间为
电子在第二象限内运动的总时间为 电子在第一象限内运动的时间为
电子从出发点到第一次运动到 点经历的总时间为
14．（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考一模）如图甲所示，y轴左侧空间有方向水平向右、电场强
度大小为E的匀强电场；y轴右侧空间有垂直xOy平面向里的匀强磁场，同时还有沿y轴负方向的匀强电
场（图中未画出）。磁感应强度随时间变化规律如图乙所示（图中量均为未知）。 时刻，一质量为
m、电荷量为 （ ）的带电粒子在x轴上的M点由静止释放，已知 。 时刻，粒子到达N点
（ ，L），速度大小为 ，方向沿x轴正方向，此时撤去所有电场。 时刻，粒子经过x
轴上 点，速度沿x轴正方向。不计粒子重力，求：
（1）y轴右侧的电场强度大小；
（2） 的最小值；
（3）当 取最小值时， 对应的值。
【答案】（1） ；（2） ；（3） （ ，2，3……）
【详解】（1）设y轴右侧的电场强度大小为 ，带电粒子由M到N的运动过程中，由动能定理有
解得
（2）如图所示时间内，粒子在小的虚线圆上运动， 时刻粒子从C点切入大圆，大圆最大半径为 ，相应
小圆最大半径为R，由几何关系可得 由牛顿第二定律得 解得
（3）当 取最小值时，带电粒子由C点到经过x轴上 点的时间 满足
（ ，2，3……）解得 （ ，2，3……）
15．（2023·湖南·模拟预测）如图所示，直角坐标系中的xOy平面为水平面，z轴竖直向上；空间存在足够
大的匀强磁场和匀强电场，磁场沿 方向、磁感应强度大小为B。放在原点O处的微粒源可沿yOz平面内
的任意方向发出质量均为m、电荷量均为q（q>0）的带电微粒，微粒的速率在一定范围内且最大速率是最
小速率的2倍，微粒在垂直于磁场方向做匀速圆周运动的最大半径为R；已知重力加速度为g，不计微粒间
的相互作用。
（1）若微粒均在yOz平面内做匀速圆周运动，求电场强度 。
（2）去掉磁场，调整匀强电场的方向使其平行于xOz平面，在 方向上的分量与第（1）问的场强相同，
在 方向上的分量是第（1）问的场强大小的2倍；一足够大的荧光屏垂直x轴放置（带电微粒打在荧光
屏上会产生亮点），荧光屏到原点的距离d满足关系式 ，求荧光屏上可能有亮点出现区域的
面积S。
（3）去掉第（2）中的荧光屏，保持（2）中的电场、恢复（1）中的磁场，将微粒源移到yOz平面内以原
点O为圆心半径为R的圆周与z轴交点P处（如图所示），使微粒仅沿 方向射出，求速率最小的微粒距
离x轴最近时的x坐标；写出速率最大的微粒运动轨迹在xOy平面内投影的曲线方程。【答案】（1） ；（2） ；（3） ，其中 、1、2、3……，
【详解】（1）微粒均在yOz平面内做匀速圆周运动，那么微粒所受电场力与重力平衡，即
解得 ，方向竖直向上
（2）未去掉磁场时，当微粒速率最大时做匀速圆周运动的半径也最大为R，则 可得微粒最
大速率 由于微粒最大速率是最小速率的2倍，则可得微粒最小速率为 当去掉磁场后，
匀强电场的竖直向上的分量与第 问的中的场强相同；则微粒在yOz平面右侧做类平抛运动。
沿x轴正方向 ① ② ③由①②③可得 分析可知荧光屏上可能
有亮点出现区域为一圆环，圆环外径 圆环内径 荧光屏上可能有亮点出现区域的面积为
联立可得
（3）将微粒的运动进行分解，在yOz平面内做匀速圆周运动，在沿x轴正方向做匀加速直线运动。
微粒在yOz平面内做匀速圆周运动的周期 微粒离开P点后经时间t距离x轴最近，则
， 、1、2、3……微粒在沿x轴正方向做匀加速直线运动 联立以上式子可得
，其中 、1、2、3……由速率最大的微粒在垂直于磁场方向做匀速圆周运动的半
径为R，运动轨迹在xOy平面内投影的曲线方程 联立可得
16．（2023·江苏·统考高考真题）霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。Oxy平面内存在竖直
向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。质量为m、电荷量为e的电子从O点
沿x轴正方向水平入射。入射速度为v 时，电子沿x轴做直线运动；入射速度小于v 时，电子的运动轨迹
0 0
如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。
（1）求电场强度的大小E；
（2）若电子入射速度为 ，求运动到速度为 时位置的纵坐标y；
1
（3）若电子入射速度在0 < v < v 范围内均匀分布，求能到达纵坐标 位置的电子数N占总电子数
0N 的百分比。
0
【答案】（1）vB；（2） ；（3）90%
0
【详解】（1）由题知，入射速度为v 时，电子沿x轴做直线运动则有Ee = evB解得E = vB
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（2）电子在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场的复合场中，由于洛伦兹力不做功，且
由于电子入射速度为 ，则电子受到的电场力大于洛伦兹力，则电子向上偏转，根据动能定理有
解得
（3）若电子以v入射时，设电子能达到的最高点位置的纵坐标为y，则根据动能定理有
由于电子在最高点与在最低点所受的合力大小相等，则在最高点有F = ev B－eE在最低点有
合 m
F = eE－evB联立有 ； 要让电子达纵坐标 位置，即y ≥ y
合 2
解得 则若电子入射速度在0 < v < v 范围内均匀分布，能到达纵坐标 位置的电子数N占
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总电子数N 的90%。
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