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专题 04 立体几何
1．【2022年全国甲卷】如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的
边长为1，则该多面体的体积为( )
A．8 B．12 C．16 D．20
2．【2022年全国甲卷】在长方体ABCD-A B C D 中，已知B D与平面ABCD和平面
1 1 1 1 1
A A B B所成的角均为30°，则( )
1 1
A．AB=2AD B．AB与平面AB C D所成的角为30°
1 1
C．AC=CB D．B D与平面BB C C所成的角为45°
1 1 1 1
3．【2022年全国甲卷】甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，
S V
侧面积分别为S 和S ，体积分别为V 和V ．若 甲=2，则 甲= ( )
甲 乙 甲 乙 S V
乙 乙
5√10
A．√5 B．2√2 C．√10 D．
4
4．【2022年全国乙卷】在正方体ABCD-A B C D 中，E，F分别为AB,BC的中点，
1 1 1 1
则( )
A．平面B EF⊥平面BDD B．平面B EF⊥平面A BD
1 1 1 1
C．平面B EF//平面A AC D．平面B EF//平面A C D
1 1 1 1 1
5．【2022年全国乙卷】已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球
O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为( )1 1 √3 √2
A． B． C． D．
3 2 3 2
6．【2022年新高考1卷】南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部
分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148．5m时，相应水面的面积为140．0km2；水
位为海拔157．5m时，相应水面的面积为180．0km2，将该水库在这两个水位间的形状
看作一个棱台，则该水库水位从海拔148．5m上升到157．5m时，增加的水量约为(
√7≈2.65)( )
A．1.0×109m3 B．1.2×109m3 C．1.4×109m3 D．1.6×109m3
7．【2022年新高考1卷】已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的
体积为36π，且3≤l≤3√3，则该正四棱锥体积的取值范围是( )
[ 81] [27 81] [27 64]
A． 18, B． , C． , D．[18,27]
4 4 4 4 3
8．【2022年新高考2卷】已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3√3和4√3，其
顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A．100π B．128π C．144π D．192π
9．【2022年北京】已知正三棱锥P-ABC的六条棱长均为6，S是△ABC及其内部的点
构成的集合．设集合T={Q∈S|PQ≤5}，则T表示的区域的面积为( )
3π
A． B．π C．2π D．3π
4
10．【2022年浙江】某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：
cm3)是( )
22 16
A．22π B．8π C． π D． π
3 3
11．【2022年浙江】如图，已知正三棱柱ABC-A B C ,AC=A A ，E，F分别是棱
1 1 1 1
BC,A C 上的点．记EF与A A 所成的角为α，EF与平面ABC所成的角为β，二面角
1 1 1F-BC-A的平面角为γ，则( )
A．α≤β≤γ B．β≤α≤γ C．β≤γ≤α D．α≤γ≤β
12．【2022年新高考1卷】(多选)已知正方体ABCD-A B C D ，则( )
1 1 1 1
A．直线BC 与DA 所成的角为90° B．直线BC 与C A 所成的角为90°
1 1 1 1
C．直线BC 与平面BB D D所成的角为45°D．直线BC 与平面ABCD所成的角为45°
1 1 1 1
13．【2022年新高考2卷】(多选)如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，
FB∥ED,AB=ED=2FB，记三棱锥E-ACD，F-ABC，F-ACE的体积分别为
V ,V ,V ，则( )
1 2 3
A．V =2V B．V =V
3 2 3 1
C．V =V +V D．2V =3V
3 1 2 3 1
14．【2022年全国甲卷】小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒
如图所示：底面ABCD是边长为8(单位：cm)的正方形，
△EAB,△FBC,△GCD,△HDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂
直．(1)证明：EF//平面ABCD；
(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度)．
15．【2022年全国甲卷】在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面
ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=√3．
(1)证明：BD⊥PA；
(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．
16．【2022年全国乙卷】如图，四面体ABCD中，
AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC，E为AC的中点．
(1)证明：平面BED⊥平面ACD；
(2)设AB=BD=2,∠ACB=60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求三棱锥
F-ABC的体积．17．【2022年全国乙卷】如图，四面体ABCD中，
AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC，E为AC的中点．
(1)证明：平面BED⊥平面ACD；
(2)设AB=BD=2,∠ACB=60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面
ABD所成的角的正弦值．
18．【2022年新高考1卷】如图，直三棱柱ABC-A B C 的体积为4，△A BC的面积
1 1 1 1
为2√2．
(1)求A到平面A BC的距离；
1
(2)设D为A C的中点，A A =AB，平面A BC⊥平面ABB A ，求二面角A-BD-C的
1 1 1 1 1
正弦值．
19．【2022年新高考2卷】如图，PO是三棱锥P-ABC的高，PA=PB，AB⊥AC，E
是PB的中点．(1)证明：OE//平面PAC；
(2)若∠ABO=∠CBO=30°，PO=3，PA=5，求二面角C-AE-B的正弦值．
20．【2022年北京】如图，在三棱柱ABC-A B C 中，侧面BCC B 为正方形，平面
1 1 1 1 1
BCC B ⊥平面ABB A ，AB=BC=2，M，N分别为A B ，AC的中点．
1 1 1 1 1 1
(1)求证：MN∥平面BCC B ；
1 1
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的
正弦值．
条件①：AB⊥MN；
条件②：BM=MN．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
21．【2022年浙江】如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB//DC，DC//EF，
AB=5，DC=3，EF=1，∠BAD=∠CDE=60°，二面角F-DC-B的平面角为60°．
设M，N分别为AE,BC的中点．
(1)证明：FN⊥AD；
(2)求直线BM与平面ADE所成角的正弦值．1．(2022·全国·模拟预测)已知正方体中 ，E，G分别为 ， 的中点，
则直线 ，CE所成角的余弦值为( )
A． B． C． D．
2．(2022·全国·模拟预测(理))如图，在三棱台 中， 平面 ，
， ， ，则 与平面 所成的角为( )
A． B． C． D．
3．(2022·浙江湖州·模拟预测)如图，已知四边形 ， 是以 为斜边的等腰直
角三角形， 为等边三角形， ，将 沿对角线 翻折到 在翻折的
过程中，下列结论中不正确的是( )
A． B． 与 可能垂直
C．直线 与平面 所成角的最大值是 D．四面体 的体积的最大是4．(2022·河南安阳·模拟预测(理))已知球O的体积为 ，高为1的圆锥内接于球O，经过
圆锥顶点的平面 截球O和圆锥所得的截面面积分别为 ，若 ，则 ( )
A．2 B． C． D．
5．(2022·浙江·模拟预测)如图，矩形 所在平面与正方形 所在平面互相垂直，
，点P在线段 上，给出下列命题：
①存在点P，使得直线 平面
②存在点P，使得直线 平面
③直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围是
④三棱锥 的外接球被平面 所截取的截面面积是
其中所有真命题的序号是( )
A．①③ B．①④ C．②④ D．①③④
6．(2022·四川省泸县第二中学模拟预测(文))已知 是正方体 的中心O关
A B C D
1 1 1 1
于平面 的对称点，则下列说法中正确的是( )A． 与 是异面直线 B． 平面
C． D． 平面
7．(2022·北京·北大附中三模)已知平面 ，直线 和 ，则下列命题中正确的是( )
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
8．(2022·云南师大附中模拟预测(理))已知正方形 的边长为 ，将 沿对角线
折起，使得二面角 的大小为90°.若三棱锥 的四个顶点都在球 的球
面上， 为 边的中点， ， 分别为线段 ， 上的动点(不包括端点)，且
，当三棱锥 的体积最大时，过点 作球 的截面，则截面面积的最小
值为( )
A． B． C． D．
9．(2022·浙江·乐清市知临中学模拟预测)如图，正方体 的棱长为a，E是棱的动点，则下列说法正确的( )个．
①若E为 的中点，则直线 平面
②三棱锥 的体积为定值
③E为 的中点时，直线 与平面 所成的角正切值为
④过点 ，C，E的截面的面积的范围是
A．1 B．2 C．3 D．4
10．(2022·四川成都·模拟预测(理))如图， ABC为等腰直角三角形，斜边上的中线AD＝3，
△
E为线段BD中点，将 ABC沿AD折成大小为 的二面角，连接BC，形成四面体C－ABD，
△
若P是该四面体表面或内部一点，则下列说法错误的是( )
A．点P落在三棱锥E－ABC内部的概率为
B．若直线PE与平面ABC没有交点，则点P的轨迹与平面ADC的交线长度为
C．若点 在平面 上，且满足PA＝2PD，则点P的轨迹长度为
D．若点 在平面 上，且满足PA＝2PD，则线段 长度为定值11．(2022·全国·南京外国语学校模拟预测)如图，在三棱台 中， ，
， ，侧棱 平面 ，点 是棱 的中点．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值．
12．(2022·山东·德州市教育科学研究院三模)已知底面ABCD为菱形的直四棱柱，被平面
AEFG所截几何体如图所示.
(1)若 ，求证： ；
(2)若 ， ，三棱锥GACD的体积为 ，直线AF与底面ABCD所成角的
正切值为 ，求锐二面角 的余弦值.
A B C D
1 1 1 1
13．(2022·湖北·模拟预测)如图，四棱台 中，上底面 是边长为1的
菱形，下底面ABCD是边长为2的菱形， 平面ABCD且(1)求证：平面 平面 ；
(2)若直线AB与平面 所成角的正弦为 ，求棱台 的体积．
14．(2022·贵州·贵阳一中模拟预测(文))如图，四棱锥 中，平面
.M是CD中点，N是PB上一
点.
(1)若 求三棱锥 的体积；
(2)是否存在点N,使得 平面 ,若存在求PN的长；若不存在，请说明理由.
15．(2022·四川省泸县第二中学模拟预测(理))如图，四棱锥 中， ，
底面ABCD是正方形．且平面 平面ABCD， ．(1)若 ， ，F为AB的中点，N为BC的中点，证明四边形MENF为梯形；
(2)若点E为PC的中点，试判断在线段AB上是否存在一点F？使得二面角 平面
角为 ．若存在，求出 的值．若不存在，请说明理由．
