FY25暑假初一A7B3乘法公式（一）学生版_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_初一_志高_学生版PDF

B03 乘法公式（一） 考情链接 1. 本次任务由三个部分构成 （1）平方差公式 （2）完全平方公式 （3）平方差、完全平方公式计算综合 2. 考情分析 （1）主要考察一下几个方面平方差和完全平方公式的计算及其应用，常常在期中期末以计 算的形式进行考察。同时也会延伸出知二求二、 、凑完全平方等题型； （2）平方差公式、完全平方公式是特殊的乘法公式，它既是前面知识“多项式乘多项式” 的应用，也是后继知识因式分解、分式等的基础，对整个知识体系也起到了承上启下的作用， 在初中阶段占有很重要的地位. 1知识加油站1——平方差公式 知识笔记 1、平方差公式定义： 两数和与这两数差相乘，等于这两个数的平方差．________________________． （1）a、b可以表示数，也可以表示式子（单项式和多项式） （2）有些多项式相乘，表面上不能用公式，但通过适当变形后可以用公式： 2、平方差公式的特征： （1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项_______________，另一项互为 ________________． （2）右边是乘式中两项的_______________． 考点一：平方差公式的概念与几何意义 例题1: （1）（2022•闵行区期中）下列整式乘法能用平方差公式计算的是( ) A．(2ab)(a2b) B．(b2a)(2ab) C．(2ab)(2ab) D．(a2b)(2ba) （2）（2022•长宁区第三女子中学期中）下列两个多项式相乘，不能用平方差公式的是( ) A．(2a3b)(2a3b) B．(2a3b)(2a3b) C．(2a3b)(2a3b) D．(2a3b)(2a3b) 练习1: （1）在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是( ) 1 1 A．(2xy)(2yx) B．( x1)( x1) 2 2 C．(3xy)(3xy) D．(xy)(xy) （2）下列多项式的乘法中，能用平方差公式计算的是( ) 1 1 A．(x2)(2x) B．( ab)(b a) 2 2 C．(mn)(mn) D．(x2 y)(x y2) 2例题2: （2022•黄浦区期中）从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（如图1)，然后 将剩余部分剪拼成一个长方形（如图2)，上述操作能验证的等式是( ) A．(ab)2 a2 2abb2 B．(ab)2 a2 2abb2 C．a2 b2 (ab)(ab) D．a2 aba(ab) 练习2: （2020•普陀区期中）如图，边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，剩下部分 正好拼成一个等腰梯形，利用这两幅图形面积，能验证怎样的数学公式？( ) A．a2 b2 (ab)(ab) B．(ab)2 (ab)2 4ab C．(ab)2 a2 2abb2 D．(ab)2 a2 2abb2 考点二：平方差公式的应用 例题3: 完成以下计算： 第一组： （1）（2022•宝山区罗南中学月考）(x3y)(x3y) ． （2）（2022•黄浦区期中）计算：(2ab)(b2a) ． 1 1 （3）（2022•宝山区实验学校期中）计算：(a )(a ) ． 4 4 3第二组： （1）（2022•长宁区天山二中期中）计算：(12a)(12a)(14a2) ． （2）计算：(2x1)(2x1)(4x2 1) ． 练习3: 完成以下计算： 第一组： 1 11 1 （1） 3x53x5 ； （2） x  x ； （3） 2x y2xy ． 2 32 3 第二组： (1a)(a1)(a2 1)(a4 1) 例题4: （1）（2023•闵行区校级月考）(5x3y)( )9y2 25x2． （2）（2021•徐汇区校级月考）已知(xay)(xay)x2 16y2，那么a ． 练习4: （1）若M(3X Y2)Y4 9X2，那么代数式M 应该是( ) A．(3X Y2) B．Y2 3X C．3X Y2 D．3X Y2 （2）(a2 b) a4 b2． 4例题5: 简便运算： （1）（2022•闵行区期中）50.249.8． （2）（2022•静安区市西中学期中）198202． 2 1 （3）（2021•嘉定区期中）49 50 ． 3 3 练习5: 简便运算： （1）99.8100.2； （2）12342 12351233； 5知识加油站2——完全平方公式 知识笔记 1、完全平方公式定义 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍． ab2 _______________________. ab2 _______________________. 2、完全平方公式的特征 （1）左边是两个____________________相乘； （2）右边是__________，是左边两项的__________，加上（这两项相加时）或减去（这两 项相减时）这两项_______________倍； （3）公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等代数式． 考点三：完全平方公式的概念与几何意义 例题6: （1）下列各式中，能用完全平方公式计算的是( ) A．(xy)(xy) B．(xy)(xy) C．(xy)(xy) D．(xy)(xy) （2）下列各式中，能用完全平方公式计算的是( ) A．(ab)(ba) B．(n2 m2)(m2 n2) 1 1 C．( pq)(q p) D．(2x3y)(2x3y) 2 2 练习6: （1）下列多项式中，能用完全平方公式计算的是( ) A．(a1)(a1) B．(ab)(ba) C．(ab)(ab) D．(ab)(ab) （2）下列公式不能用完全平方公式计算的是( ) A．(2x y)(2x y) B．(2x y)(2x y) C．(2x y)(2x y) D．(2x y)(2x y) 6例题7: （2021•奉贤区期中）图（1）是一个长为2a，宽为2b(ab)的长方形，用剪刀沿图中虚线 （对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一 个正方形，则中间空余的部分的面积是( ) A．ab B．(ab)2 C．(ab)2 D．a2 b2 练习7: 我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒 等式．例如图甲可以用来解释ab2 ab2 4ab．那么通过图乙面积的计算，验证了 一个恒等式，此等式是（ ） A．a2 b2 abab B．aba2ba2ab2b2 C．ab2 a2 2abb2 D．ab2 a2 2abb2 考点四：完全平方公式的应用 例题8: 完成以下三组计算： 第一组： （1）3x92 = ． （2）（2020•普陀区期末）计算：(2xy)2  ． （3）（2021•普陀区长征中学月考）(a2b)2  ． 7第二组： （1）  9a2 16b23a4b3a4b； 1 1 1 1 1 1  （2）（2） a b a b a2  b2 ． 3 2 3 2 9 4  第三组： （1）（2022•黄浦区期中）计算：(ab2c)2  ． （2）（2022•静安区教育学院附属学校期中）计算：(a2b3c)2  ． （3） x y22xy ． 练习8: 完成以下三组计算： 第一组： 1 1 1 （1）(4x y)2； （2）(3yx)2； （3）( a3b)(3b a)． 2 2 2 第二组： （1）2a32a3 4a2 9  ； 81 1 1 1 1 1  （2） a b a b a2 b2  ． 2 5 2 5 4 25  第三组： （1）计算：(xy1)2． （2）计算：(x2y1)2． 例题9: 简便计算： （1）99.82； （2）20052． 练习9: 简便计算： 2  1 （1）30  ；  3 （2）5012 10024984982． 9知识加油站3——平方差、完全平方公式计算综合 考点五：平方差公式和完全平方公式的综合计算 例题10: （1）（2021•宝山区期末）计算：(x2y3)(x2y3)． （2）（2021•宝山区期末）计算：(a4)(a4)(2a)(a2)． （3）化简：(2x3y)(2x3y)(2xy)2． （4）（2022•嘉定区育才中学期末）计算：(2x y)2 y(y4x)(2x)2． （5）（2022•黄浦区期中）计算：(x1)(x1)(1x2)． 10练习10: 计算： （1）计算：(2xy1)(2xy1) （2）(2xy)2 x(x y)2xy． （3）（2020•浦东新区期末）a(a4)(a2)2． （4）（2020•松江区期末）(x2y)(x3y)(xy)2． （5）（2020•浦东新区期中）(x yz)(x yz)(x yz)2． 11例题11: （2023•闵行区校级月考）如图，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b．如图1，小正 方形摆放在边长为的内部右上角，其未叠合部分（阴影）的面积为S ；如图2，若再在图1 1 中大正方形的右下角摆放小正方形，两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S ；如图3，在 2 大正方形的外部左下角摆放小正方形，形成阴影部分的面积为S ． 3 （1）用含a，b的代数式分别表示S 、S ； 1 2 （2）若ab10，ab20，求S S 的值； 1 2 （3）当S S 30时，求S 的值． 1 2 3 12练习11: 我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观的形象，能有效地表现一些代数中的数量 关系，而运用代数思想也能巧妙的解决一些图形问题． 在一节数学课上，张老师准备了1张甲种纸片，1张乙种纸片，2张丙种纸片，如图1所示， 甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x 的长方形．她将这些纸片拼成了如图2所示的一个大正方形． 【理解应用】 （1）图2中的大正方形的边长为 ； （2）观察图2，用两种不同方式表示大正方形的面积，可得到一个等式，请你直接写出这 个等式 ； 【拓展应用】 （3）利用（2）中的等式计算： ①已知a2 b2 10，ab6，求ab的值； ②已知(2021a)(a2019)2020，求(2021a)2 (a2019)2的值． 13全真战场 关卡一 练习1: （1）下列代数式中能用平方差公式计算的是( ) A．(xy)(xy) B．(2xy)(y2x) 1 1 C．(x y)(y x) D．(xy)(yx) 2 2 （2）下列各式中，能用完全平方公式计算的是( ) A．(2m3n)(2m3n) B．(2m3n)(2m3n) C．(2m3n)(2m3n) D．(2m3n)(3m2n) 练习2: 如图，能根据图形中的面积说明的乘法公式是( ) A．(ab)(ab)a2 b2 B．(ab)2 a2 2abb2 C．(ab)2 a2 2abb2 D．(x p)(xq)x2 (pq)x pq 练习3: 计算： （1）计算：(a5b)(a5b)(a2b)2． （2）（2020•浦东新区期中）计算：(x3)(x3)(2x)2． 14（2）（2020•浦东新区期中）计算：(2a3b)2 (3a2b)2． （3）计算：3(2x1)2 (3x4)(3x4)． 练习4: 用简便方法计算： 3 1 （1）403397； （2）29 30 ； 4 4 （3）9910110001； （4）492 522． 15关卡二 练习5: 计算：12 122 124   122n 1（n是正整数）． 练习6: 我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如下图），此图揭示 了(ab)n(n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律． 例如： (ab)0 1，它只有一项，系数为1； (ab)1 ab，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2； (ab)2 a2 2abb2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4； (ab)3 a3 3a2b3ab2 b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；  根据以上规律，解答下列问题： （1）(ab)4展开式共有_______项，系数分别为_______； （2）(ab)n展开式共有_______项，系数和为_______． 16