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专题16 函数求参问题
专项突破一 定义域、值域求参
1．已知函数 的值域为 ，求a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】当 时， 的值域为 ，符合题意；
当 时，要使 的值域为 ，则使 .
综上， .故答案选A
2．已知函数 的值域为 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】 时， ，
又 的值域为 ，则 时， 的值域包含 ，
，解得： .故选：B
3．已知函数 ，若 的值域为 ，则实数a的取值范围是（ ）
A．2 B．(－∞，2] C．(－∞，2) D．(0,2]
【解析】当 时，
若 时， ；
若 时， 的最大值 ，才能满足 的值域为 ，解得 ；
当 时，若 时， ；若 时， ，不符合题意．故选：D．
4．已知 的值域为 ，则实数 （ ）
A．4或0 B．4或 C．0或 D．2或
【解析】由 ，
由 ，可得 ，或 ，或 ，
它的定义域为 ，值域为 ，
若 ，则 ，则函数的值域为 ，不满足条件.
若 ，则根据函数的定义域为 ，
此时，函数 的零点为 ， ，
若 ，当 时， 不满足题意.
若 ，当 时， 不满足题意.
所以 ，求得 ；
若 ，则函数的定义域为 ， ，此时函数 的零点为 ， ，
同理可得 ，所以 .综上 ，或 ，故选：B.
5．(多选)若函数 的值域为 ，则 的可能取值为( )
A． B．0 C． D．
【解析】①a＝0时， ，值域为 ，满足题意；②a≠0时，若 的值域为 ，则 ；
综上， .故选：BCD.
6．(多选)定义 ，若函数 ，且 在区间 上的
值域为 ，则区间 长度可以是（ ）
A． B． C． D．1
【解析】依题意知， 先作图 和 ，由
知，只取交点 和 下方部分，故函数 的图像如下:
又结合图像计算可知， ，
要使 在区间 上的值域为 ，
可得 ， ，所以 最大值为 ，最小值是 ，
即 的取值范围为 .AD正确，BC错误.故选: AD.
7．已知函数 是定义在 的奇函数，则实数 的值为_____；若函数 ，
如果对于 ， ，使得 ，则实数 的取值范围是_____________.【解析】 是定义在 上的奇函数， ；
当 时， ，则 ，满足 为奇函数，
；当 时， ；
当 时， ；
又 ， 的值域为 ；
为开口方向向下，对称轴为 的二次函数，
当 时， ，
对于 ， ，使得 ，则 ，解得： ，
实数 的取值范围为 .
8．函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围为___________.
【解析】由题意得： 的解集为 ，即 的解集为 ，故 为增函数，所以
9．已知函数 在 上有意义，则实数m的范围是____________．
【解析】要使函数有意义，则 （ ），解得 ，所以函数的定义域为 ，
所以 ，所以 ，解得 ，所以实数m的范围是 .
10．函数 的定义域为 ，若 ，则 的取值范围是__________．【解析】由于 ，所以 解得 或 .
所以 的取值范围是 .
11．若函数 的定义域为 ，则实数 的范围是________．
【解析】因为函数 的定义域为 ，即 恒成立，当 时 显然
成立，当 时，则 ，解得 ，综上可得 ，即
12．函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围为______.
【解析】 的定义域为 是使 在实数集 上恒成立.
若 时， 恒成立，所以 满足题意，
若 时,要使 恒成立,则有 ,解得 .
综上,即实数a的取值范围是 .
13．设函数 ，若 的定义域为 ，则实数 的取值范围_________．
【解析】因为 ，
又 的定义域为 ，所以 的解集为 ，因为 ，所以 .
14．若函数 在 （ ）上的值域为 ，则 __________．
【解析】由 , , ,
则函数 在 上为减函数,又函数在 上为减函数,且值域为
,且 ,解得： . .
15．已知函数 ，若 在区间 上的值域为 ，则 的一个可能的值为
______．
【解析】作出函数 的图象如下图所示：
由图可知，若函数 在区间 上的值域为 ，则 ， ，
所以， .故答案为： （ 内的任意一个实数）.
16．设函数 ，若 ，则实数 的取值范围是________.
【解析】作出函数 的图像如图：
由 ，结合图像可得： ，
当 时，由 显然满足 ；
当 时，由 ，解得 ，所以 ；
综上 .17．函数 的定义域 上的值域为 ，则t的可取范围为______.
【解析】函数 的对称轴为 ，当 时， ，
当 时， 为增函数，可得当 时， ，可得 ，解得： ，
故要使 的定义域 上的值域为 ，t的可取范围为
18．已知函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是________．
【解析】要使函数 的值域为
则 的值域包含
①当 即 时， 值域为 包含 ，故符合条件
②当 时
综上，实数 的取值范围是
19．已知函数 的定义域为 ，值域为 ，则实数k的取值范围为_________．
【解析】因为定义域为 ，所以 ，则 ，
又 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
又函数值域是 ，所以 ，即 ，
综上： ．
20．(1)已知函数 的定义域为 ，求实数 的取值范围.
(2)已知函数 ，若函数 的定义域为 ， 求实数 的取值范围.
【解析】因为 的定义域为 ，所以 恒成立，
所以 ，即 ，所以实数 的取值范围为 .(2)依题意知， 对一切 恒成立.
当 时, ,解得 或 ;
当 时， .当 ，则 ，满足题意,若 ，则 ，不合题意.,
所以实数 的取值范围是 .
专项突破二 函数性质求参
1．已知函数 ，满足对任意的实数 ，都有 成立，则实数 的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题可知：任意的实数 ，都有 成立
所以函数 为 上的增函数，所以 ，得到 ，即 ,故选：C
2．已知定义在 上的奇函数 ，当 时， ，则 的值为（ ）
A． B．8 C． D．24
【解析】由题意，定义在 上的奇函数 ，可得 ，解得 ，
又由当 时 ，所以 ，故选：A.
3．已知函数 为偶函数，则 （ ）
A． B． C． D．
【解析】由已知得，当 时，则 ，即 ， ，∵ 为偶函数，∴ ，即 ，
∴ ， ，∴ ，故选： .
4．设函数 的图象关于直线 对称，则 的值为( )
A． B． C． D．
【解析】因为函数 的图象关于直线 对称，所以点 与点 ，
关于直线 对称， ，故选D.
5．若函数 在区间 上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由 求导得 ，由题意知
对 恒成立，即 对 恒成立，又当 时，
，所以 ，故选:D
解析2.（特殊值法）
先取 得 在区间 上单调递减，所以 适合题意，所以排除选项A、选项C
再取 ，则 ，则 与 均在区间 上单调递减，
所以 在区间 上单调递减，所以 适合题意，所以排除选项B．故选:D
6．已知函数 的图象关于点 对称，则（ ）
A． B．C． D．
【解析】由题意，函数 ，
根据函数的图象变换，可得函数 关于 中心对称，
又由函数 的图象关于点 对称，可得 且 ，解得 .故选：B.
7．已知函数 ， ，且 ，则下列结论中，一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由图示可知 时， 的符号不确定， ，故AB错；
, , 即 ，故 ，故D正确，
又 ，所以 ，即 ,
所以 ，即 ，所以 ，故C不正确.
故选：D
8．已知函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】函数 定义域为 ， ，
因 在 ， 上单调，则函数 在 ， 上单调，而函数 在区间上单调递减，必有函数 在 上单调递减，而 在 上递增，则
在 上递减，于是得 ，解得 ，
由 ， 有意义得： ，解得 ，因此， ，
所以实数 的取值范围是 .故选：C
9．已知函数 的图象关于点 对称，则 （ ）
A． B． C． D．
【解析】 图象关于点 对称， ，
又 ，
，
，解得： ， .故选：C.
10．函数 在区间 上具有单调性，则m的取值范围为_______.
【解析】二次函数 的对称轴为 ，因函数 在区间 上具有单调性，
所以 或
11．已知函数 为奇函数，则 ______．
【解析】函数 为奇函数，其定义域为
由 ，解得 或
当 时， ，则 ，满足条件.当 时， ，则 ，满足条件.
故答案为：2或
12．若函数 是定义在 上的偶函数，则 _____．
【解析】由题意得： ，解得： ，又因为 为偶函数，所以
，即 ，解得： ，所以 .
13．已知函数 对于 且 ，都有 ，则 的
取值范围为 ______．
【解析】由题意可知， 在 上为单调增函数，要使 在 上单调递增，则 ，即
，要使 在 上单调递增，则 ，同时 ，解得： ，
综上可知： .
14．已知 在 上为增函数，则 的取值范围______.
【解析】 ， ，令 ，且 ，
在 上为增函数， 在 上为增函数，
， 或 ， 的取值范围 或 .
故答案为：
15．已知函数 是定义在R上的奇函数，当 时， ，且 ，则
=___________
【解析】因为函数 是定义在R上的奇函数，且 ，所以 ，又 ，所以 ，即 .
16．已知函数 是偶函数，则 ______.
【解析】因为 是奇函数， 是偶函数，所以 是奇函数，
即 ，
恒成立，所以 ，所以 .
17．规定记号" "表示一种运算，即 ，若 ，函数 的图象
关于直线 对称，则 ___________.
【解析】由题意可得： ， ，
则函数 有四个零点，从大到小依次是 ， ， ， ，
因为函数 的图象关于直线 对称，
所以 与 关于直线 对称， 与 关于直线 对称，
所以 ，解得
18．已知函数 （ ，且 ）在区间 上单调递增，则 的取值范围
______.
【解析】函数 是由 和 复合而成，
当 时 单调递增，
若函数 （ ，且 ）在区间 上单调递增，则 在 上单调递增，且 在 上恒成立，
的对称轴为 ,所以 解得： ，
当 时 单调递减，
若函数 （ ，且 ）在区间 上单调递增，
则 在 上单调递减，且 在区间 上恒成立，
的对称轴为 ,所以 解得： ，
综上所述：a的取值范围是
19．已知函数 为 上的偶函数，则实数 ___________.
【解析】 .
因为函数 为 上的偶函数，
所以 ，即 对任意
恒成立，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，解得：a=1.经检验，a=1时函数 为 上的偶函数，符合题意.
所以a=1.
20．已知函数 ， ，其中
(1)若函数 是偶函数，求实数a的值；
(2)若函数 在 上具有单调性，求实数a的取值范围；
(3)当a＝1时，若在区间 上，函数 的图象恒在函数 的图象上方，试确定实数k的取值
范围．
【解析】(1)∵ 的定义域是R，若 是偶函数，则 ，有 ，
∴ ，即 ，有 ，∴ ；
(2)∵ 图象开口向上，对称轴 ，
若函数 在 上具有单调性，则 在 上单调递增或单调递减，即 或 ，
∴实数a的取值范围为 ；
(3)当a＝1时， ，
依题意得 即 ，在 上恒成立,∴ 恒成立,
令 ,则 ，∴ =1
实数k的取值范围为 .
21．已知 是定义在R上的函数，且 ，当 时， ，
(1)求函数 的解析式；
(2)当 时， ，当 时 ， 在R上单调递减，求m的
取值范围；(3)是否存在正实数 ，当 时， 且 的值域为 ，若存在，求出 ，若不
存在，说明理由．
【解析】(1)由题意，任取 ，则 ，故有 ，
因为 是定义在R上的函数，且 ，即函数 是定义在R上的奇函数，
时， ，又 时， ，即 ，
所以 ．
(2)当 时， ，在 单调递减，
又当 时， ，且 在R上单调递减，
所以 ，解得 ，即m的取值范围为 .
(3)当 时， ，
若存在这样的正数a,b，则当 ，故 ，
在 内单调递减，
所以 是方程 的两个正根， ，
，故存在正数 满足题意.
22．已知定义域为 的函数 是奇函数.
(1)求函数 的解析式；
(2)若 恒成立，求实数 的取值范围.【解析】(1)因为函数 是奇函数，所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，可得 ，所以函数 ．
(2)由（1）知 ，所以 在 上单调递减，
由 ，得 ，
因为函数 是奇函数，所以 ，所以 ，
整理得 ，设 ， ，则 ，
当 时， 有最大值，最大值为 ，所以 ，解得 ，
即实数 的取值范围是 ， ．
23．已知函数 ，若 是定义在R上的奇函数．
(1)求a的值；
(2)判断并证明函数的单调性；
(3)若对任意 ，关于 的不等式 恒成立，求t的取值范围．
【解析】(1)∵ 是定义在R上的奇函数，∴ ，∴ ，解得a＝1，
当a＝1时， ，∴a＝1．
(2)∵ ，由复合函数的单调性易知 在 单调递减，
又∵ 是定义在R上的奇函数，∴ 的图像关于原点对称，
∴ 在R上单调递减．
证法一：令 ，易知 恒成立，则 ．设 ， ，且 ，则
，
∵ ，∴ ，又∵ ， ，
∴ ，∴
∴ ，∴ ，即
又∵ ，∴ 在R上单调递减．
又∵ 在 上单调递增， ，∴ 在R上单调递减．
证法二：设 ， ，且 ，
又∵ ， ，∴
∴ ，即 ，∵ ，∴ 在 上单调递减
又∵ 是定义在R上的奇函数，∴ 在R上单调递减．
(3)∵ 是定义在R上的奇函数且在R上单调递减．
∴ 对任意 恒成立
即 ，∴ 对在意 恒成立令 ，则 ，
∴ ，∴t的取值范围为 ．
专项突破三 基本初等函数求参
1．已知函数 满足对任意的实数 ，且 ，都有
成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】因为对任意的实数 ，且 ，都有 成立，
所以，对任意的实数 ，且 ， ，即函数 是 上的减函数．
因为 ，令 ， ，
要使 在 上单调递减，
所以， 在 上单调递增．另一方面，函数 为减函数，所以， ，解得 ，所以实数a的取值范围是 ．故选：D．
2．若函数 的定义域和值域的交集为空集，则正数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】因为 ，所以 的定义域为 ， ，
当 时 ，则 在 上单调递增，所以 ；
要使定义域和值域的交集为空集，显然 ，
当 时 ，
若 则 ，此时显然不满足定义域和值域的交集为空集，
若 时 在 上单调递减，此时 ，
则 ，所以 ，解得 ，即 ,故选：B
3．设函数 ，若 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】（1）当 时， ，对称轴为 ，
①若 ，即 时， ，由 恒成立，得 ，
所以 ，恒成立，所以 ，
②若 ，即 时， ，
由 恒成立，得 ，
所以 ，得 （舍去），所以
（2）当 时， ，单调递增，
由 恒成立， ，解得 ，
综上所述， ，实数 的取值范围为 ，故选：C．
4．若函数 的值域为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】当 时， ,
当 时， ,要使 的值域为 ,
则 ， ,故选：C
5．若函数 有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．【解析】依题意 且 ，所以 ，解得 或 ，
综上可得 ，
令 的根为 、 且 ， ， ，
若 ，则 在定义域上单调递增， 在 上单调递增，在
上单调递减，根据复合函数的单调性可知， 在 上单调递增，在
上单调递减，函数不存在最小值，故舍去；
若 ，则 在定义域上单调递减， 在 上单调递增，在
上单调递减，
根据复合函数的单调性可知， 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以函数在 取得最小值，所以 ；故选：A
6．已知函数 在区间 上不是单调函数，且 ，则 的取值范围是
__________.
【解析】函数 的对称轴为 ，
因为函数 在区间 上不是单调函数，
所以 ，即 ，又 ，则 ，
所以 或 ，所以 .7．若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是__________.
【解析】当 时，函数 在R上单调递增，即 在 上递增，则 ，
当 时，函数 是二次函数，又 在 上单调递增，由二次函数性质知， ，
则有 ，解得 ，所以实数 的取值范围是 .
8．设 ，若 是 的最小值，则 的取值范围为______．
【解析】当 时， ，
任设 ，则 ，
当 时， ， ，所以 ，所以 ，
当 时， ， ，所以 ，所以 ，
所以 在 上递减，在 上递增，
所以当 时， 取得最小值为 ，
又因为 是 的最小值，所以 且 ，解得 .
9．若关于 的方程 有负根，则实数 的取值范围是__________.
【解析】要使得方程 有负根，根据指数函数的性质得 ，解得
10．已知 （其中 且 为常数）有两个零点，则实数 的取值范围是
___________.
【解析】设 ，由 有两个零点，即方程 有两个正解，所以 ，解得 ，即 ，
11．函数 满足对任意 ，都有 成立，则a的取值范围是
______.
【解析】对任意x≠x，都有 成立，说明函数y＝f(x)在R上是减函数，
1 2
则 ，解得 .
12．已知函数 在 上恒正，则实数 的取值范围是__________．
【解析】①当 时， ，此时 定义域为 ，不合题意；
②当 时，令 ，其对称轴为 ，
在 上单调递减， 在 上单调递减，
，即 ，解得： （舍）；
③当 时，令 ，其对称轴为 ；
⑴若 ，即 时， 在 上单调递增， 在 上单调递增，
，即 ，解得： ；
⑵若 ，即 时， 在 上单调递减， 在 上单调递减，
，即 ，解得： （舍）；
⑶若 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
，即 ，解得： （舍）；
综上所述：实数 的取值范围为 .
13．若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是___________.
【解析】 函数 在 上单调递增，
所以 ，解得 ，即
14．已知f（x）＝ 在区间[2，＋∞）上为减函数，则实数a的取值范围是________．
【解析】二次函数 的对称轴为x＝ ，
由已知，应有 ≤2，且满足当x≥2时y＝x2－ax＋3a>0，
即 解得－4
