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专题 24 排列组合与二项式定理
一、单选题
1．（2024届贵州省贵阳市六校高三上学期联合考试）贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛在黔东南
苗族侗族自治州台江县台盘村开赛.该联赛由台盘村“六月六”吃新节篮球赛发展演变而来，被网友称为
“村BA”.村BA给全国人民展现的不仅是贵州人热爱生活的精神，更展现了如今欣欣向荣的贵州山水人文，
同时给贵州的旅游带来巨大的收益.2023年8月20日晚上村BA西南大区赛总决赛落下帷幕，为庆祝比赛
顺利结束，主办方设置一场扣篮表演，分别由重庆、贵州、四川、云南代表队每队各选出2名球员参加扣
篮表演，贵州队作为东道主，扣篮表演必须在第一位及最后一位，那么一共有（ ）种表演顺序.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意易知，一共有8个人需要排列.先确定贵州两名球员的顺序为 ，在确定其余6人顺序为
，由分步乘法原理可得一共有 种顺序.故选C.
2．（2024届皖豫名校联盟高中毕业班高三上学期10月大联考）已知 的展开式中唯有第5
项的系数最大，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 的展开式的通项为 ，
由题可知 ，解得 ．故选A
3．（2024届广西桂林市等3地高三上学期联合检测） 的展开式中， 的系数为（ ）
A． B．60 C． D．120【答案】D
【解析】因为
，所以
的展开式通项为 ，令 ，得 ，则 的系数为
．故选D
4．（2024届贵州省高三适应性联考）为进一步在全市掀起全民健身热潮，兴义市于9月10日在万峰林举
办半程马拉松比赛.已知本次比赛设有4个服务点，现将6名志愿者分配到4个服务点，要求每位志愿者都
要到一个服务点服务，每个服务点都要安排志愿者，且最后一个服务点至少安排2名志愿者，有（ ）种
分配方式
A．540 B．660 C．980 D．1200
【答案】B
【解析】由题知可按照最后一个服务区有2名志愿者和3名志愿者进行分配，
① ，有 ；② ，有 ，
共有 （种）.故选B.
5．（2024届浙江省名校协作体高三上学期联考）某市抽调5位老师分赴3所山区学校支教，要求每位老
师只能去一所学校，每所学校至少安排一位老师．由于工作需要，甲、乙两位老师必须安排在不同的学校，
则不同的分派方法的种数是（ ）
A．124 B．246 C．114 D．108
【答案】C
【解析】设学校为 ，先把甲乙两人安排到不同学校，有 种，不妨设甲在A，乙在B，只需剩
余3人至少有1人去C即可，利用间接法计算，有 种不同安排方法，根据分步乘法计数原理可
知，共有 种不同安排方法.故选C6．（2024届浙江省A9协作体高三上学期联考）如图，一只青蛙开始时位于数轴上原点的位置，每次向数
轴的左侧或右侧随机跳跃一个单位，记 为第 次跳跃后对应数轴上的数字（ ， ），则
满足 ， 的跳跃方法有多少种（ ）
A．336 B．448 C．315 D．420
【答案】B
【解析】因为 ，所以 或 .当 ， 时，前 次向左跳跃 次，向右跳跃 次，
后 次向右跳跃 次，所以有 种；当 ， 时，前 次向右跳跃 次，向左跳跃 次，后
次向左跳跃 次，向右跳跃 次，所以有 种.综上所述：满足 ， 的跳跃
方法有 种.故选B
7．（2023届北京市第二中学高三校模）“省刻度尺”问题由英国数学游戏大师杜登尼提出：一根 长
的尺子，要能够量出长度为 到 且边长为整数的物体，至少需要6个刻度（尺子头尾不用刻）．现
有一根 的尺子，要能够一次量出长度为 到 且边长为整数的物体，尺子上至少需要有（ ）个
刻度
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】若有一根 的尺子，量出长度为 到 且为整数的物体，
则当尺子有3个刻度时满足条件
设 为长度， 为每段长度， 为刻度对应的数量，则有 且 ，其中
，
当 时，下证，当尺子有2个刻度时不能量出 的物体长度
设 且 ，其中 ，
所以当 中有1个0，x的取值至多有3个
当 中有2个0时， 或 ，x的取值至多有2个
当 中没有0时，x的取值有1个
所以x取值至多有6个，即当尺子有2个刻度时不能量出 的物体长度．故选A
8．（2024届陕西省西安市高三上学期10月模拟）五岳是中国汉文化中五大名山的总称，分别为东岳泰山、
西岳华山、中岳嵩山、北岳恒山、南岳衡山.某旅游博主为领略五岳之美，决定用两个月的时间游览完五岳，
且每个月只游览五岳中的两大名山或三大名山（五岳只游览一次），则恰好在同一个月游览华山和恒山的
概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，确定一个月的游览方案，则另一个月游览其余名山即可.
该旅游博主游览五岳可分两类方法：
第一类，第一个月游览两大名山，从五大名山中任选两大名山，有 种方法；
第二类，第一个月游览三大名山，从五大名山中任选三大名山，有 种方法；
由分类计数原理可得，共有 种方法.
设 “该旅游博主恰好在同一个月游览华山和恒山”，可分两步完成这件事：
第一步，从两个月中选一个月游览华山和恒山，有 种方法；
第二步，确定游览华山和恒山的这个月的游览方案，分为两类：
若该月只游览两大名山，则只有 种方法；若该月浏览三大名山，则再从其余三大山中任取一大山游览，有 种方法，
则第二步共有 种方法；
由分步计数原理，则完成事件 共有 种方法.
由古典概型概率公式得 .故选C.
9．（2024届广东省东莞外国语学校高三上学期月考） 的展开式中， 的系数为（ ）
A．80 B．60 C． D．
【答案】D
【解析】 ，则其展开式通项 ，
令 ，则 的展开式中含 的项为 ，
所以 的系数为 ，故选D．
10．（2024届重庆市第一中学高三上学期开学考试）已知 为
中不同数字的种类，如 ，记“ ”为事件 ，则事
件 发生的概率 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知， 的排列共有 种.当 时，即排列中有2个不同的数字：
若有3个数字相同，有 种情况；若有2个数字相同，有 种情况，此时共有
种情况，所以事件A的概率为： .故选B.
11．（2023届安徽省定远中学高三下学期6月高考预测）小林同学喜欢吃4种坚果：核桃､腰果､杏仁､榛子，他有5种颜色的“每日坚果”袋.每个袋子中至少装1种坚果，至多装4种坚果.小林同学希望五个袋子
中所装坚果种类各不相同，且每一种坚果在袋子中出现的总次数均为偶数，那么不同的方案数为（ ）
A．20160 B．20220 C．20280 D．20340
【答案】A
【解析】依次记核桃、腰果、杏仁、榛子为H，Y，X，Z，则每个字母出现2次或4次，分类计算分堆可能：
（1）H，H；Y，Y；X，X；Z，Z.
若是“8=4+1+1+1+1”，则其中的“4”必须是HYXZ，故1种可能；
若是“8=3+2+1+1+1”，则考虑（HYX）（Z※）（※）（※），故有 种可能；
若是“8=1+1+2+2+2”，则考虑（Z）（X）（Z※）（X※）（※※），故有 种可能；
小计：1+12+12=25；
（2）诸如“H，H，H，H；Y，Y；X，X；Z，Z”类型
若是“10=4+3+1+1+1”，则四个H无论怎么安排，都会出现某两个袋仅放H，故0种可能；
若是“10=4+2+2+1+1”，则“1+1”中有一个是H，“4+2+2”中各一个H，“2+2”中除了一个H外，另一个
互异，故有 种可能；
若是“10=3+3+2+1+1”，则“1+1”中各有1个H，“3+3+2”中各一个H，可以考虑含※模式，（H※※）
（H※※）（H※）（※）（H），故有 种可能；
若是“10=3+2+2+2+1”，则可用下表进一步分类，有1+ 种可能；
YXZ H※ H※ H※ H
H※ H※ H※ ※
H※※
H※ H※ ※※ H
若是“10=2+2+2+2+2”，则四个H至少有两个出现搭配相同，故0种可能；
小计： ；
（3）诸如“H，H，H，H；Y，Y，Y，Y；X，X；Z，Z”类型
若是“12=4+4+2+1+1”，则“4+4”必然重复，故0种可能；
若是“12=4+3+3+1+1”，则枚举“3+3”的情况，发现仅（HYXZ）（HYZ）（HYX）（Z）（X）可能；若是“12=4+3+2+2+1”，则考虑（HYXZ）（HY※）（※※）（※※）（※）或（HYXZ）（XZ※）
（※※）（※※）（※），故有 种可能；
若是“12=3+3+3+2+1”，则有（HYX）（HYZ）（ZXH）（HY）（Y）或（HYX）（HYZ）（ZXY）（HY）
（H）都成立，有2种可能；
若是“12=3+3+2+2+2”，则枚举“3+3”的情况，发现（HYX）（HYZ）（HY）（H※）（Y※），有2种可
能.
小计 ；
诸如“H，H，H，H；Y，Y，Y，Y；X，X，X，X；Z，Z”类型
若是“14=4+4+*+*+*”，则“4+4”必然重复，故0种可能；
若是“14=4+3+3+3+1”，则“4+3+3+3”中至少有3个Z，故0种可能；
若是“14=4+3+3+2+2”，则“4+3+3”至少有2个Z，考虑（HYXZ）（HYX）（Z※※）（※※）（※※），
其中Z※※有 种可能，故此小类有3种可能；
若是“14=3+3+3+3+2”，则“3+3+3+3”中至少有3个Z，故0种可能；
小计 ；
（5）“H，H，H，H；Y，Y，Y，Y；X，X，X，X；Z，Z，Z，Z”
只有“16=4+3+3+3+3”的搭配，有1种可能；
综上：共有25+76+54+12+1=168个分堆可能，故不同的方案数为 = 种.故选A
12．已知 ， ，其中 为 展开式中 项系数，
，则下列说法不正确的有（ ）
A． ，
B．
C．D． 是 ， ， ，…， 是最大值
【答案】B
【解析】由题意知，三项式系数塔与杨辉三角构造相似，其第二行为三个数，且下行对应的数是上一行三
个数之和，当 时，
故 ， 是 ， ， ，…， 的中间项，故 最大，所以A，D正确；令 可知：
；
当 时， ， ，
， ，所以 ，所以B不正确；
令 可知， ，即 ；
又因为 .故 ，C正确.故选B.
二、多选题
13．（2024届河北省新乐市第一中学高三上学期月考）若 ，则
下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】由 ，对于A中，令 ，可得 ，所以A正确；对于B中，由二项式 展开式的通项为 ，
令 ，可得 ，所以B错误；对于C中，由展开式的通项 知：当
时，可得展开式的系数为正值，当 时，可得展开式的系数为负值；所以
，
令 ，可得 ，
即 ，所以C正确；
对于D中，由 ，
两边求导数，可得 ，
令 ，可得 ，
又由 ，所以 ，所以D错误.故选AC.
14．（2024届重庆市巴蜀中学高三上学期适应性月考）在二项式 的展开式中，下列说法正确的是
（ ）
A．第6项的二项式系数最大 B．第6项的系数最大
C．所有项的二项式系数之和为 D．所有项的系数之和为1
【答案】ACD
【解析】通项公式为 ， ，
其二项式系数为 ，二项式 的展开式共 项，中间项的二项式系数最大，
故第6项的二项式系数 是最大的，故A正确；二项式系数和为 ，所以C正确；
令 得所有项的系数和为1，故D正确；因为展开式中第六项的系数为负数，所以第六项的系数不可能
为最大，故B选项错误，故选ACD.
15．某校高二年级安排甲､乙､丙三名同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每名同学只能选择一个社区进行实践活动，且多名同学可以选择同一个社区进行实践活动，则下列说法正确的有（
）
A．如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种
B．如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有50种
C．如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有60种
D．如果甲､乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种
【答案】AC
【解析】对于A，如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有 （种），故A正确；
对于B，如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有 （种），故B错误；
对于C，如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有 （种），故C正确；
对于D，甲､乙两名同学必须在同一个社区，第一步，将甲､乙视作一个整体，第二步，两个整体挑选社区，
则不同的安排方法共有 （种），故D错误.故选AC.
16．（2023届辽宁省朝阳市高三上学期期末）将1，2，3，4，5，6，7这七个数随机地排成一个数列，记
第i项为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则这样的数列共有360个
B．若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列共有288个
C．若该数列恰好先减后增，则这样的数列共有50个
D．若 ，则这样的数列共有71个
【答案】AD
【解析】对于A：由于 为奇数，根据对称性可知这样的数列有 个，
故A正确；对于B：若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，
则这样的数列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、偶、奇”，则有 个，故B错误；
对于C：从1，2，3，4，5，6中选出 个数排在 的右侧，其余排在 的左侧，
得到先减后增的数列有 个；从1，2，3，4，5，6中选出2个数排在 的右侧，其余排在 的左侧，得到先减后增的数列有 个；从1，2，3，4，5，6中选出3个数排在 的右侧，其余排在 的左侧，得到先减
后增的数列有 个；从1，2，3，4，5，6中选出4个数排在 的右侧，其余排在 的左侧，得到先减后增
的数列有 个；从1，2，3，4，5，6中选出5个数排在 的右侧，其余排在 的左侧，得到先减后增的数
列有 个；故满足条件的总个数为： 个，故C错误．对于D：若 则这样的数
列有 个，若 则这样的数列有 个，若 则这样的数列有 个，所以满足条
件的这样的数列共有 个，故D正确；故选AD
17．若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】A选项： 时， ，A对．B选项： 时， ①
时， ② ，B对．
C选项： ，
求导得 ，
时， ，
，C错．D选项：比较两边 的系数
，D正确．故选ABD.
三、填空题
18．（2024届陕西省西安市高三上学期10月模拟）已知 ，且 ，若 的展开式中存在
常数项，则展开式中 的系数为 .
【答案】6
【解析】 展开式的通项公式为 ，
因为存在常数项，所以 ，故只有当 时满足题意，
即求 展开式中含 的项的系数，
令 ，即 ，
所以展开式中含 的项为 ，
所以展开式中 的系数为6.
19．（2024届山东省齐鲁名校高三上学期学业质量联合检测）已知 的展开式中第4项与第6项
的二项式系数相等，写出展开式中的一个有理项 ．
【答案】 ， ， （写出其中一个即可）
【解析】由题意知 ，所以 ，
整理得 ，解得 或 （舍去），
所以 的展开式的通项为：， ， ．
若 为有理项，则 ，所以 ，4，8，
故展开式中所有的有理项为： ，
， ．
20．（2024届江浙两省县域高中发展共同体高三上学期10月联考）第19届杭州亚运会的吉祥物是一组名
为“江南忆”的机器人：“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址，“莲莲”代表世界遗产西湖，“宸宸”代
表世界遗产京杭大运河.现有6个不同的吉祥物，其中“琮琮”､“莲莲”和“宸宸”各2个，将这6个吉
祥物排成前后两排，每排3个，且每排相邻两个吉祥物名称不同，则排法种数共有 .（用数字作答）
【答案】336
【解析】由题意可分两种情形：
①前排含有两种不同名称的吉祥物，首先，前排从“琮琮”“莲莲”和“宸宸”中取两种，
其中一种取两个，另一种选一个，有 种排法；
其次，后排有 种排法，故共有 种不同的排法；
②前排含有三种不同名称的吉祥物，有 种排法；
后排有 种排法，此时共有 种排法；
因此，共有 种排法
21．设整数数列 ， ，…， 满足 ， ，且 ， ，则这样
的数列的个数为 .
【答案】80
【解析】设 ，则有 …①，
…②，
用t表示 中值为2的项数，由②知，t也是 中值为2的项数，其中 ，
所以 的取法数为 ，
取定 后，任意指定 的值，有 种方式.
由①知，应取 使得 为偶数，
而这样的 的取法是唯一的，并且确定了整数 的值，
进而数列 唯一对应一个满足条件的数列 ，
综上可知，满足条件的数列的个数为20×4=80.
22．某校高二年级共有10个班级，5位教学教师，每位教师教两个班级，其中姜老师一定教1班，张老师
一定教3班，王老师一定教8班，秋老师至少教9班和10班中的一个班，曲老师不教2班和6班，王老师
不教5班，则不同的排课方法种数为 ．
【答案】236
【解析】（1）秋老师教9班，曲老师可在4,5,7,10班中选两班，再分两小类：
①曲老师不教5班，则曲老师可选 （种）；王老师可选 （种）；剩余的3个班3个老师全排列
安排有 （种）；按分步相乘计数原理有： （种）；
②曲老师教5班，则曲老师可选 （种）；剩余的4个班4个老师全排列安排有
（种）；按分步相乘计数原理有： （种）.
按分类相加计数原理，秋老师教9班有： （种）；
（2）秋老师教10班，同理也有126（种）；
（3）秋老师同时教9班和10班，曲老师可在4,5,7班中选两班，再分两小类：
①曲老师不教5班，则曲老师教4班和7班，王老师再从2,6班选一个，可选 （种）；剩余的2个班
2个老师全排列安排有 （种）；按分步相乘计数原理有： （种）；
②曲老师教5班，则曲老师可选 （种）；剩余的3个班3个老师全排列安排有 （种）；按分步相乘计数原理有： （种）.
按分类相加计数原理，秋老师同时教9班和10班有： （种）；
但秋老师同时教9班和10班在（1）和（2）两种分类里都涉及到，所以重复需减去，
故不同的排课方法种数有： （种）.
