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专题5.4 平面向量基本定理及坐标表示-重难点题型精练
【新高考地区专用】
考试时间：90分钟；满分：150分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时90分钟，本卷题型针对性较
高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022·河南·高三阶段练习（文））若向量⃑BA=(4,2)，⃑AC=(−1,−3)，则⃑BC=（ ）
A．(3,−1) B．(−3,1) C．(−3,−1) D．(3,1)
2．（5分）（2022·全国·高三专题练习）已知向量⃗a,⃗b,⃗c在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，用
基底 表示 ，则（ ）
{⃗a,⃗b} ⃗c
A．⃗c=−2⃗a+3⃗b B．⃗c=2⃗a−3⃗b
C．⃗c=−3⃗a+2⃗b D．⃗c=3⃗a−2⃗b
3．（5分）在正方形ABCD中，E,F 分别为BC，CD的中点，则不正确的是（ ）
1 1
A．⃗AC=⃗AF+ ⃗AB B．⃗AC=⃗AE+ ⃗AD
2 2
1 2
C．⃗AC= ⃗AE+ ⃗AF D．⃗AC=⃗AB+⃗AD
3 3
4．（5分）（2022·四川省高一阶段练习（理））设 ，向量 ，且
x,y∈R ⃗a=(x,1),⃗b=(1,y),⃗c=(2,−4)
⃗a⊥⃗b,⃗c//⃗b，则|⃗a+⃗b|等于（ ）
A．2√2 B．√10 C．3 D．45．（5分）（2022·江西赣州·高三期中（文））向量 ， ， ，若
⃗a=（1,3） ⃗b=(3x−1,x+1) ⃗c=(5,7)
，且 ，则 的值为（ ）
(⃗a+⃗b)∥(⃗a+⃗c) ⃗c=m⃗a+n⃗b m+n
5 7
A．2 B． C．3 D．
2 2
6．（5分）（2022·全国·高三专题练习）已知向量⃑OA=(3,−4),⃑OB=(6,−3),⃑OC=(5−m,−3−m)．
若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为（ ）
1 1 1 1
A．m= B．m≠ C．m≠ D．m≠
2 2 3 4
π
7．（5分）（2022·江苏南通·高三开学考试）在△ABC中，AB=3,AC=2，A= ，过△ABC的外心O
3
的直线(不经过点A)分别交线段AB,AC于D,E，且⃑AD=λ⃑AB，⃑AE=μ⃑AC，则λ+μ的取值范围是
（ ）
A．[11+4√6 13] B．[11+4√6 23]
, ,
18 10 18 15
C．[14+3√6 13] D．[14+3√6 23]
, ,
18 10 18 15
8．（5分）（2022·北京市高一阶段练习）如图，在四边形ABCD中，
AB⊥AD,CD⊥CB,∠ABC=60∘,AB=2,AD=√3,E为线段CD的中点，F为线段AB上一动点（包
括端点），且⃑EF=λ⃑DA+μ⃑CB，则下列说法错误的是（ ）
5
A．BC=
2B．若F为线段AB的中点，则λ+μ=1
15
C．⃑FC⋅⃑FD的最小值为
4
8
D．μ的最大值比最小值大
5
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022·贵州·高二阶段练习）已知向量⃑a=(1,2)，⃑b=(m,−1)，则下列结论错误的是（ ）
1
A．若 ⃑a∥⃑b，则m= B．若 ⃑a⊥⃑b，则m=2
2
1
C．若|⃑a|=|⃑b|，则m=2 D．若 ⃑a+2⃑b=0⃑，则m=−
2
10．（5分）（2022·江苏·高二期中）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD
相切的圆上．若⃗AP=λ⃗AB+μ⃗AD，则λ+μ的可能取值有（ ）
A．√5 B． 2√3 C．3 D．4
11．（5分）（2022·全国·高三专题练习）已知△ABC中，O是BC边上靠近B的三等分点，过点O的直
线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，设⃑AB=m⃑AM，⃑AC=n⃑AN，其中m>0，n>0，则下列结
论正确的是（ ）
2 1 1 2
A．⃑AO= ⃑AB+ ⃑AC B．⃑AO= ⃑AB+ ⃑AC
3 3 3 3
C．2m+n=3 D．m+2n=3
12．（5分）（2022·浙江温州·高一期末）如图， 已知△ABC，△≝¿均为等边三角形， D，E，F分
别为BE，CF，AD的中点，P为△≝¿内一点 (含边界)． ⃑AP=x⃑AB+ y⃑AC， 下列说法正确的是
（ ）
1
A．延长BE交AC于M， 则⃑CM= ⃑CA
3
B．若⃑OD+⃑OE+⃑OF=0⃑， 则O为△ABC的重心1
C．若x+ y= ，则点P的轨迹是一条线段
2
1
D．x+ y的最小值是
3
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）已知向量⃗AB=(2,1)，⃗BC=(7,m)，⃗CD=(3,−1)，若A，B，D三点共线，则m= ．
14．（5分）（2022·四川·高二阶段练习（理））在△ABC中，D，E分别是线段AB，BC上的点，且
2
AD=3DB,BE= BC,若⃗DE=x⃗AB+ y⃗AC ，则x+ y= .
3
2π
15．（5分）（2022·辽宁大连·高三期中）在△ABC中，CA＝CB＝1，∠ACB= ，若CM与线段AB
3
交于点P，且满足 ，（ , ），且 ，则 的最大值为 ．
⃗CM=λ ⃗CA+λ ⃗CB λ >0 λ >0 |⃗CM|=1 λ +λ
1 2 1 2 1 2
16．（5分）（2022·江苏·高一期末）如图，正八边形ABCDEFGH中，若⃑AE=λ⃑AC+μ⃑AF
(λ，μ∈R)，则λ+μ的值为 ．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022·全国·高一课时练习）已知向量⃑a=(3,1)，⃑b=(2,−1)，O为坐标原点．若向量
⃑OA=3⃑a−⃑b，⃑BA=2⃑b−⃑a，求向量⃑BO的坐标．
18．（12分）（2022·辽宁·高一阶段练习）已知向量⃑a=(1,2)，⃑b=(−3,1).
(1)求 ；
|⃑a+2⃑b|
(2)若向量⃑c=(−1,5)，试以向量⃑a，⃑b为基底表示向量⃑c.19．（12分）（2022·全国·高一课时练习）已知向量⃗a=(3,2),⃑b=(−1,2),⃗c=(4,1)．
(1)求3⃗a+⃑b−2⃗c；
(2)求满足⃗a=m⃑b+n⃗c的实数m和n的值；
(3)若 ，求实数k的值．
(⃗a+k⃗c)∥(2⃑b−⃗a)
1 1
20．（12分）（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在△ABO中，⃑OC= ⃑OA，⃑OD= ⃑OB，AD与BC
3 2
交于点M．设⃑OA=⃑a，⃑OB=⃑b．
(1)试用向量⃑a，⃑b表示⃑OM；
(2)在线段AC上取点E，在线段BD上取点F，使EF过点M，设⃑OE=λ⃑OA，⃑OF=μ⃑OB，其中λ，μ∈R．
1 2
证明： + 为定值，并求出该定值．
λ μ
21．（12分）（2022·上海市高一期末）如图，在平行四边形ABCD中，π
AB=2,AD=3,∠BAD= ,⃑AF=⃑FD，⃑DE=λ⃑DC(0≤λ≤1),AE交BF于点N.
3
1
(1)若λ= ,⃑AN=μ⃑AE，求μ的值；
2
(2)求⃑BE⋅⃑FE的取值范围.
22．（12分）（2022·河南南阳·高一阶段练习）已知向量
．
⃑a=(cosx,2sinα+√2sinx),⃗b=(sinx,2cosα−√2cosx)
(1)若⃑a//⃑b，求x+α的值；
π
(2)若α= ，函数f(x)=⃑a⋅⃑b，求f(x)的值域．
4
