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专题 02 二次函数实际应用解答题专项训练
类型一：几何图形的面积问题
类型二：销售中的利润问题
类型三：抛物线形的形状问题
类型四：抛物线形的运动轨迹问题
类型一：几何图形的面积问题
1．如图，用长为15m的篱笆（虚线部分）两面靠墙围成矩形的苗圃．在一边开了一个1m宽的门．
（1）设矩形的一边为x（m），面积为y（m2），求y关于x的函数关系式．
（2）写出自变量x的取值范围，并求出当x＝8时，所围苗圃的面积是多少？
【答案】（1）y＝﹣x2+16x；
（2）自变量x的取值范围：0＜x＜16，当x＝8时，所围苗圃的面积是64．
【解答】解：（1）由题意得：y＝x（15+1﹣x）
＝x（16﹣x）
＝﹣x2+16x；
（2）自变量x的取值范围：0＜x＜16，
当x＝8时，y＝8×（16﹣8）＝8×8＝64，
∴当x＝8时，所围苗圃的面积是64．
2．如图，用一段长为100m的围栏，围成一边靠墙的三块矩形区域种植花卉，墙长为 15m．矩形AEGD与
矩形BCGE的面积相等，矩形AEFH与矩形DGFH的面积相等．设AE长为x m，BC长为y m，矩形
ABCD的面积为z m2．
（1）直接写出y与x，z与x之间的函数关系式；
（2）当x为何值时，z有最大值？最大值是多少？
（3）若需要对矩形AEFH和矩形BCGE区域进行装修改造，单价分别为64元/m2和40元m2．受资金投
入限制，改造总费用不能超过11520元，请直接写出x的取值范围．5
【答案】（1）y＝50− x；z＝﹣5x2+100x；
2
（2）当x＝14时，z最大，最大值为420平方米；
（3）当16≤x＜20时，安装成本不超过11520元．
【解答】解：（1）∵矩形AEGD与矩形BCGE的面积相等，
∴AE＝BE＝DG＝GC＝HF，
∵矩形AEFH与矩形DGFH的面积相等，
∴AH＝HD＝EF＝FG，
100−5x 5
∴y= =50− x；
2 2
5
z＝AB•BC＝2xy＝2x（50− x）＝﹣5x2+100x；
2
（2）z＝﹣5x2+100x＝﹣5（x﹣10）2+500，
∵0＜y≤15，
∴14≤x＜20，
∵﹣5＜0，
∴当x＝14时，z最大，最大值为420平方米；
1 1 5 5
（3）S矩形AEFH ＝AE•EF＝AE•
2
BC＝x•
2
y＝x（25−
4
x）=−
4
x2+25x，
5 5
S矩形BCGE ＝BE•BC＝xy＝x（50−
2
x）=−
2
x2+50x，
5 5
设安装成本为w元，则w＝64（− x2+25x）+40（− x2+50x）＝﹣180x2+3600x，
4 2
令w＝11520，则﹣180x2+3600x＝11520，
解得x＝16或x＝4，
∵改造总费用不能超过11520元，14≤x＜20，
∴16≤x＜20，
∴当16≤x＜20时，安装成本不超过11520元．
3．如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为15m），设花圃的宽AB为xm，面积
为Sm2．（1）求S与x的函数关系式及x值的取值范围；
（2）要围成面积为36m2的花圃，AB的长是多少米？
（3）当AB的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？
【答案】（1）S＝﹣3x2+24x，3≤x＜8；
（2）x＝4m，最大面积＝48m2．
【解答】解：（1）根据题意，得S＝x（24﹣3x），
即所求的函数解析式为：S＝﹣3x2+24x，
又∵0＜24﹣3x≤15，
∴3≤x＜8；
（2）根据题意，设AB长为x，则BC长为24﹣3x，
∴﹣3x2+24x＝36．
整理，得x2﹣8x+12＝0，
解得x＝2或6，
∵3≤x＜8；
∴x＝6，
∴AB长为6m；
（3）S＝24x﹣3x2＝﹣3（x﹣4）2+48，
∵墙的最大可用长度为15m，0≤BC＝24﹣3x≤15，
∴3≤x＜8，
∵对称轴x＝4，开口向下，
即：x＝4m，最大面积＝48m2．
4．如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形场地一面靠墙
（墙的长度为18m），另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积相等的矩形分别养殖不同
的家禽，计划购买篱笆的总长度为32m，设矩形场地的长为x m，宽为y m，面积为s m2．
（1）分别求出y与x，s与x的函数解析式；
（2）当x为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？
（3）若购买的篱笆总长增加8m，矩形场地的最大总面积能否达到100m2？若能，请求出x的值；若不
能，请说明理由．1
【答案】（1）s=− x2+8x；（2）当x＝16时，矩形场地的总面积最大，最大面积为64；（3）矩形
4
场地的最大总面积不能达到100m2，理由见解析．
【解答】解：（1）由题意得，x+4y＝32，
1
∴y=− x+8．
4
1 1
∴s=xy=x(− x+8)，即s=− x2+8x．
4 4
1
（2）由题意，∵− ＜0，
4
8
x=− =16 1
∴S有最大值．当 1 时，S =− ×162+8×16=64．
2×(− ) 暖大值 4
4
答：当x＝16 时，矩形场地的总面积最大，最大面积为64．
（3）由题意得，x+4y＝32+8，
1
∴y=− x+10．
4
1
∴s=xy=x(− x+10)=100．
4
∴x ＝x ＝20．
1 2
∵18＜20，
∴矩形场地的最大总面积不能达到100m2．
5．如图，学校准备开展劳动教育活动，计划利用围墙和栅栏围成一个矩形的菜园，并用栅栏将其分成n个
相同大小的矩形小菜园，共用栅栏40m．
（1）当n＝4时，菜园面积的最大值为 8 0 m2；
（2）求菜园面积的最大值（用含n的代数式表示）；
（3）在第（2）问的条件下，存在n＝a和n＝b时，菜园面积的最大值之和为100m2，且a≤b，直接写
出所有满足条件的a、b的值 a ＝ 4 ， b ＝ 1 9 或 a ＝ 5 ， b ＝ 1 1 或 a ＝ 7 ， b ＝ 7 ．400
【答案】（1）80；（2）菜园面积的最大值为
m2
；（3）a＝4，b＝19或a＝5，b＝11或a＝7，b
n+1
＝7．
【解答】解：（1）由题意得，设垂直于墙的边长为x m，
∴当n＝4时，平行于墙的边长为（40﹣5x）m，设菜园的面积为y m2．
∴y＝x（40﹣5x）＝﹣5x2+40x＝﹣5（x﹣4）2+80．
∵40﹣5x＞0，
∴x＜8，
∵﹣5＜0，
∴当 x＝4时，y最大，最大值为80m2．
故答案为：80；
（2）由题意，设垂直于墙的边长为x m，平行于墙的边长为[40﹣（n+1）x]m，菜园的面积为y m2，
∴y＝x[40﹣（n+1）x]＝﹣（n+1）x2+40x，
∵﹣（n+1）＜0，
40 40 20 −1600 400
∴当x=− = = 时，y有最大值，最大值为 = ．
−2(n+1) 2(n+1) n+1 4×[−(n+1)] n+1
400
∴菜园面积的最大值为
m2
；
n+1
400 400
（3）n＝a时，菜园最大面积是 ，n＝b时，菜园最大面积是 ，
a+1 b+1
400 400
由题意得： + =100，
a+1 b+1
化简得：ab﹣3a﹣3b﹣7＝0，
即（a﹣3）（b﹣3）＝16，
∵a，b是正整数且a≤b，16＝1×16＝2×8＝4×4，
∴当a﹣3＝1，b﹣3＝16时，a＝4，b＝19，
当a﹣3＝2，b﹣3＝8时，a＝5，b＝11，
当a﹣3＝4，b﹣3＝4时，a＝7，b＝7，
故答案为：a＝4，b＝19或a＝5，b＝11或a＝7，b＝7．
6．如图，用一段长为36m的篱笆围成一个一边AD靠墙（无需篱笆）的矩形ABCD菜园，并且中间用篱笆
EF隔开，EF∥AB，墙长15m，设AB＝x m，矩形ABCD面积为y m2．
（1）y关于x的函数解析式为 y ＝﹣ 3 x 2 +3 6 x （写化简后结果），x的取值范围是 7 ≤ x ＜ 12
；（2）求菜园ABCD面积的最大值，并求此时BC的长；
（3）在（2）的前提下，若将矩形ABFE和矩形EFCD分别种植甲、乙两种农作物．甲农作物的年收入
W （单位：元）与种植面积S（单位：m2）的函数关系式为W =−2S2+210S，乙农作物的年收入W
1 1 2
（单位：元）与种植面积S（单位：m2）的函数关系式为W ＝70S，两种农作物年收入之和不小于8918
2
元，并且乙农作物的种植面积不小于甲农作物的种植面积的两倍．设BF＝a m，求a的取值范围．
【答案】（1）y＝﹣3x2+36x，7≤x＜12；
（2）矩形ABCD面积的最大值是105m2，此时BC的长是15m；
（3）a的取值范围为2≤a≤5．
【解答】解：（1）由已知得：BC＝（36﹣3x）m，
∴y＝x（36﹣3x）＝﹣3x2+36x，
∵墙长15m，
∴0＜36﹣3x≤15，
解得7≤x＜12（m），
∴x的取值范围为7≤x＜12．
故答案为：y＝﹣3x2+36x，7≤x＜12；
（2）∵y＝﹣3x2+36x＝﹣3（x﹣6）2+108，
∴抛物线对称轴为x＝6，
而﹣3＜0，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
∴x＝7时，y取最大值，最大值是105，
此时BC＝36﹣3x＝15，
∴矩形ABCD面积的最大值是105m2，此时BC的长是15m；
（3）设BF＝a m，则CF＝（15﹣a）m，
∴矩形ABFE的面积为7a m2，矩形EFCD的面积为7（15﹣a） m2，
∴W ＝﹣2（7a）2+210×7a＝﹣98a2+1470a，W ＝70×7（15﹣a）＝7350﹣7a，
1 2
根据题意得：
﹣98a2+1470a+7350﹣490a≥8918，
化简得：a2﹣10a+16≤0，
解得：2≤a≤8，
∵乙农作物的种植面积不小于甲农作物的种植面积的两倍，
∴7（15﹣a）≥2×7a，解得a≤5，
∴a的取值范围为2≤a≤5．
7．综合与实践：
小明要用总长为12米的篱笆围一个长方形花圃，其一边靠墙（墙长 9米），另外三边是篱笆，其中BC
不超过9米，如图所示．设垂直于墙的两边AB，CD的长均为x米，长方形花圃的面积为y米2．
（1）在x，y这两个变量中，自变量是 x ，因变量是 y ；
（2）BC＝ 1 2 ﹣ 2 x 米（用含x的式子表示），请判断当x＝0.5时是否符合题意，并说明理由；
（3）求y与x之间的关系式；
（4）根据（3）中y与x之间的关系式补充下面表格：
x（米） 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 …
y（米 13.5 16 17.5 m 17.5 n 13.5 …
2）
①m＝ 1 8 ，n＝ 1 6 ；
②请观察表格中的数据，并写出y随x变化的一个特征： 当 x ＜ 3 时， y 随 x 的增大而增大（答案不唯
一） ．
③在y随x变化的过程中，问y是否存在最值（最大值或最小值）？若存在，请直接写出y的最值（注
明是最大值，还是最小值）及此时x的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）x；y；
（2）12﹣2x；当x＝0.5时不符合题意，理由见解析；
（3）y＝﹣2x2+12x；
（4）①18；16；
②当x＜3时，y随x的增大而增大（答案不唯一）；
③在y随x变化的过程中，y存在的最大值为18，此时x的值为3．
【解答】解：（1）由题意，根据变量的意义，可得自变量是x，因变量是y．
故答案为：x；y．
（2）由题意，∵篱笆的总长为12米，CD＝AB＝x，
∴BC＝12﹣2x．
当x＝0.5时不符合题意．理由如下：
将x＝0.5代入12﹣2x得，BC＝12﹣2×0.5＝11＞9．
∴当x＝0.5时不符合题意．
故答案为：12﹣2x．
（3）由题意，∵BC＝12﹣2x，AB＝x，∴y＝（12﹣2x）x＝﹣2x2+12x．
∴y与x之间的关系式为y＝﹣2x2+12x．
（4）①由题意，结合（3）y＝﹣2x2+12x，
∴m＝﹣2×32+12×3＝18，n＝﹣2×42+12×4＝16．
故答案为：18；16．
②由题意，观察表格中的数据，可得当x＜3时，y随x的增大而增大（或当x＞3时，y随x的增大而减
小；或当x＝3时，y取得最大值，答案不唯一）．
③由题意，∵y＝﹣2x2+12x＝﹣2（x﹣3）2+18．
∴在y随x变化的过程中，y存在的最大值为18，此时x的值为3．
类型二：销售中的利润问题
1．抖音直播购物逐渐走进了人们的生活．为提高我县特产红富士苹果的影响力，某电商在抖音平台上对
我县红富士苹果进行直播销售．已知苹果的成本价为6元/千克，如果按10元/千克销售，每天可售出
160千克．通过调查发现，每千克苹果售价增加1元，日销售量减少20千克．若想通过涨价增加每日利
润，设涨价后的售价为x元，每日获得的利润为w元．
（1）涨价后每日销量将减少 （ 2 0 x ﹣ 20 0 ） 件（用含x的代数式表示）；
（2）当售价为多少时，每日获的利润最大？最大利润为多少？
【答案】（1）（20x﹣200）；
（2）当售价为12元时，每日获的利润最大，最大利润为720元．
【解答】解：（1）设涨价后的售价为x元，则每日销量减少：20（x﹣10）＝（20x﹣200）件，
故答案为：（20x﹣200）；
（2）设每日获的利润为w元，
由题意可得：w＝（x﹣6）[160﹣20（x﹣10）]＝（x﹣6）（360﹣20x）＝﹣20x2+480x﹣2160＝﹣20（x
﹣12）2+720，
∵﹣20＜0，
∴当x＝12时，W最大，最大值为720，
∴当售价为12元时，每日获的利润最大，最大利润为720元．
2．某商场销售甲、乙两种商品．已知销售甲商品的利润y （元）与销售数量x（件）的函数关系为一次函
1
数，当销售2件甲商品时，利润为8元；当销售5件甲商品时，利润为20元．销售乙商品的利润y
2
（元）与销售数量t（件）的函数关系为二次函数y =−t2+8t+3．
2
（1）求出y 与x的函数关系式；
1
（2）若商场准备销售甲、乙两种商品共25件，其中乙商品的销售数量不少于4件且不多于8件，为使
总利润最大，应销售甲、乙两种商品各多少件？最大总利润是多少元？
【答案】（1）y 与x的函数解析式为y ＝4x；
1 1
（2）应销售甲商品各21件，乙商品4件获得利润最大，最大总利润是103元．
【解答】解：（1）设y 与x的函数解析式为y ＝kx+b（k≠0），
1 1{2k+b=8
)
把x＝2，y ＝8；x＝5，y ＝20代入解析式得： ，
1 1 5k+b=20
{k=4)
解得 ，
b=0
∴y 与x的函数解析式为y ＝4x；
1 1
（2）设乙商品销售m件，则甲商品销售（25﹣m）件，获得利润为w元，
则w＝4（25﹣m）+（﹣m2+8m+3）
＝100﹣4m﹣m2+8m+3
＝﹣m2+4m+103
＝﹣（m﹣2）2+107，
∵﹣1＜0．
∴当m＞2时，w随m的增大而减小，
∵4≤m≤8，
∴当m＝4时，w取得最大值，最大值103，
此时25﹣m＝21，
答：应销售甲商品各21件，乙商品4件获得利润最大，最大总利润是103元．
3．某超市以20元/箱的价格采购一款畅销食品加工后出售，销售价格不低于30元/箱，不高于40元/箱．
销售时发现，销售价格每增加1元，每天销售量减少2箱；当销售价格每箱30元时，每天销售量为40
箱．若每天的销售量为y（箱），销售价格为x（元/箱）．
（1）求y与x之间的关系式；
（2）是否存在x，使得这天的销售利润达到600元？若存在请求出x的值，若不存在，请说明理由．
（3）当销售价格定为多少时，该批发部销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少
【销售利润＝（销售价格﹣采购价格）×销售量】
【答案】（1）y＝﹣2x+100（30≤x≤40）；（2）销售利润不可能达到600元，理由见解析；（3）当
销售价格定为35元/箱时，该批发部销售这款食品每天获得的销售利润最大，最大销售利润是450元．
【解答】解：（1）由题意，∵销售价格每增加1元，每天销售量减少2箱；当销售价格每箱30元时，
每天销售量为40箱，且销售价格为x元/箱，
∴每天的销售量为y＝40﹣2（x﹣30），即y＝﹣2x+100．
∴y＝﹣2x+100（30≤x≤40）．
（2）由题意，假设存在x，使得这天的销售利润达到600元，
∴利润＝ （﹣2x+100）（x﹣20）＝600．
∴x2﹣70x+1300＝0．
∵Δ＜0，
∴方程无解．
∴销售利润不可能达到600元．
（3）由题意，利润＝（﹣2x+100）（x﹣20）＝﹣2（x﹣35）2+450，∵30≤x≤40，
∴当x＝35（元/箱）时，销售利润最大值为450元．
答：当销售价格定为35元/箱时，该批发部销售这款食品每天获得的销售利润最大，最大销售利润是
450元．
4．民族要复兴，乡村要振兴．利民超市老板决定为家乡代销某种农产品，该农产品的成本为20元/件．为
了解市场情况，商定先进行15天的试销，第1天销售单价为21元/件，以后每天均涨价1元/件，在销
售过程中统计发现：日销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足的函数关系为y＝﹣2x+76．设销售时
间为t（天）（即第t天）．
（1）请直接写出x关于t，y关于t的函数解析式；
（2）试销第几天日销售利润w最大？日最大利润是多少？并求出此时的销售单价；
（3）在试销的15天中，日销售利润不低于144元的有多少天？
【答案】（1）x＝t+20；y＝﹣2t+36；
（2）试销第9天日销售利润w最大，日最大利润是162元，此时的销售单价为29元/件；
（3）在试销的15天中，日销售利润不低于144元的有7天．
【解答】解：（1）由题意，∵农产品的成本为20元/件，以后每天均涨价1元/件，
∴x＝t+20．
又∵y＝﹣2x+76，
∴y＝﹣2（t+20）+76．
∴y＝﹣2t+36．
（2）由题意得，日销售利润w＝（x﹣20）y＝t（﹣2t+36）＝﹣2t2+36t＝﹣2（t﹣9）2+162．
∴当t＝9时，日销售利润w最大，最大值为162元．
∴此时单价x＝9+20＝29（元/件）．
答：试销第9天日销售利润w最大，日最大利润是162元，此时的销售单价为29元/件．
（3）由题意，结合（2）w＝﹣2t2+36t，
∴令w＝﹣2t2+36t＝144．
∴t＝6或t＝12．
∵二次函数w＝﹣2t2+36t的图象开口向下，且日销售利润不低于144元，
∴6≤t≤12，即共7天．
答：在试销的15天中，日销售利润不低于144元的有7天．
5．某农场计划种植一种新型农作物，经过调查发现，种植x亩的总成本y（万元）由三部分组成，分别是
农机成本，管理成本，其他成本；其中农机成本固定不变为 100万元，管理成本（万元）与x成正比例，
其他成本（万元）与x的平方成正比例，在生产过程中，获得如下数据：
x（单位：亩） 10 30
y（单位：万元） 160 340
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）已知每亩的平均成本为11.5万元，求农场计划种植新型农作物的亩数是多少？（3）设每亩的收益为Q（万元）且有Q＝kx+b（k、b均为常数），已知当x＝50时，Q为12.5万元，
且此时农场总利润最大，求k、b的值．【注：总利润＝总收益﹣总成本】
【答案】（1）y＝0.1x2+5x+100；
（2）25亩或40亩；
（3）k＝0.05，b＝10．
【解答】解：（1）设y＝ax2+bx+100，把（10，160）、（30，340）代入得，
{100a+10b+100=160)
，
900a+30b+100=340
{a=0.1)
解得 ，
b=5
∴y＝0.1x2+5x+100；
（2）由题意得，11.5x＝0.1x2+5x+100，
解得x ＝25，x ＝40，
1 2
答：农场计划种植新型农作物的亩数是25亩或40亩；
（3）设总收益为W元，则W＝x（kx+b）﹣（0.1x2+5x+100）＝（k﹣0.1）x2+（b﹣5）x﹣100，
b b−5
当x=− 时，W有最大值，即− = 50，
2a 2(k−0.1)
∵x＝50时，Q＝12，5＝50k+b，
解得k＝0.05，b＝10．
6．某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的大米，以不低
于成本价且不超过每千克7元的价格销售，当每千克售价为5元时，每天售出大米950千克，市场调查
反应，每千克大米价格每上涨1元，每天要少卖出50千克大米．
（1）写出超市销售这种大米，每天所得的销售利润w（元）与每千克售价x（元）之间的函数关系式；
（2）超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？
（3）当每千克售价定为多少元时，每天获得利润最大？最大利润为多少？
【答案】（1）w＝﹣50x2+1400x﹣4800（4≤x≤7）；
（2）6元；
（3）当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元．
【解答】解：（1）根据题意得每天售出大米的数量可得：w＝（x﹣4）（1200﹣50x）＝﹣50x2+1400x
﹣4800，
由条件可知4≤x≤7，
∴每天所得的销售利润w（元）与每千克售价x（元）之间的函数关系式为w＝﹣50x2+1400x﹣4800
（4≤x≤7）；
（2）当每天销售该大米的利润达到1800元时，
依题意得：﹣50x2+1400x﹣4800＝1800，
解得：x ＝22（舍去），x ＝6，
1 2∴超市将该大米每千克售价定为6元时，每天销售该大米的利润可达到1800元；
（3）由（1）知：w＝﹣50x2+1400x﹣4800（4≤x≤7），
∴w＝﹣50（x﹣14）2+5000，
∵﹣50＜0，对称轴为x＝14，
∴当x＜14时，y随x的增大而增大，
又∵4≤x≤7，
∴当x＝7时，w =−50×(7−14) 2+5000=2550（元），
最大值
∴当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元．
7．某公司生产的某种商品每件成本为20元．经市场调查发现，获得以下信息：这种商品在未来40天内的
日销售量m（件）与t（天）之间存在一次函数关系m＝﹣2t+96，其中在前20天的销售中，每天的销售
价格p（元/件）与时间t（天）满足函数关系式为p＝0.25t+25（0＜t≤20，且t为整数），在后20天每
天的销售中，每天的销售价格q（元/件）与时间t（天）满足函数关系式为q＝﹣0.5t+40（20≤t≤40，
且t为整数）．根据这些信息，解决以下有关问题：
（1）直接写出前20天的日销售利润w 和后20天的日销售利润w ；
1 2
（2）求前20天和后20天中各自在哪一天可以获得最大日销售利润，最大日销售利润分别是多少元？
（3）在前20天中，日销售利润既不低于560元又不高于570元，并且日销售利润随时间t（天）的增
大而增大，直接写出最大的销售价格．
【答案】（1）w ＝﹣0.5t2+14t+480；w ＝t2﹣88t+1920；
1 2
（2）在前20天中，第14天可以获得最大日销售利润，最大日销售利润为578元；在后20天中，第20
天可以获得最大日销售利润，最大日销售利润为560元；
（3）最大的销售价格为27.5元．
【解答】解：（1）根据题意得：w ＝（p﹣20）m＝（0.25t+25﹣20）（﹣2t+96）＝﹣0.5t2+14t+480（0
1
＜t≤20）；
w ＝（q﹣20）m＝（﹣0.5t+20）（﹣2t+96）＝t2﹣88t+1920（20≤t≤40）；
2
（2）由（1）知，w ＝﹣0.5t2+14t+480＝﹣0.5（t﹣14）2+578，
1
∵﹣0.5＜0，0＜t≤20，
∴当t＝14时，w 最大，最大值为578；
1
∴在前20天中，第14天可以获得最大日销售利润，最大日销售利润为578元；
∵w ＝t2﹣88t+1920，
2
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝44，
∵20≤t≤40，
∴当t＝20时，w 最大，最大值为560，
2
∴在后20天中，第20天可以获得最大日销售利润，最大日销售利润为560元；
（3）由（2）可知，在前20天中，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝14，
∴当t＜14时，w 随t的增大而增大，
1∵前20天中，日销售利润既不低于560元又不高于570元，
∴560≤﹣0.5t2+14t+480≤570，
解得8≤t≤10，
∵p＝0.25t+25，
∴当t＝10时，p最大，最大值为0.25×10+25＝27.5（元），
∴最大的销售价格为27.5元．
类型三：抛物线形的形状问题
1．如图，蔬菜大棚顶部AB段是抛物线的一部分，下方是长方形 ABCD，已知长方形ABCD的长AB＝
8m，宽BC＝6m，大棚顶部最高处P距离地面10m高，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求出大棚顶部所在抛物线的函数表达式；
（2）若准备在大棚一侧开一扇正方形的活动门，如图阴影部分所示，方便天气好时打开透气，则这个
正方形的边长为多少？
1
【答案】（1）抛物线的函数表达式为y=− x2+10；
4
（2）这个正方形的边长为（4❑√14−8）m，
【解答】解：（1）由题意得：A的坐标为（4，6），顶点P的坐标为（0，10），
∴设y＝ax2+10，
把A（4，6）代入y＝ax2+10中得：
6＝16a+10，
1
解得：a=− ，
4
1
∴抛物线的函数表达式为y=− x2+10；
4
（2）如图：设OF＝OE＝a，则EF＝FG＝2a，
1
∴点G（a，− a2+10），
4
1
∴FG=− a2+10，
4
1
∴2a=− a2+10，
4
解得：a ＝﹣4+2❑√14，a ＝﹣4﹣2❑√14（舍去），
1 2
∴EF＝FG＝2a＝（4❑√14−8）m，
∴这个正方形的边长为（4❑√14−8）m，
2．赛龙舟是中国端午节的主要习俗，也是民间传统水上体育娱乐项目，2011年被列入国家级非物质文化
遗产．在某地筹备的龙舟比赛路线上，有一座拱桥（图1），图2是该桥露出水面部分的主桥拱的示意
图，其形状可看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系 xOy，桥拱上各点到水面的竖直高
度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系．据测量，水面两端点的距
离OA＝60m，主桥拱距离水面的最大高度为9m．
（1）求主桥拱所在抛物线的函数表达式；
（2）据测量，龙舟最高处距离水面2m，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少
3m．要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为9m，求最多可设计龙舟赛道的数量．
【答案】（1）y＝﹣0.01（x﹣30）2+9；
（2）最多可设计龙舟赛道的数量为4条．
【解答】解：（1）由题意得：主桥拱所在抛物线的顶点坐标为（30，9），
∴设y＝a（x﹣30）2+9，把O（0，0）代入y＝a（x﹣30）2+9中得：0＝a（0﹣30）2+9，
解得：a＝﹣0.01，
∴y＝﹣0.01（x﹣30）2+9；
（2）把y＝5代入y＝﹣0.01（x﹣30）2+9中得：5＝﹣0.01（x﹣30）2+9，
解得：x ＝10，x ＝50，
1 2
∴可设计赛道的宽度＝50﹣10＝40（m），
40 4
∴ = 4 ，
9 9
∴最多可设计龙舟赛道的数量为4条．
3．某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部L ，左、右门洞L ，L 均呈抛物线型，水平横梁AC
1 2 3
＝16m，L 的最高点B到AC的距离BO＝4m，L ，L 关于BO所在直线对称．MN，MP，NQ为框架，
1 2 3
点M，N在L 上，点P，Q分别在L ，L 上，MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC．以O为原点，以AC所在
1 2 3
直线为x轴，以BO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线L 的函数表达式；
1
3 5
（2）已知抛物线L 的函数表达式为y=− (x−4) 2 ，NQ= m，求MN的长．
3 16 2
1
【答案】（1）y=− x2+4；（2）12（m）．
16
【解答】解：（1）∵BO＝4m，
∴抛物线L 的顶点B坐标为（0，4），
1
设抛物线L 的函数表达式为y＝a（x﹣0）2+4，
1
∵AC＝16m，
结合二次函数的对称性得 A（﹣8，0），C（8，0），
将C（8，0）代入y＝a（x﹣0）2+4，
得0＝64a+4，
1
则a=− ，
16
1
∴y=− x2+4；
16
1
（2）由（1）得抛物线L 的函数表达式y=− x2+4，
1 165 3
∵MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC.NQ= m，且抛物线L 的函数表达式为y=− (x−4) 2 ，
2 3 16
1 3 5
∴y= y −y =− x2+4−[− (x−4) 2 ]= ，
N Q 16 16 2
整理得x2﹣3（x﹣4）2＝24，
∴x2﹣3x2+24x﹣48＝24，
∴x2﹣12x+36＝（x﹣6）2＝0，
解得x ＝x ＝6，
1 2
∴MN＝2×6＝12（m）．
4．中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图①是某高铁站的一个检票口，其大致
示意图如图②所示，检票口大门可看成是抛物线OPQ（点O与点Q关于抛物线的对称轴对称），OQ
＝8m，四边形 ACDB 区域为检票区域，点 A 与点 B 在抛物线上，已知检票闸机高 AC
5
=EF=HN=BD= m，AC、EF、HN、BD均与OQ垂直，A、E、H、B在一条水平直线上，O、C、
4
F、N、D、Q在一条水平直线上，以OQ所在直线为x轴，过点O且垂直于OQ的直线为y轴建立平面
8
直角坐标系，抛物线OPQ满足关系式y=ax2+ x（a为常数，且a≠0）．
3
（1）求a的值和抛物线的对称轴；
（2）已知闸机AC与EF之间的区域为应急通道，闸机EF与HN之间的区域为人工检票通道，闸机HN
5 5
与BD之间的区域为自动检票通道，若应急通道和人工检票通道的宽度均为 m（即AE=EH= m)，
4 4
求自动检票通道的总宽度BH．（闸机宽度忽略不计）
1 8
【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=− x2+ x，抛物线的对称轴为直线x＝4；
3 3
9
（2）自动检票通道的总宽度BH为 m．
2
【解答】解：（1）根据题意可得Q（8，0），
8
∴64a+ ×8=0，
3
1
解得a=− ，
31 8
∴抛物线的函数关系式为y=− x2+ x，
3 3
1 8 1 16
∵y=− x2+ x=− （x﹣4）2+ ，
3 3 3 3
∴抛物线的对称轴为直线x＝4；
5 1 8 5
（2）令y= ，得− x2+ x= ，
4 3 3 4
1 15
解得x = ，x =
1 2 2 2
1 5 15 5
∴点A的坐标为( ， )，点B的坐标为( ， )，
2 4 2 4
15 1
∴AB= − =7(m)，
2 2
5
∵AE=EH= m，
4
5 5 9
∴BH=7− − = (m)
4 4 2
9
即自动检票通道的总宽度BH为 m．
2
5．露营已成为一种休闲时尚活动，各式帐篷成为户外活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图1）支架简
单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用．
（1）【建立模型】如图2，甲款帐篷搭建时张开的宽度AB＝3m，顶部高度h＝1.8m．请在图2中以AB
的中点为原点建立平面直角坐标系，求帐篷支架对应的抛物线函数关系式．
（2）【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图 3为一把椅子摆入甲
款帐篷后的简易视图，椅子高度EC＝1m，宽度CD＝0.6m，若在帐篷内沿AB方向摆放一排此款椅子，
求最多可摆放的椅子数量．
（3）【分析计算】现要设计一款抛物线型帐篷，要求顶部高度为 2.5m，且一排能容纳5把高、宽分别
为1m和0.6m的椅子．设其抛物线型支架函数关系式的二次项系数为 a（a＜0），请写出a的最小值
2
− ．
3
4 3 3 2
【答案】（1）y=− (x+ )(x− )；（2）3张；（3）− ．
5 2 2 3
【解答】解：（1）由题意，以AB的中点为平面直角坐标系的原点，如图所示，∵A款帐篷搭建时张开的宽度AB＝3m，顶部高度h＝1.8m，
3 3
∴A(− ，0)，B( ，0)．
2 2
3 3
设抛物线函数关系式为y=b(x+ )(x− )，
2 2
∵抛物线经过点（0，1.8），
3 3
∴1.8=b×(0+ )×(0− )．
2 2
4 4 3 3
∴b=− ，即y=− (x+ )(x− )．
5 5 2 2
4 3 3
（2）由题意，y=− (x+ )(x− )，且椅子高度 EC＝1m，宽度 CD＝0.6m，
5 2 2
4 3 3
∴1=− (x+ )(x− )．
5 2 2
∴x ＝1，x ＝﹣1，
1 2
∴x ，x 的距离为2；
1 2
20 1
2÷0.6= =3 ＜4，
6 3
∵椅子数量为正整数，
∴最多可摆放的椅子数量为3张．
（3）由题意，设抛物线函数关系式为y＝ax2+2.5，
∵且一排能容纳5张高宽分别为1m和0.6m的椅子，∴即刚好经过点D点，
5×0.6 3
∴y ＝1，x = = ．
D D 2 2
3
∴y＝ax2+2.5经过点D( ，1)．
2
3
∴当y＝1时，即1=a×( ) 2+2.5．
2
2
∴a=− ．
3
2
∴a的最小值为− ．
3
2
故答案为：− ．
3
6．综合与实践
某小区考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头（如图1），喷淋头喷洒的最外层水柱的形状
可近似看作抛物线，如图 2，已知车棚建在 AD，BC 两面墙之间，CD 为水平地面，AD⊥CD，
BC⊥CD，消防喷淋头M安装在距离地面3米高的棚顶AB上，其到墙面AD的水平距离AM为3米，此
时最外层的水柱喷射到墙面AD上的点E处，DE＝1米，以D为坐标原点，DC所在直线为x轴，DA所
在直线为y轴建立平面直角坐标系，单位长度为1米．
（1）求最外层水柱所在抛物线的函数表达式；
（2）若在（1，2）处有一吊灯，吊灯遇水会发生触电危险，则此吊灯在消防喷淋头喷洒时是否存在安
全隐患？请判断并说明理由；
（3）已知车棚的宽度CD为11米，为了确保发生火灾时可以完全把火扑灭，喷出的水需要覆盖至少离
地面1米高的全部范围，工作人员想在棚顶AB上加装一个相同型号（喷出水柱的形状相同）的消防喷
淋头N，请求出消防喷淋头N与消防喷淋头M的距离MN的取值范围．
2
【答案】（1）y=− (x−3) 2+3；
9
（2）存在，理由见解析；
（3）5≤MN≤6．
【解答】解：（1）由题意得：M的坐标为（3，3），E点坐标为（0，1）
设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣3）2+3，将点E代入得：1＝a（0﹣3）2+3，
2
解得a=− ，
9
2
则抛物线的函数表达式为y=− (x−3) 2+3；
9
（2）此吊灯在消防喷淋头喷洒时存在安全隐患；理由如下：
2
将x＝1代入y=− (x−3) 2+3中，
9
2 19
得y=− ×(1−3) 2+3= ，
9 9
19
∵ ＞2，
9
∴消防喷淋头喷洒时存在安全隐患；
2
（3）将y＝1代入y=− (x−3) 2+3中，
9
2
得1=− (x−3) 2+3，
9
解得x ＝0，x ＝6，
1 2
即外层水柱在1米线处的外侧点坐标为（0，1）和（6，1），
设MN＝d，
记顶点为M的抛物线为L ，顶点为N的抛物线为L ，
M N
由题意可知，抛物线 L 可看作是由抛物线 L 向右平移得到的，可设抛物线 L 的函数表达式为
N M N
2
y=− (x−3−d) 2+3，
9
2
将（6，1）代入y=− (x−3−d) 2+3中，
9
2
得1=− (6−3−d) 2+3，
9
解得d ＝0（不合题意，舍去），d ＝6，
1 2
2
将（11，1）代入y=− (x−3−d) 2+3中，
9
2
得1=− (11−3−d) 2+3，
9
解得d ＝5，d ＝11（不合题意，舍去），
1 2
∴5≤d≤6，
综上所述，5≤MN≤6．
7．背景材料：某社区准备改造原半径为6m的水池中的喷泉设施（如图①），综合实践小组开展了优化
设计方案的综合实践活动．【建模分析】如图②，将喷泉最外侧水流抽象成抛物线，测量出如下数据：喷水口位置在水池中心点
O的正上方且竖直高度为2.25m，水流最高高度为3m，水流最高点距喷水管的水平距离为1m．
（1）以水池中心O为原点，水平向右方向为x轴正半轴，喷水管竖直向上方向为y轴正半轴，建立平
面直角坐标系，求原喷泉水流右支抛物线的函数表达式，并求出喷泉水流到喷水管的最大水平距离；
【优化设计】小组成员讨论后确定优化设计的方向，一是降低喷水口竖直高度，不降低喷出水流的最高
点；二是使得喷泉水流到喷水管的水平距离尽可能大，且喷出的水不落到水池外．
（2）若将喷出的水流的最高点水平向外移1m，高度不变，喷出的水流到喷水管的最大水平距离为
5m，请确定优化后喷水口的竖直高度；
【拓展研究】如图③，该小组进一步提出优化设计要求：为了使喷泉喷出的水流达到美观效果，要求
喷出的水流所在抛物线的最高高度m与水平宽度n的比接近黄金比0.618，确定水流离喷水管最大水平
距离为5.5m，喷水口离水面竖直高度为1.1m，喷出的水流的最高高度为3.6m．
（3）求进一步优化后喷出的水流所在抛物线的函数表达式，并通过计算评价所设计喷泉的美观度．
【答案】（1）3m；
5
（2） m；
3
（3）y＝﹣0.4（x﹣2.5）2+3.6，所设计的喷泉比较美观．
【解答】解：（1）由题可设原喷泉水流右支抛物线的函数表达式为y=a (x−1) 2+3(a ≠0)，
1 1
将（0，2.25）代入，得2.25=a (0−1) 2+3，
1
3
解得a =− ，
1 4
3
∴y=− (x−1) 2+3
4
3
令y＝0，得− (x−1) 2+3=0，
4
解得x ＝3，x ＝﹣1（不符合题意，舍去）．
1 2
∴喷泉水流到喷水管的最大水平距离为3m；
（2）∵将喷出的水流的最高点水平向外移1m，高度不变，
∴优化后喷泉水流右支抛物线的顶点坐标为（2，3），
∴设优化后喷泉水流右支抛物线的函数表达式为y=a (x−2) 2+3(a ≠0)，
2 2
将x＝5，y＝0代入，得a (5−2) 2+3=0，
21
解得a =− ，
2 3
1
∴优化后喷泉水流右支抛物线的函数表达式为y=− (x−2) 2+3，
3
5
当x＝0时，y= ，
3
5
∴优化后喷水口的竖直高度为 m；
3
（3）设进一步优化后抛物线的函数表达式为y=a (x−ℎ) 2+3.6(a ≠0)，
3 3
{ a ℎ 2+3.6=1.1， )
3
由题意可得：
a (5.5−ℎ) 2+3.6=0，
3
∴a ℎ 2=−2.5①，a (5.5−ℎ) 2=−3.6②，
3 3
∵a ≠0，h≠0，
3
5.5−ℎ 2 36
∴②÷①，得( ) = ，
ℎ 25
解得h＝2.5（负值已舍去），
代入①，得a ＝﹣0.4，
3
∴y＝﹣0.4（x﹣2.5）2+3.6，
当y＝0时，﹣0.4（x﹣2.5）2+3.6＝0，
解得x ＝﹣0.5，x ＝5.5，
1 2
∴n＝5.5﹣（﹣0.5）＝6，
∴m：n＝0.6接近黄金比0.618，
∴所设计的喷泉比较美观．
类型四：抛物线形的运动轨迹问题
1．掷实心球是高中阶段学校招生体育考试的选考项目，实心球行进路线是一条抛物线．在体育课上，刘
欣同学在练习投实心球时，某次实心球行进高度 y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系图象如图所
3
示，掷出时起点处的高度OA= m，当水平距离为2m时，实心球行进至最高点2m处．
2
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）若刘欣投实心球时正前方5m的点B处是一个沙坑距离刘欣最近的边缘，请你判断她此次投出的实
心球能否进入沙坑，并说明理由．
1
【答案】（1）y关于x的函数表达式为：y=− （x﹣2）2+2；
8（2）她此次投出的实心球能进入沙坑，理由见解答部分．
3
【解答】解：（1）由题意得：抛物线的顶点坐标为（2，2），点A坐标为（0， ），
2
设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣2）2+2，
3
∵经过点A（0， ），
2
3
∴ = a（0﹣2）2+2，
2
1
解得：a=− ，
8
1
∴y关于x的函数表达式为：y=− （x﹣2）2+2；
8
（2）她此次投出的实心球能进入沙坑．
1
理由：当y＝0时，0=− （x﹣2）2+2，
8
（x﹣2）2＝16，
解得：x ＝6，x ＝﹣2（不合题意，舍去），
1 2
∵6＞5，
∴她此次投出的实心球能进入沙坑．
2．【问题背景】
在小光同学为参加学校举办的乒乓球赛，利用乒乓球发球器（可调节高度）进行训练，在训练之前的要
先确定好发球器OC的发球点C的高度．他所在的数学兴趣小组对乒乓球发球器OC的发球过程进行了
记录和分析．
【探究过程】
如图是乒乓球发球器某次发球过程的部分示意图，已知球台OD的长约为2.8m，球网AB在球台OD的
中点处（点A是OD的中点），球网AB的高度约为0.15m，发球点的高度OC为0.5m，当乒乓球到OC
的距离为1m时，乒乓球离球台OD的最大高度是0.6m，BA⊥OD，CO⊥OD．
【模型建立】
设乒乓球距离发球点C的水平距离为x（m），乒乓球距离球台OD的竖直高度为y（m），以OD所在
直线为x轴，OC所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，乒乓球的运动轨迹可视为一条抛物
线．
【解决问题】
（1）求乒乓球运动轨迹所在抛物线的函数表达式；
（2）请你判断乒乓球发球器此次发出的球是否有效（球是否越过球网AB并落在球台BD上），并说明
理由．【答案】（1）y＝﹣0.1（x﹣1）2+0.6；（2）乒乓球越过了球网AB，乒乓球发球器此次发出的球无效，
理由见解析．
【解答】解：（1）由题意可得，抛物线的顶点坐标为（1，0.6），点C的坐标为（0，0.5），
∴可设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣1）2+0.6．
∴a+0.6＝0.5．
∴a＝﹣0.1．
∴乒乓球运动轨迹所在抛物线的函数表达式为y＝﹣0.1（x﹣1）2+0.6．
（2）乒乓球越过了球网AB，乒乓球发球器此次发出的球无效．理由如下：
由题意可得，A的横坐标为1.4，
∴当x＝1.4时，y＝﹣0.1×（1.4﹣1）2+0.6＝0.584．
∵0.584＞0.15，
∴乒乓球越过了球网AB．
又令y＝0，则﹣0.1（x﹣1）2+0.6＝0，
∴x =1−❑√6x =1+❑√6．
1 2
∵1+❑√6＞2.8，
∴乒乓球没有落在球台BD上．
综上，乒乓球发球器此次发出的球无效．
3．甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在 O点正上方1m的P处
发出一球，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式y＝a（x﹣4）2+h．已知
点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．
1
（1）当a=− 时．①求h的值；
24
②通过计算判断此球能否过网．
12
（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m，离地面的高度为 m的Q处时，乙扣
5
球成功，求a的值．
【答案】见试题解答内容1 1
【解答】解：（1）①当a=− 时，y=− （x﹣4）2+h，
24 24
1
将点P（0，1）代入，得：− ×16+h＝1，
24
5
解得：h= ；
3
1 5 1 5
②把x＝5代入y=− （x﹣4）2+ ，得：y=− ×（5﹣4）2+ =1.625，
24 3 24 3
∵1.625＞1.55，
∴此球能过网；
12
（2）把（0，1）、（7， ）代入y＝a（x﹣4）2+h，得：
5
{16a+
ℎ
=1
)
12
9a+
ℎ
=
5
1
{a=− )
5
解得 ，
21
=
ℎ
5
1
∴a=− ．
5
4．跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分
（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距
离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高，2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳
台的高度OA为66m，基准点K到起跳台的水平距离为75m，高度为hm（h为定值）．设运动员从起跳
点A起跳后的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．
1 9
（1）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a=− ，b= ，求基准点K的高度h；
50 10
1 9
②若a=− 时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为 b＞ ；
50 10
（2）若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好起跳点达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过
K点，并说明理由．9
【答案】（1）①21m；②b＞ ；
10
（2）能超过K点，理由见解析．
【解答】解：（1）①∵起跳台的高度OA为66m，
∴A（0，66），
把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得：c＝66，
1 9
∵a=− ，b= ，
50 10
1 9
∴y=− x2+ x+66，
50 10
∵基准点K到起跳台的水平距离为75m，
1 9
∴y=− ×752+ ×75+66=21，
50 10
∴基准点K的高度h为21m；
1 1
②∵a=− ，∴y=− x2+bx+66，
50 50
∵运动员落地点要超过K点，
∴x＝75时，y＞21，
1
即− ×752+75b+66＞21，
50
9
解得b＞ ，
10
9
故答案为：b＞ ；
10
（2）他的落地点能超过K点，理由如下：
∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，
∴抛物线的顶点为（25，76），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，
把（0，66）代入得：66＝a（0﹣25）2+76，2
解得a=− ，
125
2
∴抛物线解析式为y=− (x−25) 2+76，
125
2
当x＝75时，y=− ×(75−25) 2+76=36，
125
∵36＞21，
∴他的落地点能超过K点．
5．小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为x轴方向，1m为单
位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从y轴上的A点出手，运动路径可看作抛物线，在B
点处达到最高位置，落在x轴上的点C处．小明某次试投时的数据如图所示．
（1）在图中画出铅球运动路径的示意图；
（2）根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式；
（3）若铅球投掷距离（铅球落地点C与出手点A的水平距离OC的长度）不小于10m，成绩为优秀．
请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀．
【答案】（1）见解析；
1
（2）该抛物线的表达式为y=− (x−4) 2+3；
16
（3）小明此次试投的成绩达到优秀．
【解答】解：（1）如图所示．
（2）解：依题意，抛物线的顶点B的坐标为（4，3），点A的坐标为（0，2）．
设该抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+3，
由抛物线过点A，有16a+3＝2．
1
解得a=− ，
16
1
∴该抛物线的表达式为y=− (x−4) 2+3；
16
1
（3）解：令y＝0，得− (x−4) 2+3=0．
16
解得x =4+4❑√3，x =4−4❑√3（C在x轴正半轴，故舍去）．
1 2∴点C的坐标为（4+4❑√3，0）．
∴OC=4+4❑√3．
3 3
由❑√3＞ ，可得OC＞4+4× =10．
2 2
∴小明此次试投的成绩达到优秀．
6．如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距
O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起，根据
实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；
（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（取4❑√3=7）
（3）运动员乙要抢到足球第二个落点D，他应从B处再向前跑多少米？（取2❑√6=5）
1
【答案】（1）y=− （x﹣6）2+4；
12
（2）（6+4❑√3）米；
（3）（4❑√3+4❑√6）米．
【解答】解：（1）设足球开始飞出到第一次落地时，抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，
∵h＝6，k＝4，
∴y＝a（x﹣6）2+4，
由已知：当x＝0时，y＝1，
即1＝36a+4，
1
∴a=− ，
12
1
∴表达式为y=− （x﹣6）2+4；
12
1
（2）令y＝0，− （x﹣6）2+4＝0，
12∴（x﹣6）2＝48，
解得：x ＝6+4❑√3，x ＝6﹣4❑√3＜0（舍去），
1 2
∴足球第一次落地距守门员为（6+4❑√3）米；
（3）如图，
由（2）得，点C坐标为（6+4❑√3，0）．
1 5
设抛物线CND为y=− （x﹣m）2+ ，
12 2
1
将C点坐标代入得：− （6+4❑√3−m）2+2＝0，
12
解得：h ＝6+4❑√3−2❑√6（舍去），h ＝6+4❑√3+2❑√6．
1 2
1
∴抛物线CND为y=− （x﹣6﹣4❑√3−2❑√6）2+2，
12
1
令y＝0，0=− （x﹣6﹣4❑√3−2❑√6）2+2，
12
解得x ＝6+4❑√3（舍去），x ＝6+4❑√3+4❑√6，
1 2
∴D（6+4❑√3+4❑√6，0），
（6+4❑√3+4❑√6）﹣6＝（4❑√3+4❑√6）米．
答：他应从B处再向前跑（4❑√3+4❑√6）米．
