文数-答案_2.2025数学总复习_数学高考模拟题_2023年模拟题_老高考_河南省郑州外国语学校高三上学期1月调研考试（四）数学_河南省郑州外国语学校高三上学期1月调研考试（四）数学

郑州外国语学校 2022-2023 学年上期高三第四次调研考试数学（文科）答案 一．选择题 BADAB AADCB CD 5  3 二．填空题 13. 14． 15. 16．[2,+∞) 3 3 8 三．解答题（共6小题） 17．解：（1）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且csinBcosB+bsinBcosC= √3 b， 2 由正弦定理 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 得 𝑠𝑖𝑛𝐶𝑠𝑖𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐵+𝑠𝑖𝑛𝐵𝑠𝑖𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐶 = √3 𝑠𝑖𝑛𝐵，………….2分 𝑠𝑖𝑛𝐴 𝑠𝑖𝑛𝐵 𝑠𝑖𝑛𝐶 2 因为sinB≠0，所以𝑠𝑖𝑛𝐶𝑐𝑜𝑠𝐵+𝑠𝑖𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐶 = √3 ，所以𝑠𝑖𝑛(𝐵+𝐶) = 𝑠𝑖𝑛𝐴= √3 ， ………….4分 2 2 𝜋 2𝜋 因为0＜A＜π，所以𝐴 = 或𝐴 = ； ………….6分 3 3 2𝜋 （2）由A为钝角及（1）结论，则𝐴 = ， ………….7分 3 由余弦定理得a2＝b2+c2+bc， ………….8分 又𝑆 = 1 𝑏𝑐𝑠𝑖𝑛𝐴 = √3 𝑏𝑐， ………….9分 2 4 所以 𝑆 = √3 × 𝑏𝑐 ≤ √3 × 𝑏𝑐 = √3 ，当且仅当b＝c时取等号， 𝑎2 4 𝑏2+𝑐2+𝑏𝑐 4 2𝑏𝑐+𝑏𝑐 12 故 𝑆 的最大值为√3 ． ………….12分 （不写取“=”条件扣1分） 𝑎2 12 2 18．解：（1）因为a = − 𝑆 +1， n+1 𝑛 3 2 1 由a ＝1，所以a = − a +1= ， ………….1分 1 2 1 3 3 2 2 1 当n≥2时，a = − S +1，两式相减得，a ﹣a = − a ，即a = a (n ≥ 2) ………….2分 n n﹣1 n+1 n n n+1 n 3 3 3 1 易知，a = a ，符合上式， ………….3分 2 1 3 1 所以数列{a }是以1为首项， 为公比的等比数列， ………….4分 n 3 所以a ＝（ 1 ）n﹣1； ………….5分 n 3 𝑛−1 1 𝑏 = 2log 𝑎 +3 = 2log ( ) +3 = 2𝑛+1； ………….6分 𝑛 1 𝑛 1 3 3 3 𝑛(3+2𝑛+1) （2）证明：由（1）b ＝2n+1，所以T = =n（n+2）， ………….7分 n n 2 1 1 1 1 1 若c ＝ = = （ − ）， ………….9分 n 𝑇𝑛 𝑛(𝑛+2) 2 𝑛 𝑛+2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 所以R = [（1− ）+（ − ）+（ − ）+（ − ）+……+（ − ）+（ − ）] n 2 3 2 4 3 5 4 6 𝑛−1 𝑛+1 𝑛 𝑛+2 1 3 1 1 3 1 1 3 = （ − − ）= − − < 得证． ………….12分 2 2 𝑛+1 𝑛+2 4 2(𝑛+1) 2(𝑛+2) 4 第1页（共4页）19． 证明：（1）取PB的中点O，连接OA，OC， PBC是正三角形，COPB， 同理OAPB，又CO OAO，CO，OA平面AOC， PB平面AOC， …………………..…..2分 又AC平面AOC，ACPB， 四边形ABCD是边长2的菱形，ACBD， 又PB BDB，PB，BD平面PBD，AC平面PBD， ……………………..4分 PD平面PBD，ACPD； ………………..6分 （2） ∵面PBC面PAB 面PBC 面PAB=PB， CO⊂面PBC， CO⊥PB ∴CO⊥面PAB ………………..8分 CD//AB，AB平面PAB，CD 平面PAB，CD//平面PAB， ………………..9分 D到平面PAB的距离就是C到平面PAB的距离，即CO 3． ………………..10分 1 1 3 三棱锥PABD的体积V V  S CO   22 31．………………..12分 PABD DPAB 3 PAB 3 4 法2、∵面PBC面PAB 面PBC 面PAB=PB，OC⊂面PBC，OC⊥PB ∴CO⊥面PAB ………………..8分 ∵CO 3 且ABCD是菱形， 1 1 3 ∴V V V  S CO   22 31 …………..12分 PABD PABC CPAB 3 PAB 3 4 第2页（共4页）22．解：（1）由f（x）＝ax2﹣bx+lnx，得𝑓′(𝑥)=2𝑎𝑥−𝑏+ 1 ， ………….1分 𝑥 因为（1，f（1））在切线方程2x﹣2y﹣3＝0上， 所以2﹣2y﹣3＝0，解得𝑦=− 1 ，即𝑓(1)=− 1 ， ∵𝑓′(1)=1 2 2 1 𝑎−𝑏+𝑙𝑛1=− 所以{ 2， ………….3分 2𝑎−𝑏+1=1 1 解得𝑎 = ，𝑏 =1． ………….4分 2 （2）由（1）知，𝑓(𝑥)= 1 𝑥2−𝑥+𝑙𝑛𝑥， 2 则g(𝑥)= 1 𝑥2−𝑥+𝑙𝑛𝑥−𝑚𝑥(𝑚 ≥ 3 ) 2 2 1 𝑥2−(𝑚+1)𝑥+1 则g′(𝑥)= +𝑥−(𝑚+1)= （x＞0）， ………….5分 𝑥 𝑥 由g′（x）＝0，得x2﹣（m+1）x+1＝0， 因为x ，x （x ＜x ）是函数g（x）的两个极值点， 1 2 1 2 所以方程x2﹣（m+1）x+1＝0有两个不相等的正实根x ，x ， 1 2 1 所以x +x ＝m+1，x x ＝1，所以𝑥 = ． ………….6分 1 2 1 2 2 𝑥1 3 1 5 1 因为𝑚 ≥ ，所以𝑥 + =𝑚+1≥ ，解得0＜𝑥 ≤ 或x ≥2， 1 1 1 2 𝑥1 2 2 1 1 因为0＜𝑥 ＜𝑥 = ，所以0＜𝑥 ≤ ， ………….7分 1 2 1 𝑥1 2 所以g(𝑥 )−g(𝑥 )=𝑙𝑛𝑥 + 1 𝑥2−(𝑚+1)𝑥 −𝑙𝑛𝑥 − 1 𝑥2+(𝑚+1)𝑥 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 =𝑙𝑛 𝑥1+ 1 (𝑥2−𝑥2)−(𝑚+1)(𝑥 −𝑥 )=2𝑙𝑛𝑥 − 1 (𝑥2− 1 )， ………….8分 𝑥2 2 1 2 1 2 1 2 1 𝑥 1 2 令𝐹(𝑥)=2𝑙𝑛𝑥− 1 (𝑥2− 1 )(0＜𝑥 ≤ 1 )， 2 𝑥2 2 2 1 −(𝑥2−1)2 1 则𝐹′(𝑥)= −𝑥− = ＜0，所以F（x）在(0，]上单调递减，………….9分 𝑥 𝑥3 𝑥3 2 1 所以当𝑥 = 时，F（x）取得最小值， 2 1 1 1 15 即𝐹(𝑥) =2𝑙𝑛 − ( −4)= −2𝑙𝑛2， ………….10分 min 2 2 4 8 15 所以𝜆 ≤ −2𝑙𝑛2， ………….11分 8 15 即实数λ的最大值为 −2𝑙𝑛2． ………….12分 8 第3页（共4页）22. 解：(1)消去 ，得曲线C的标准方程：(𝑥−1)2+𝑦2 =1．………….2分 𝜋 由 𝑐𝑜𝑠( + )=0，得 𝑐𝑜𝑠 − 𝑠𝑖𝑛 =0， 4 直线l的直角坐标方程为 𝑥−𝑦=0 ………….5分 (2)圆心(1,0)到直线l的距离为𝑑 = 1− = √2 ， 𝐴𝐵 =2√12−( √2 )2 =√2， ………….7分 √1+1 2 2 则圆上的点M到直线l的最大距离为𝑑+ = √2 +1． ………….9分 2 𝐴𝐵 面积的最大值为：(𝑆 ) = 1 ×√2×( √2 +1)= √2+1 ………….10分 𝐴𝐵 𝑚𝑎𝑥 2 2 2 第4页（共4页）