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专题 13.1 轴对称的几何综合
【典例1】“将军饮马问题”：如图1所示，将军每天从山脚下的A点出发，走到河旁边的C点饮马后再到
B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？某课题组在探究这一问题时抽象出数学模型：直线l同旁有两
个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．
解法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为线段
A′B的长．
（1）根据上面的描述，在备用图中画出解决“将军饮马问题”的图形；
（2）利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是______．
（3）应用：
①如图2，已知∠AOB=30°，其内部有一点P，OP=12，在∠AOB的两边分别有C、D两点（不同于点
O），使△PCD的周长最小，请画出草图，并求出△PCD周长的最小值；
②如图3，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上的中线且BF=b，点D在BF上，连接AD，在AD的右
侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是______，此时∠CFE=______．
【思路点拨】
（1）根据轴对称的性质作出图形；
（2）根据两点之间线段最短解答；
（3）①分别作P关于OA、OB的对称点M、N，根据轴对称的性质得到△PCD，根据等边三角形的判定
定理和性质定理解答；②根据等边三角形的性质可证△BAD≌△CAE(SAS)，根据全等的性质和三线合一
可得∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°，所以点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），作点A关于CE的
对称的M，连接FM交CE于E′，此时AE+EF的值最小，此时AE+EF=FM，所以△AEF周长的最小值
1
是AF+AE+EF=AF+MF= a+b，∠CFE=90°．
2【解题过程】
（1）解：作图如下：
（2）利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是两点之间线段最短，
故答案为：两点之间线段最短；
（3）①分别作P关于OA、OB的对称点M、N，
连接MN，交OA、OB于C、D，则△PCD的周长最小，
连接OM、ON，如图，
由轴对称的性质可知，OM=OP=12，ON=OP=12，CP=CM，DP=DN，
∠MON=2∠AOB=60°，
∴△MON为等边三角形，
∴MN=12，
∴△PCD的周长=PC+CD+DC=CM+CD+DN=MN=12；
②∵△ABC、△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠ABD=∠ACE，
∵AF=CF，
∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°，
∴点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），
作点A关于CE的对称的M，连接FM交CE于E′，如图，此时AE+EF的值最小，此时AE+EF=FM，
∵CA=CM，∠ACM=60°，
∴△ACM是等边三角形，
∴△ACM≌△ACB，
∴FM=FB=b，
1
∴△AEF周长的最小值是AF+AE+EF=AF+MF= a+b，∠CFE=90°．
2
1．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AB=5，
AD是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，求PC+PQ的最小值．
2．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，若△ABC为等
边三角形，∠BAD=90°，AD=DC=2．（1）求证：BD垂直平分AC；
（2）求BE的长；
（3）若点F为BC的中点，请在BD上找出一点P，使PC+PF取得最小值；PC+PF的最小值为______
（直接写出结果）．
3．（2023秋·八年级课时练习）如图，在四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F分别是
BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，求∠EAF的度数．
4．（2023春·江西抚州·八年级校考阶段练习）等边△ABC的边长为1，△BCD是∠BDC=120度的等腰
三角形，延长AC至E，使CE=BM，连接DE，以D为顶点做等边△DMN，两边分别交AB,AC于M、
N①图中有两个三角形可以相互旋转得到吗？若有指出这两个三角形，并指出旋转中心及旋转角的度数．
②图中有成轴对称图形的两个三角形吗？若有，指出对称轴．
③求△AMN的周长．
5．（2022秋·广东广州·八年级广州市第七中学校考期中）如图，等腰三角形ABC的周长是21cm，底边
BC=5cm．
（1）求AB的长；
（2）若N是AB的中点，点P从点B出发以2cm/s的速度向点C运动．同时点Q从点C出发向点A运动，
当△BPN与△CQP全等时，求点Q的速度．
（3）点D,E,F分别是BC,AB,AC上的动点，当△≝¿的周长取最小值时，探究∠EDF与∠A之间的数
量关系，并说明理由．
6．（2023春·福建泉州·七年级统考期末）如图1，已知△ABC的内角∠ACB的平分线CD与它的一个外角
∠EAC的平分线AF所在的直线交于点D．（1）求证：∠B=2∠D；
（2）若作点D关于AC所在直线的对称点D′，并连接AD′、CD′．
①如图2，当∠BAC=90∘时，求证：AD⊥AD′；
②如图3，当AC=BC时，试探究∠DAD′与∠D之间的数量关系，并说明理由．
7．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图1，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点
D在BC边上，连接AD，AE⊥AD，AE=AD，连接CE，DE．
（1）求证：∠B=∠ACE；
（2）点A关于直线CE的对称点为M，连接CM，EM．
①补全图形并证明∠EMC=∠BAD；
②试探究，当D，E，M三点恰好共线时．∠BAD的度数为___________．
8．（2022秋·北京海淀·八年级101中学校考期中）在等边△ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称
点为D，连接BD，CD，其中CD交直线AP于点E．（1）如图1，若∠PAB=30°，则∠ACE=_________；
（2）如图2，若60°<∠PAB<90°，请补全图形，判断由线段AB，CE，ED可以构成一个含有多少度角
的三角形，并说明理由．
9．（2022秋·福建厦门·八年级厦门五缘实验学校校考期中）如图，∠MON=60°，点A、B分别是射线
OM、射线ON上的动点，连接AB，∠AMB的角平分线与∠NBA的角平分线交于点P．
（1）当OA=OB时，求证：AP∥OB；
（2）在点A、B运动的过程中，∠P的大小是否发生改变？若不改变，请求出∠P的度数；若改变请说明
理由；
（3）连接OP，C是线段OP上的动点，D是线段OA上的动点，当S =12，OB=6时，求AC+CD的
△AOB
最小值．
10．（2023秋·四川绵阳·八年级统考期末）如图，△ABC为等腰三角形，AC=BC，△BDC和△AEC分
别为等边三角形，AE与BD交于点F，连接CF并延长，交AB于点G．（1）求证：CG⊥AB；
（2）如图2，点M为CE边上点，连接AM，且∠MAE=∠BAE．
①证明：∠ACD=∠MAB；
②若CD⊥CE，点P为线段AM上动点，若AB=3，求PC−PB的最大值．
11．（2023春·四川成都·八年级校考期中）阅读下面材料：
小胖同学遇到这样一个问题：如图1，点D为△ABC的边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，
∠EDF=90°，试比较BE+CF与EF的大小．
小胖通过探究发现，延长FD至点G，使得DG=DF，连接F′E和F′B，如图2：可以得到一对全等三角形和一个等腰三角形，从而解决问题．
试回答：
（1）小胖同学发现BE+CF与EF的大小关系是 ．
（2）证明小胖发现的结论．
（3）如图3，BC=3，∠BAC=30°，△ABC的面积为12，点D是边BC上一点（点D不与B、C两点重
合），点E、F分别是边AB、AC上一点，求△≝¿周长的最小值．
12．（2023·广东广州·统考二模）在△ABC中，∠B=90°，D为BC延长线上一点，且EA=EC=ED．（1）如图1，当∠BAC=35°时，则∠AED=_________；
（2）如图2，当∠BAC=60°时，
①连接AD，判断△AED的形状，并证明；
②直线CF与ED交于点F，满足∠CFD=∠CAE，P为直线CF上一动点．
当PE−PD的值最大时，判断PE、PD与AB之间的数量关系，并证明．
13．（2023秋·北京东城·八年级统考期末）已知：在△ABC中，∠CAB=2∠B．点D与点C关于直线AB
对称，连接AD，CD，CD交直线AB于点E．（1）当∠CAB=60°时，如图1．用等式表示，AD与AE的数量关系是： ，BE与AE的数量关系是：
；
（2）当∠CAB是锐角(∠CAB≠60°)时，如图2；当∠CAB是钝角时，如图3．在图2，图3中任选一种
情况，
①依题意补全图形；
②用等式表示线段AD，AE，BE之间的数量关系，并证明．
14．（2023春·四川达州·八年级校联考期中）在△ABC 中，AB=AC，∠ABC=α，点 D 是直线 BC上一点，点 C 关于射线 AD的对称点为点 E．作直线 BE 交射线 AD于点 F．连接 CF．
（1）如图 1，点 D 在线段 BC 上，求∠AFB 的大小（用含α 的代数式表示）；
（2）如果∠α=60°，
①如图 2，当点 D 在线段 BC上时，用等式表示线段 AF，BF，CF 之间的数量关系，并证明；
②如图 3，当点 D 在线段 CB 的延长线上时，补全图形，直接写出线段 AF、BF、CF之间的数量关
系．
15．（2023·全国·八年级专题练习）在直角三角形ABC中，∠C=90°，点D，E分别在AB，AC上，将△DEA沿DE翻折，得到△≝¿．
（1）如图①，若∠CED=70°，则∠CEF=______°；
（2）如图②，∠BDF的平分线交线段BC于点G.若∠CED=∠BDG，求证BC∥DF．
（3）已知∠A=α，∠BDF的平分线交直线BC于点G.当△≝¿的其中一条边与BC平行时，直接写出
∠BGD的度数（可用含α的式表示）．
16．（2022秋·福建福州·八年级校考阶段练习）如图，等边△ABC中，过点A在AB边的右侧作射线AP
，∠BAP＝α (30°＜α＜90°)，点B与点E关于直线AP对称，连接AE，BE，且BE交射线AP于点D，过C、E两点作直线交射线AP于点F．
（1）当α＝40°时，求∠AEC的度数；
（2）在变换过程中，∠AFE的大小是否发生变化？如果变化，写出变化的范围，如果不变化，求
∠AFE的大小；
（3）在变化过程中，直接写出线段AF，CF，DF之间的数量关系．
17．（2022秋·吉林松原·八年级统考期中）如图①，在△ABD中，∠ABD=90°，∠A=60°，
AB=2cm，以BD为直角边在BD的上方作直角三角形BCD，使∠BDC=90°，且BC∥AD，点E是AD
的中点，点P从点A出发，沿折线AB−BC以1cm/s的速度向终点C运动，连接PE，设点P的运动时间为t（s）．
（1）求证：△ABD≌△CDB；
（2）用含t的式子表示PB的长；
（3）当PE将四边形ABCD的周长分成2:3两部分时，求t的值；
（4）如图②，在点P运动的过程中，作点A关于直线PE的对称点A′，连接A′E，当A′E所在直线与四边
形ABCD的边垂直时，请直接写出∠AEP的度数．
18．（2023秋·重庆涪陵·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为AB
边上一点，连结CD，过点B作BE⊥CD交CD的延长线于点E．（1）如图1，若∠BCE=2∠DBE，BE=4，求△ABC的面积；
（2）如图2，延长EB到点F使EF=CE，分别连结CF，AF，AF交EC于点G．求证：BF=2EG．
（3）如图3，若AC=AD，点M是直线AC上的一个动点，连结MD，将线段MD绕点D顺时针方向旋转
90°得到线段M′D，点P是AC边上一点，AP=3PC，Q是线段CD上的一个动点，连结PQ，QM′．当
PQ+QM′的值最小时，请直接写出∠PQM′的度数．
