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专题 14.1 整式的乘除
◆ 思想方法
整体思想：指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的
联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未
知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解
决。
配方法：配方，主要指的是配成平方公式，或二数和的平方，或二数差的平方，将配成的“平方”视
作为一个整体，然后再根据已知条件进行运算，从而使题目简化得以解答。
配方的方法：
①根据已知条件的表现形式，去发现平方项和一次项的乘积形式，如果平方项互为倒数，则往往一次
项以常数出现，隐藏了一次项的乘积不易发现，此时，就要抓住平方公式的特点去发现和挖掘；
②从要求的结果方面去配方，将要求的表达式向着已知条件的表现形式去配方，利用已知条件达到解
题的目的.由于配方扩大了已知条件和要求解的范围，可能会产生不符合要求的结果，就要根据已知条件
和所要求解的结果进行讨论，舍去不符合题意的答案.
◆ 知识点总
结
一、幂的运算
1.同底数幂的乘法：am·an=am+n。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
2.幂的乘方：(am)n=amn。幂的乘方，底数不变，指数相乘。
3.积的乘方：(ab)n=anbn。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
4.同底数幂的除法：am÷an=am-n。同底数幂相除，底数不变，指数相减。
注：任何不等于0的数的0次幂都等于1。
二、 整式的乘法
单项式×单项式：系数相乘，字母相乘．
单项式×多项式：乘法分配律．
多项式×多项式：乘法分配律．三、整式的除法
单项式÷单项式：系数相除，字母相除．
多项式÷单项式：除法性质．
多项式÷多项式：大除法．
四、乘法公式
1.平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫做
平方差公式。
2.完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，
加上（或减去）它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。
◆ 典例分析
【典例1】阅读理解：
若 满足 ，求 的值．
x (60−x)(x−40)=20 (60−x) 2+(x−40) 2
解：设60−x=a，x−40=b，
则ab=20，a+b=60−x+x−40=20．
∴
(60−x) 2+(x−40) 2
=a2+b2
=(a+b) 2−2ab
=202−2×20
=360；
类比探究：
（1）若 满足 ，求 的值．
x (70−x)(x−20)=−30 (70−x) 2+(x−20) 2
9
（2）若x满足(3−4x)(2x−5)= ，求(3−4x) 2+4(2x−5) 2的值．友情提示（2）中的4(2x−5) 2可通过
2逆用积的乘方公式变成 2．
[2(2x−5))
（3）若 满足 ，求 的值．
x (2023−x) 2+(2020−x) 2=2061 (2023−x)(2020−x)
解决问题：
（4）如图，正方形AEGO和长方形KLMC重叠，重叠部分是长方形BEFC其面积是300，分别延长FC、
BC交AO和OG于D、H两点，构成的四边形ABCD和CFGH都是正方形，四边形ODCH是长方形.设
CM=x，KC=3CM=3x，KB=54，FM=20，延长AO至P，使OP=2OD，延长AE至R，使
ℜ=2BE，过点P、R作AP、AR垂线，两垂线交于点N，求正方形ARNP的面积.（结果是一个具体的数
值）
【思路点拨】
（1）根据例题的解题思路进行计算，即可解答；
9
（2）将(3−4x)(2x−5)= 转化为(3−4x)[2(2x−5)]=9，即(3−4x)(4x−10)=9，再根据例题的
2
解题思路进行计算，即可解答；
（3）根据例题的解题思路进行计算，即可解答；
（4）根据已知可得BC=3x−54，CF=x−20，从而可得BC⋅CF=(3x−54)(x−20)=300，再根据题
意得：AB=BC=3x−54，CF=BE=x−20，从而可得BR=3BE=3(x−20)，进而可得
AR=(3x−54)+(3x−60)，然后利用（3）的解题思路进行计算，即可解答．
【解题过程】
解：（1）设70−x=a，x−20=b，
则ab=−30，a+b=70−x+x−20=50，
∴(70−x) 2+(x−20) 2
=a2+b2=(a+b) 2−2ab
=502−2×(−30)
=2500+60
=2560，
的值为2560；
∴(70−x) 2+(x−20) 2
9
（2）∵(3−4x)(2x−5)= ，
2
∴(3−4x)[2(2x−5)]=9，
∴(3−4x)(4x−10)=9，
设3−4x=m，4x−10=n，
则m+n=3−4x+4x−10=−7，mn=9，
∴(3−4x) 2+4(2x−5) 2
=(3−4x) 2+[2(2x−5)] 2
=(3−4x) 2+(4x−10) 2
=m2+n2
=(m+n) 2−2mn
=(−7) 2−2×9
=49−18
=31，
的值为 ；
∴(3−4x) 2+4(2x−5) 2 31
（3）设2023−x=p，2020−x=q，
则p−q=2023−x−(2020−x)=3，p2+q2=2061，
∴2pq=p2+q2−(p−q) 2
=2061−32
=2061−9=2052，
∴(2023−x)(2020−x)=pq=1026，
∴(2023−x)(2020−x)的值为1026；
（4）∵CM=x，KC=3CM=3x，KB=54，FM=20，
∴BC=KC−KB=3x−54，CF=CM−FM=x−20，
∵长方形BEFC的面积是300，
∴BC⋅CF=(3x−54)(x−20)=300，
由题意得：AB=BC=3x−54，CF=BE=x−20，
∵ER=2BE，
∴BR=3BE=3(x−20)，
∴AR=AB+BR=(3x−54)+3(x−20)=(3x−54)+(3x−60)，
∵(3x−54)(x−20)=300，
∴(3x−54)[3(x−20)]=900，
∴(3x−54)(3x−60)=900，
设3x−54=a，3x−60=b，
则a−b=3x−54−(3x−60)=6，ab=900，
∴正方形ARNP的面积=AR2
=[(3x−54)+(3x−60)] 2
=(a+b) 2
=(a−b) 2+4ab
=62+4×900
=36+3600
=3636，
∴正方形ARNP的面积为3636．
◆ 学霸必刷
1．（2023下·湖南永州·七年级校考阶段练习）已知实数a，b满足a−b2=4，则代数式3a−a2−b2的最大
值为（ ）A．－4 B．－5 C．4 D．5
2．（2023下·安徽宿州·七年级安徽省泗县中学校联考阶段练习）在数学中，为了书写简便，18世纪数学
n
家欧拉就引进了求和符号“ ”．如：记 ；
∑ ∑❑k=1+2+3+⋅⋅⋅+(n−1)+n
k=1
n n
．已知： ，则 的值是
∑(x+k)=(x+1)+(x+2)+⋅⋅⋅+(x+n) ∑[(x+k)(x−k+1))=4x2+4x+m m
k=1 k=1
（ ）
A．40 B．−70 C．−40 D．−20
3．（2023下·重庆沙坪坝·七年级重庆一中校考期中）对于五个整式，A：2x2；B：x+1；C：−2x；D：
y2；E：2x−y有以下几个结论：
①若y为正整数，则多项式B⋅C+A+D+E的值一定是正数；
②存在有理数x，y，使得A+D+2E的值为−2；
③若关于x的多项式M=3(A−B)+m⋅B⋅C（m为常数）不含x的一次项，则该多项式M的值一定大于
−3．上述结论中，正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2023下·安徽淮北·七年级校联考期末）关于x的多项式：
，其中 为正整数，若各项系数各不相同且均不为0，我们
a xn+a xn−1+a xn−2+⋯+a x2+a x+a n
n n−1 n−2 2 1 0
称这样的多项式为“亲缘多项式”．
① 是“亲缘多项式”．
(2x−1) 2
②若多项式 和 均为“亲缘多项式”，则
a x3+a x2+a x+a b x4+b x3+b x2+b +b
3 2 1 0 4 3 2 1 0
也是“亲缘多项式”．
a x3+a x2+a x+a +b x4+b x3+b x2+b +b
3 2 1 0 4 3 2 1 0
③多项式 是“亲缘多项式”且 ．
(2x−1) 4=b x4+b x3+b x2+b x+b b +b +b =41
4 3 2 1 0 4 2 0
④关于 的多项式 ，若 ， ， 为正整数，则 为“亲缘多项式”．
x (ax+b) n a≠b ab≠0 n (ax+b) n
以上说法中正确的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2023下·湖南怀化·七年级统考期末）计算：
1012÷ {( 1− 1 )( 1− 1 )( 1− 1 ) … ( 1− 1 )( 1− 1 )) = ．
22 32 42 20222 20232
1
6．（2022下·四川成都·七年级校考阶段练习）已知x2+2x−1＝0，则x3−5x+4的值为 ；x2+
x2
的值为 ．
7．（2023·上海·七年级假期作业）请同学运用计算 ，解决问题：
(a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
已知x、y、z满足 ，求 的最大值是 ．
x2+ y2+z2=4 (x−y) 2+(y−z) 2+(z−x) 2
8．（2022上·北京海淀·七年级清华附中校考期末）设x，y满足 ，
(x−1) 3+4044 y=2022
，则 ．
(y−1) 3+4044x=6066 (x+ y) 3=
9．（2022下·福建三明·七年级校考阶段练习）若A＝（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1，
则A－2022的末位数字是 ．
10．（2022上·上海青浦·七年级校考期中）已知整数a，b，c满足a2+b2+c2+7<ab+bc+4b，试求a，
b，c可能的值．
11．（2023下·浙江温州·七年级校考阶段练习）阅读材料，完成相应任务：“贾宪三角”又称“杨辉三
角”，在欧洲则称为“帕斯卡三角”（如图所示），它揭示了 （n为非负数）展开式的各项系数的
(a+b) n
规律．(a+b) 1=a+b (a+b) 2=a2+2ab+b2
(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b) 4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
根据上述规律，完成下列问题：
（1）直接写出 _________．
(a+b) 5=
（2） 的展开式中a项的系数是__________．
(a+1) 8
（3）利用上述规律求115的值，写出过程．
12．（2023下·江苏·七年级统考阶段练习）阅读：在计算 的过程中，我
(x−1)(xn+xn−1+xn−2+⋯+x+1)
们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类
问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示：
【观察】① ；
(x−1)(x+1)=x2−1
② ；
(x−1)(x2+x+1)=x3−1
③ ；
(x−1)(x3+x2+x+1)=x4−1
……
（1）【归纳】由此可得： ________；
(x−1)(xn+xn−1+xn−2+⋯+x+1)=
（2）【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：22023+22022+22021+⋯+22+2+1=_______；
（3）计算：220−219+218−217+⋯−23+22−2+1=______；
（4）若x5+x4+x3+x2+x+1=0，求x2022的值．13．（2023下·河北石家庄·七年级校考阶段练习）如果xn= y，那么我们规定(x,y]=n．例如：因为
42=16，所以(4,16]=2．
（1）(−2,16)=______ ；若(2,y]=6，则y=______ ；
（2）已知(4,12]=a，(4,5]=b，(4,y]=c，若a+b=c，求y的值；
2ab
（3）若(5,10]=a，(2,10]=b，令t= ．
a+b
①求25a的值；
16b
②求t的值．
14．（2023下·广东佛山·七年级统考阶段练习）【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是
指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到
代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完
美数”．理由：因为5=22+12，所以5是“完美数”．
【解决问题】
（1）数61 “完美数”（填“是”或“不是”）；
【探究问题】
（2）已知x2+2y2−4x+4 y+6=0，则x+ y= ；
（3）已知S=5x2+ y2+2xy+12x+k（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件
的k值；
【拓展结论】
2
（4）已知x、y满足−x2+ x−y+1=0，求7x−3 y的最小值．
315．（2023下·安徽淮南·七年级校考期中）阅读理解：
条件①：无论代数式A中的字母取什么值，A都不小于常数M；
条件②：代数式A中的字母存在某个取值，使得A等于常数M；
我们把同时满足上述两个条件的常数M叫做代数式A的下确界．
例如：
，
x2+2x+5=x2+2⋅x⋅1+12−12+5=(x+1) 2+4
，
∵(x+1) 2≥0
∴x2+2x+5≥4（满足条件①）
当x=−1时，x2+2x+5=4（满足条件②）
∴4是x2+2x+5的下确界．
又例如：
，
x2+2|x)+5=|x) 2+2⋅|x)⋅1+12−12+5=(|x)+1) 2+4
由于|x|≠−1，所以x2+2|x|+5≠4，（不满足条件②）
故4不是x2+2|x|+5的下确界．
请根据上述材料，解答下列问题：
（1）求x2−4x+1的下确界．
（2）若代数式2x2+mx+3的下确界是1，求m的值．
（3）求代数式x2+2y2+2xy−2x−4 y+10的下确界．16．（2022下·河北保定·七年级校考期中）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长
方形，拼成了一个如图2所示的正方形．
（1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和．
方法1：___________；
方法2：___________．
（2）请你直接写出三个代数式： ， ， 之间的等量关系．
(a+b) 2 a2+b2 ab
根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
（3）已知 ， ，求 ___________．
m+n=5 m2+n2=20 (m−n) 2=
（4）已知 ，求 的值．
(x−2021) 2+(x−2023) 2=34 (x−2022) 217．（2023下·重庆沙坪坝·七年级重庆八中校考阶段练习）如图1是长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚
线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．
（1）观察图2，请你写出 之间的等量关系：__________；
(a+b) 2 、(a−b) 2 、ab
9
（2）根据（1）中的结论，若x+ y=5,xy= ，求(x−y) 2的值；
4
（3）请求解下面实际问题：
如图3，已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE=1,CF=3，长方形EMFD
的面积是48，分别以MF、DF为边长作正方形MFRN和正方形GFDH，求阴影部分的面积．18．（2023下·四川达州·七年级统考期末）知识生成：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示
一些代数恒等式．
例如：由图①可以得到 ，基于此，请解答下列问题：
(a+b) 2=a2+2ab+b2
（1）直接应用：若xy=5，x+ y=7，直接写出x2+ y2的值为___________；
（2）类比应用：填空：
①若 ，则 ___________；
x(4−x)=2 x2+(x−4) 2=
②若 ，则 ___________；
(x−3)(x−5)=2 (x−3) 2+(x−5) 2=
（3）知识迁移：如图②，一农家乐准备在原有长方形用地（即长方形ABCD）上进行装修和扩建，先用
长为120m的装饰性篱笆围起该长方形用地，再以AD，CD为边分别向外扩建正方形ADGH、正方形
DCEF的空地，并在这两块正方形空地上建造功能性花园，该功能性花园面积和为2000m2，求原有长方
形用地ABCD的面积．19．（2023下·江苏扬州·七年级统考期末）阅读理解并解答：在学完乘法公式 后，王
(a±b) 2=a2±2ab+b2
老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式−x2+2x+3的最大值吗？
【初步思考】
同学们经过交流、讨论，总结出如下方法：
解：
−x2+2x+3=−(x2−2x)+3=−(x2−2x+1−1)+3
=−(x2−2x+1)+1+3=−(x2−2x+1)+4=−(x−1) 2+4
因为 ，
(x−1) 2≥0
所以 ．
−(x−1) 2≤0
所以当 时， 的值最大，最大值是0.
x=1 −(x−1) 2
所以当 时， 的值最大，最大值是4.
−(x−1) 2=0 −(x−1) 2+4
所以−x2+2x+3的最大值是4
【尝试应用】
（1）求代数式−x2+4x+10的最大值，并写出相应的x的值．
（2）已知A=2x2−4x+1，B=x2+8x−37，请比较A与B的大小，并说明理由．
【拓展提高】
（3）将一根长50cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形
面积之和有无最小（或最大）值？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度；若没有，请说明理由．20．（2023下·辽宁沈阳·七年级沈阳市南昌初级中学（沈阳市第二十三中学）校考阶段练习）材料一：把
几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以
求出一些不规则图形的面积．例如，由图1，可得等式：(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2
（1）如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，请你用两种不同
的方法求图2大正方形的面积（用含a，b的式子表示）：
方法一：________________；方法二：________________；
对于以上，你能发现什么结论？请用等式表示出来________________（直接写出等式）
（2）利用（1）中所得到的结论，填空：
①已知上述等式中的三个字母a，b，c可取任意实数，若a=7x−5，b=−4x+2，c=−3x+4，且
a2+b2+c2=37，请利用（1）所得的结论求ab+bc+ac的值为________；
1
②若三个实数x，y，z满足2x×4y×8z= ，x2+4 y2+9z2=40，则2xy+3xz+6 yz的值为________；
16
材料二：若m2+2mn+2n2−6n+9=0，求m，n的值．
解：∵m2+2mn+2n2−6n+9=0，
∴m2+2mn+n2+n2−6n+9=0，
，
∴(m+n) 2+(n−3) 2=0
∴m+n=0，n−3=0，
∴m=−3，n=3．
问题：
（3）若x2+2y2−2xy+4 y+4=0，则y2的值为________；（4）试探究关于x，y的代数式5x2+9 y2−12xy−6x+2032是否存在最小值？若存在，求出最小值及此
时x，y的值；若不存在，请说明理由．
