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专题 14.1 整式的乘除
◆ 思想方法
整体思想：指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的
联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未
知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解
决。
配方法：配方，主要指的是配成平方公式，或二数和的平方，或二数差的平方，将配成的“平方”视
作为一个整体，然后再根据已知条件进行运算，从而使题目简化得以解答。
配方的方法：
①根据已知条件的表现形式，去发现平方项和一次项的乘积形式，如果平方项互为倒数，则往往一次
项以常数出现，隐藏了一次项的乘积不易发现，此时，就要抓住平方公式的特点去发现和挖掘；
②从要求的结果方面去配方，将要求的表达式向着已知条件的表现形式去配方，利用已知条件达到解
题的目的.由于配方扩大了已知条件和要求解的范围，可能会产生不符合要求的结果，就要根据已知条件
和所要求解的结果进行讨论，舍去不符合题意的答案.
◆ 知识点总
结
一、幂的运算
1.同底数幂的乘法：am·an=am+n。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
2.幂的乘方：(am)n=amn。幂的乘方，底数不变，指数相乘。
3.积的乘方：(ab)n=anbn。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
4.同底数幂的除法：am÷an=am-n。同底数幂相除，底数不变，指数相减。
注：任何不等于0的数的0次幂都等于1。
二、 整式的乘法
单项式×单项式：系数相乘，字母相乘．
单项式×多项式：乘法分配律．
多项式×多项式：乘法分配律．三、整式的除法
单项式÷单项式：系数相除，字母相除．
多项式÷单项式：除法性质．
多项式÷多项式：大除法．
四、乘法公式
1.平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫做
平方差公式。
2.完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，
加上（或减去）它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。
◆ 典例分析
【典例1】阅读理解：
若 满足 ，求 的值．
x (60−x)(x−40)=20 (60−x) 2+(x−40) 2
解：设60−x=a，x−40=b，
则ab=20，a+b=60−x+x−40=20．
∴
(60−x) 2+(x−40) 2
=a2+b2
=(a+b) 2−2ab
=202−2×20
=360；
类比探究：
（1）若 满足 ，求 的值．
x (70−x)(x−20)=−30 (70−x) 2+(x−20) 2
9
（2）若x满足(3−4x)(2x−5)= ，求(3−4x) 2+4(2x−5) 2的值．友情提示（2）中的4(2x−5) 2可通过
2逆用积的乘方公式变成 2．
[2(2x−5))
（3）若 满足 ，求 的值．
x (2023−x) 2+(2020−x) 2=2061 (2023−x)(2020−x)
解决问题：
（4）如图，正方形AEGO和长方形KLMC重叠，重叠部分是长方形BEFC其面积是300，分别延长FC、
BC交AO和OG于D、H两点，构成的四边形ABCD和CFGH都是正方形，四边形ODCH是长方形.设
CM=x，KC=3CM=3x，KB=54，FM=20，延长AO至P，使OP=2OD，延长AE至R，使
ℜ=2BE，过点P、R作AP、AR垂线，两垂线交于点N，求正方形ARNP的面积.（结果是一个具体的数
值）
【思路点拨】
（1）根据例题的解题思路进行计算，即可解答；
9
（2）将(3−4x)(2x−5)= 转化为(3−4x)[2(2x−5)]=9，即(3−4x)(4x−10)=9，再根据例题的
2
解题思路进行计算，即可解答；
（3）根据例题的解题思路进行计算，即可解答；
（4）根据已知可得BC=3x−54，CF=x−20，从而可得BC⋅CF=(3x−54)(x−20)=300，再根据题
意得：AB=BC=3x−54，CF=BE=x−20，从而可得BR=3BE=3(x−20)，进而可得
AR=(3x−54)+(3x−60)，然后利用（3）的解题思路进行计算，即可解答．
【解题过程】
解：（1）设70−x=a，x−20=b，
则ab=−30，a+b=70−x+x−20=50，
∴(70−x) 2+(x−20) 2
=a2+b2=(a+b) 2−2ab
=502−2×(−30)
=2500+60
=2560，
的值为2560；
∴(70−x) 2+(x−20) 2
9
（2）∵(3−4x)(2x−5)= ，
2
∴(3−4x)[2(2x−5)]=9，
∴(3−4x)(4x−10)=9，
设3−4x=m，4x−10=n，
则m+n=3−4x+4x−10=−7，mn=9，
∴(3−4x) 2+4(2x−5) 2
=(3−4x) 2+[2(2x−5)] 2
=(3−4x) 2+(4x−10) 2
=m2+n2
=(m+n) 2−2mn
=(−7) 2−2×9
=49−18
=31，
的值为 ；
∴(3−4x) 2+4(2x−5) 2 31
（3）设2023−x=p，2020−x=q，
则p−q=2023−x−(2020−x)=3，p2+q2=2061，
∴2pq=p2+q2−(p−q) 2
=2061−32
=2061−9=2052，
∴(2023−x)(2020−x)=pq=1026，
∴(2023−x)(2020−x)的值为1026；
（4）∵CM=x，KC=3CM=3x，KB=54，FM=20，
∴BC=KC−KB=3x−54，CF=CM−FM=x−20，
∵长方形BEFC的面积是300，
∴BC⋅CF=(3x−54)(x−20)=300，
由题意得：AB=BC=3x−54，CF=BE=x−20，
∵ER=2BE，
∴BR=3BE=3(x−20)，
∴AR=AB+BR=(3x−54)+3(x−20)=(3x−54)+(3x−60)，
∵(3x−54)(x−20)=300，
∴(3x−54)[3(x−20)]=900，
∴(3x−54)(3x−60)=900，
设3x−54=a，3x−60=b，
则a−b=3x−54−(3x−60)=6，ab=900，
∴正方形ARNP的面积=AR2
=[(3x−54)+(3x−60)] 2
=(a+b) 2
=(a−b) 2+4ab
=62+4×900
=36+3600
=3636，
∴正方形ARNP的面积为3636．
◆ 学霸必刷
1．（2023下·湖南永州·七年级校考阶段练习）已知实数a，b满足a−b2=4，则代数式3a−a2−b2的最大
值为（ ）A．－4 B．－5 C．4 D．5
2．（2023下·安徽宿州·七年级安徽省泗县中学校联考阶段练习）在数学中，为了书写简便，18世纪数学
n
家欧拉就引进了求和符号“ ”．如：记 ；
∑ ∑❑k=1+2+3+⋅⋅⋅+(n−1)+n
k=1
n n
．已知： ，则 的值是
∑(x+k)=(x+1)+(x+2)+⋅⋅⋅+(x+n) ∑[(x+k)(x−k+1))=4x2+4x+m m
k=1 k=1
（ ）
A．40 B．−70 C．−40 D．−20
3．（2023下·重庆沙坪坝·七年级重庆一中校考期中）对于五个整式，A：2x2；B：x+1；C：−2x；D：
y2；E：2x−y有以下几个结论：
①若y为正整数，则多项式B⋅C+A+D+E的值一定是正数；
②存在有理数x，y，使得A+D+2E的值为−2；
③若关于x的多项式M=3(A−B)+m⋅B⋅C（m为常数）不含x的一次项，则该多项式M的值一定大于
−3．上述结论中，正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2023下·安徽淮北·七年级校联考期末）关于x的多项式：
，其中 为正整数，若各项系数各不相同且均不为0，我们
a xn+a xn−1+a xn−2+⋯+a x2+a x+a n
n n−1 n−2 2 1 0
称这样的多项式为“亲缘多项式”．
① 是“亲缘多项式”．
(2x−1) 2
②若多项式 和 均为“亲缘多项式”，则
a x3+a x2+a x+a b x4+b x3+b x2+b +b
3 2 1 0 4 3 2 1 0
也是“亲缘多项式”．
a x3+a x2+a x+a +b x4+b x3+b x2+b +b
3 2 1 0 4 3 2 1 0
③多项式 是“亲缘多项式”且 ．
(2x−1) 4=b x4+b x3+b x2+b x+b b +b +b =41
4 3 2 1 0 4 2 0
④关于 的多项式 ，若 ， ， 为正整数，则 为“亲缘多项式”．
x (ax+b) n a≠b ab≠0 n (ax+b) n
以上说法中正确的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2023下·湖南怀化·七年级统考期末）计算：
1012÷ {( 1− 1 )( 1− 1 )( 1− 1 ) … ( 1− 1 )( 1− 1 )) = ．
22 32 42 20222 20232
1
6．（2022下·四川成都·七年级校考阶段练习）已知x2+2x−1＝0，则x3−5x+4的值为 ；x2+
x2
的值为 ．
7．（2023·上海·七年级假期作业）请同学运用计算 ，解决问题：
(a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
已知x、y、z满足 ，求 的最大值是 ．
x2+ y2+z2=4 (x−y) 2+(y−z) 2+(z−x) 2
8．（2022上·北京海淀·七年级清华附中校考期末）设x，y满足 ，
(x−1) 3+4044 y=2022
，则 ．
(y−1) 3+4044x=6066 (x+ y) 3=
9．（2022下·福建三明·七年级校考阶段练习）若A＝（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1，
则A－2022的末位数字是 ．
10．（2022上·上海青浦·七年级校考期中）已知整数a，b，c满足a2+b2+c2+7
