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第 02 讲 三角恒等变换
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·河南开封·统考三模）已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得 ，所以 .故选：B.
2．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
即 ，
所以 .
故选：B
3．（2023·广东深圳·校考二模）已知 ，则 的值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】由 ，则 .
故选：D
4．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，
所以 .
故选：A.
5．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知 ，则 （ ）
A．0 B． C． D．
【答案】A
【解析】
，
，
又 ，
则 ，则
故选：A
6．（2023·吉林延边·统考二模）下列化简不正确的是（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【解析】A选项，
，所以A选项正确.
B选项，
，B选项正确.
C选项， ，C选项正确.
D选项， ，D选项错误.
故选：D
7．（2023·江西上饶·统考二模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】已知 ，则 ， .
则 .
故选：B.
8．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知 ， ，则
（ ）
A．4 B．6 C． D．
【答案】D
【解析】由 得
，进而可得
，所以 ，故选：D
9．（多选题）（2023·广东广州·广州六中校考三模）若函数 ，则（ ）
A．函数 的一条对称轴为
B．函数 的一个对称中心为
C．函数 的最小正周期为
D．若函数 ，则 的最大值为2
【答案】ACD
【解析】由题意得，
.
A：当 时， ，又 ，
所以 是函数 的一条对称轴，故A正确；
B：由选项A分析可知 ，所以点 不是函数 的对称点，故B错误；
C：由 ，知函数 的最小正周期为 ，故C正确；
D： ，所以 ，故D正确.
故选：ACD．
10．（多选题）（2023·全国·模拟预测）若 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】选项A：由 ， ，可知 为锐角，
且 ，解得 ， 且 ，
所以 ，故A错误；
选项B：因为 ， ，因此 ，故B正确；选项C：因为 且 ．
所以 ，所以C正确；
选项D：因为 ， ，
所以 ， ，
所以 ，所以D正确．
故选：BCD
11．（多选题）（2023·安徽黄山·统考二模）若 ，则 的值可能是
（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】CD
【解析】由余弦的二倍角公式知，
得到 ，即 ，解得 或 ，
当 时， ，
当 时，
所以，当 时， 或 ，
当 时， 或 ，
故选：CD.
12．（多选题）（2023·湖南邵阳·统考二模）若函数 的最小正周期
为 ，则（ ）
A． B． 在 上单调递增C． 在 内有5个零点 D． 在 上的值域为
【答案】BC
【解析】
.
由最小正周期为 ，可得 ，故 ，
对于A, ,故A错误；
对于B,当 时， ，此时 单调递增，故B正确；
对于C，令 ，
所以 或 ，
当 时，满足要求的有 故有5个零点，故C正确；
对于D, 当 时， ，则 故 ，所以D错误.
故选：BC.
13．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知 ，则 ______.
【答案】 /
【解析】因为 ，解得 ，
所以
.
故答案为：14．（2023·河南·襄城高中校联考三模）若 ，则 __________.
【答案】 /0.75
【解析】 ，即 ，
得 ，所以 .
故答案为： .
15．（2023·河南·襄城高中校联考三模）若 ，则 ______．
【答案】 /
【解析】因为
，
所以 ，故 ．
故答案为： .
16．（2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）已知，都是锐角， ，则
=___________.
【答案】2
【解析】法1： .
，
.
法2：由 ，令 ，
则 ，则 ，
故答案为：2
17．（2023·天津滨海新·统考三模）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ，
， ．
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值．
【解析】（1）由余弦定理知， ，
所以 ，即 ，
解得 或 （舍负），所以 ．
（2）由正弦定理知， ，
所以 ，
所以 ．
（3）由余弦定理知， ，
所以 ， ，
所以
.
18．（2023·天津和平·耀华中学校考一模）已知 ， .
(1)求 的大小；
(2)设函数 ， ，求 的单调区间及值域.【解析】（1）由 得 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
即 ，又 ，
所以 ，则 .
（2）函数 ， ，
令 ，解得 ，所以函数 在区间 上单调递增；
令 ，解得 ，所以函数 在区间 上单调递减；
因为 ， ，
当 时，即 ， 取最大值1；当 时，即 ， 取最小值 .
所以 值域为 .
19．（2023·北京海淀·统考二模）已知函数 ，且 ．
(1)求 的值和 的最小正周期；
(2)求 在 上的单调递增区间．
【解析】（1）因为 ，且 ，
所以 ，解得 ，
所以，
即 ，所以 的最小正周期 ；
（2）由 ， ，
解得 ， ，
所以 的单调递增区间为 ， ，
当 时 的单调递增区间为 ，
当 时 的单调递增区间为 ，
所以 在 上的单调递增区间为 ， .
1．（2021•全国）函数 图像的对称轴是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】
．
由 ， ，得 ， ．
函数 图像的对称轴是 ．
故选： ．
2．（2021•甲卷）若 ， ，则A． B． C． D．
【答案】
【解析】由 ，得 ，
即 ，
， ，
则 ，解得 ，
则 ，
．
故选： ．
3．（2021•乙卷）
A． B． C． D．
【答案】
【解析】法一、
．
法二、
．
故选： ．4．（2020•新课标Ⅲ）已知 ，则
A． B． C．1 D．2
【答案】
【解析】由 ，得 ，
即 ，
得 ，
即 ，
即 ，
则 ，
故选： ．
5．（2020•新课标Ⅲ）已知 ，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】 ，
，
即 ，
得 ，
即 ，
得
故选： ．
6．（2020•新课标Ⅰ）已知 ，且 ，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由 ，得 ，即 ，解得 （舍去），或 ．
， ， ，
则 ．
故选： ．
7．（2022•浙江）若 ， ，则 ， ．
【答案】 ； ．
【解析】 ， ，
，
，
，
，
解得 ， ，
．
故答案为： ； ．
8．（2022•北京）若函数 的一个零点为 ，则 ； ．
【答案】1； ．
【解析】 函数 的一个零点为 ， ，
，函数 ，
，
故答案为：1； ．
9．（2020•江苏）已知 ，则 的值是 ．【答案】 ．
【解析】因为 ，则 ，
解得 ，
故答案为：
10．（2020•浙江）已知 ，则 ， ．
【答案】 ； ．
【解析】 ，
则 ．
．
故答案为： ； ．
11．（2021•浙江）设函数 ．
（Ⅰ）求函数 的最小正周期；
（Ⅱ）求函数 在 ， 上的最大值．
【解析】函数 ，
（Ⅰ）函数
，
则最小正周期为 ；
（Ⅱ）函数，
因为 ，所以 ，
所以当 ，即 时， ．
