文档内容
15.1.1从分数到分式
一、单选题
1．若分式 的值为零，则 的值等于（ ）
A．﹣1 B．0 C．2 D．1
【答案】D
【分析】根据分式值为零的条件列出 ，且值需保证 ，即可得到答案．
【详解】要使分式 的值为零，必须 ， ，
解得， ，
故选：D．
【点评】本题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的
关键．
2．若a2-3a+1＝0，则a2+ 的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】先由原等式得a2+1＝3a，利用等式的基本性质两边同除以a，可得 ，再两边同时平方后得出
，即可计算出结果．
【详解】由a2－3a+1＝0得a2+1＝3a，
∵a≠0，
给a2+1＝3a两边同除以a，得 ，
则 ，∴ ．
故选：C．
【点评】本题考查了求分式的值，根据已知求出 是解题的关键．
3．若 ，则 的值是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】先根据 求出ab与a-b的关系，再代入所求代数式进行计算即可．
【详解】∵ ，即ab=-3（a-b），
∴原式= =-3．
故选：A．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
4．分式 的值为0，则（ ）
A．x＝0 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．x＝±2
【答案】B
【分析】根据分式值为零的条件可得x2﹣4＝0，且x﹣2≠0，再解即可．
【详解】由题意得：x2﹣4＝0，且x﹣2≠0，
解得：x＝﹣2，
故选：B．
【点评】本题主要考查了分式值为零的条件，准确计算是解题的关键．5．分式 有意义，则 、 满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分式有意义的条件是分母不等于零．
【详解】分式 有意义，则x应满足的条件是x-3≠0，即x≠3，y为任意数．
故选：B．
【点评】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零．
6．下列各式中，分式有（ ） 个
， ， ， ， ，
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】分母是整式且整式中含有字母，根据这点判断即可．
【详解】∵ 中的分母是3，不含字母，
∴ 不是分式；
∵ 中的分母是n，是整式，且是字母，
∴ 是分式；
∵ 中的分母是a+5，是多项式，含字母a，
∴ 是分式；∵ 中的分母是15，不含字母，
∴ 不是分式；
∵ 中的分母是 ，是整式，含字母x，y，
∴ 是分式；
∵ 中的分母是 ，是整式，含字母a，b，
∴ 是分式；
共有4个，
故选A．
【点评】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式构成的两个基本能条件是解题的关键．
7．若分式 有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 取任意实数
【答案】C
【分析】根据分式有意义的基本条件计算即可．
【详解】∵分式 有意义，
∴x-2≠0，
∴ ，
故选C．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，熟记有意义的条件，熟练转化成不等式是解题的关键．8．使分式 有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x≠0
C．x≠±1 D．x为任意实数
【答案】C
【分析】分式有意义的条件是分母不等于零，据此可得x的取值范围．
【详解】由题意，得x2−1≠0，
解得：x≠±1，
故选：C．
【点评】此题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；
（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
二、填空题
9．分式 的值为0，则 的值为_______________．
【答案】
【分析】根据分式的值为零的条件可得 ，且x+1≠0，再解即可．
【详解】由题意得： ，且x+1≠0，
解得：x=1，
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条
件缺一不可．
10．下列各式： （1﹣x）， ， ， +x， ，其中是分式的有_____个．
【答案】2
【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】 （1﹣x）， ， ，分母中都不含字母，因此它们是整式，而不是分式．+x， ，分母中含有字母，因此是分式．
分式有两个，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查分式的定义，注意 不是字母，是常数，所以 ，不是分式，是整式．
11．已知x﹣ ＝1，则 的值为_____．
【答案】2
【分析】将已知等式去分母整理后，代入原式计算即可得到结果．
【详解】∵x﹣ ＝1
∴x2﹣1＝x，
∴x2＝x+1，
∴原式＝
＝
＝
＝
＝
＝2，
故答案为：2．
【点评】此题考查了分式的值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．观察下列各等式： ，- ， ，- ， ......，猜想第八个分式__．
【答案】
【分析】通过观察找出规律即可，第n个分式可表示为 ．
【详解】当n=8时，求得分式为：
所以答案为： ．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决
问题是应该具备的基本能力．本题的关键是得出规律 ．
三、解答题
13．已知 , ，求下列各式的值：
（1） 和 ；
（2） + ．
【答案】（1）5，1；（2）
【分析】（1）把所给的式子利用完全平方公式分解后，再把两式进行相加和相减即可求解；
（2）先化简原式，再将（1）所求的 和 的值代入即可求解．
【详解】（1）∵ , ，∴ ①
②
①＋②得：
∴
①－②得：
∴
（2） +
将 和 代入上式可得：
原式
【点评】本题考查完全平方公式的运用、分式的化简求值，学会利用整体代入的思想，解题的关键是熟练掌握
完全平方公式求出 和 的值．
14．例：解不等式（x﹣2）（x+3）＞0
解：由实数的运算法则：“两数相乘，同号得正”得① ，或② ，
解不等式组①得，x＞2，
解不等式组②得，x＜﹣3，
所以原不等式的解集为x＞2或x＜﹣3．
阅读例题，尝试解决下列问题：
（1）平行运用：解不等式x2﹣9＞0；
（2）类比运用：若分式 的值为负数，求x的取值范围．
【答案】（1）x＞3或x＜﹣3；（2）
【分析】（1）结合题中的方法，先对不等式左边因式分解为两个多项式，再分类讨论即可；
（2）利用“两数相除，同号得正，异号得负”结合题干的方法分类讨论即可．
【详解】（1）解不等式x2﹣9＞0，即为解 ，
根据“两数相乘，同号得正”
得① ，或② ，
解不等式组①得，x＞3，
解不等式组②得，x＜﹣3，
∴原不等式的解集为x＞3或x＜﹣3；
（2）由题得不等式 ，
根据“两数相除，同号得正，异号得负”
得① ，或② ，
解不等式组①得， ，
不等式组②无解，
∴原不等式的解集为 ．
【点评】本题考查一元二次不等式，以及分式不等式，理解并熟练运用题干中介绍的方法是解题关键．15．若a，b为实数，且 ，求3a﹣b的值．
【答案】2
【分析】根据题意可得 ，解方程组可得a,b,再代入求值.
【详解】∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴3a﹣b=6﹣4=2．
故3a﹣b的值是2．
【点评】本题考核知识点：分式性质，非负数性质.解题关键点：理解分式性质和非负数性质.
16．已知分式 ，试问：
当m为何值时，分式有意义？
当m为何值时，分式值为0？
【答案】（1） 且 ；（2）
【分析】(1)根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式计算即可；
(2)根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算即可．
【详解】 由题意得， ，
解得， 且 ；
由题意得， 且 ，解得， ，
则当 时，此分式的值为零．
【点评】本题考查了分式有意义和分式为0的条件，熟练掌握分式有意义的条件是分母不等于零、分式值为零
的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键.
17．若分式 有意义，求x的取值范围.
【答案】
【分析】先把除法化为乘法，再根据分式有意义的条件即可得到结果．
【详解】∵ ，∴x+2≠0且x+4≠0且x+3≠0，解得：x≠﹣2、﹣3、﹣4．
【点评】本题主要考查了分式有意义的条件，关键是注意分式所有的分母部分均不能为0，分式才有意义．
18．若分式 的值为零，求x的值．
莉莉的解法如下：
解： 分式 的值为零．
， ．
请问莉莉的解法正确吗？如果不正确，请写出正确的解法．
【答案】莉莉的解法不正确，正确的解法见解析．
【分析】分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零．依此列出算式计算即可求解．
【详解】莉莉的解法不正确，正确的解法如下：
分式 的值为零，
且 ，解得 ．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不
为0．这两个条件缺一不可．
19．观察下列等式：根据上述规律解决下列问题：
① ；
② ；
③ ；
④ ；……
(1)完成第⑤个等式；
(2)写出你猜想的第 个等式(用含 的式子表示)并证明其正确性．
【答案】（1） ；（2） ，详见解析
【分析】(1)根据已知的等式即可写出第⑤个等式；
（2）发现规律即可得到第 个等式，根据分式的运算法则即可求解．
【详解】（1）第5个等式为：
（2）猜想：第n个等式为：
证明：∵左边
右边
∴左边=右边
∴原式成立．
【点评】此题主要考查分式运算的应用，解题的关键是根据已知的等式找到规律．20．已知 ，求 的值.
【答案】 ；
【分析】根据 得到 ，再把 化简为 ，再把 用 替
换，约分即可得到答案；
【详解】根据 通分合并得到：
，即： ，
∴ ；
【点评】本题主要考查了整体转换思想，把复杂的问题转换为简单的思想，通过对条件和结论的转换，最终求
得问题的答案，求得 是解本题的关键.
