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第 4 函数及其性质
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．已知函数 若 ，则m的值为（ ）
A． B．2 C．9 D．2或9
【答案】C
【详解】
∵函数 ， ，
∴ 或 ，
解得 .
故选：C.
2．已知函数 ，关于函数 的结论正确的是（ ）
A． B． 的值域为
C． 的解集为 D．若 ，则x的值是1或
【答案】B
【详解】
解：因为 ，函数图象如下所示：由图可知 ，故A错误；
的值域为 ，故B正确；
由 解得 ，故C错误；
，即 ，解得 ，故D错误；
故选：B
3．定义在 上的函数 满足 .若 的图象关于直线 对称，
则下列选项中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
函数 的图象关于直线 对称，则必有 ，所以， ,
,又因为 满足 ，取 ，所以，
， ，则 ，取 ，则 ，A对；故选：A
4．若幂函数 满足 ，则下列关于函数 的判断
正确的是（ ）
A． 是周期函数 B． 是单调函数
C． 关于点 对称 D． 关于原点对称
【答案】C
【详解】
由题意得 ，即 ，故 ，
令 ，则 ，当 时， ，则 单调递减；
当 时， ，则 单调递增；所以 ，因此方程
有唯一解，解为 ，因此 ，所以不是周期函数，
不是单调函数，关于点 对称，
故选：C.
5．已知 是奇函数，若 恒成立，则
实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
是奇函数， 恒成立，
即 恒成立，
化简得， ，即 ，
则 ，解得 ，又 且 ， ，则 ，所以 ，
由复合函数的单调性判断得，函数 在 上单调递减，又 为奇函数，
所以 在 上单调递减；由 恒成立得，
恒成立，
则 恒成立，
所以 恒成立，解得 .
故选：B.
6．已知函数 是定义在R上的偶函数，且 在 单调递减，
，则 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
因为函数 是定义在R上的偶函数，所以 的图象关于直线 对
称.因为 在 上单调递减，所以在 上单调递增.
因为 ，所以 .
所以当 时， ；当 时， ．
由 ，得 或 解得．
故选：C
7．函数 ，若 ， ，则 的范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
依题意 ， 且 ，
故 ， ，
.
，
在 上递增， ， ，
所以 ，
所以 的范围是 .
故选：A.
8．已知函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
函数 ，则 ，因 ，则不等式 成立必有 ，即 ，
令 ，求导得 ，当 时， ，当 时，
，
因此，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，又
，
当 时， ，于是得 ，即 ，令 ，
当 时， ，函数 在 上单调递减， ， ，
因此， 无解，
当 时， ，于是得 ，即 ，此时
，
函数 在 上单调递增， ， ，不等式 解集为
，
所以不等式 的解集为 .
故选：B
二、多选题
9．已知 是 上的奇函数， 是 上的偶函数，且当 时，
，则下列说法正确的是（ ）
A． 最小正周期为4 B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】
因为 是偶函数， 所以 ，又因为 是奇函数，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 的周期为 ，故A错误；
又当 时， ，
所以 ，选项B正确；
，选项C正确；
，选项D正确.
故选：BCD.
10．已知函数 对任意 都有 ，若函数 的图象关
于 对称，且对任意的 ，且 ，都有 ，若
，则下列结论正确的是（ ）
A． 是偶函数 B．
C． 的图象关于点 对称 D．
【答案】ABCD
【详解】
对于选项A：由函数 的图像关于 对称，根据函数的图象变换，
可得函数 的图象关于 对称，所以函数 为偶函数，所以A正确；
对于选项B：
由函数 对任意 都有 ，可得 ，
所以函数 是周期为4的周期函数，
因为 ，可得 ，
则 ，所以B正确；又因为函数 为偶函数，即 ，所以 ，
可得 ，所以函数 关于 中心对称，所以C正确；
由对任意的 ，且 ，都有 ，
可得函数 在区间 上为单调递增函数，
又因为函数为偶函数，故函数 在区间 上为单调递减函数，故 ，
所以D正确.
故选：ABCD
11．已知幂函数 的图象经过点 ，则下列命题正确的有（ ）．
A．函数 的定义域为
B．函数 为非奇非偶函数
C．过点 且与 图象相切的直线方程为
D．若 ，则
【答案】BC
【详解】
设 ，将点 代入 ，
得 ，则 ，即 ，
对于A： 的定义域为 ，即选项A错误；
对于B：因为 的定义域为 ，
所以 不具有奇偶性，即选项B正确；
对于C：因为 ，所以 ，设切点坐标为 ，则切线斜率为 ，
切线方程为 ，又因为切线过点 ，
所以 ，解得 ，
即切线方程为 ，即 ，
即选项C正确；
对于D：当 时，
，
即 成立，即选项D错误．
故选：BC．
12．已知函数 ，则（ ）
A． 的定义域为R B． 是奇函数
C． 在 上单调递减 D． 有两个零点
【答案】BC
【详解】
对 ： 的定义域为 ， 错误；
对 ： ，且定义域关于原点对称，故 是奇函数，
正确；
对 ：当 时， ，单调递减， 正确；对 ：因为 ， ，所以 无解，即 没有零点， 错误．
故选： .
三、填空题
13．已知函数 为奇函数，则 ______．
【答案】2或
【详解】
函数 为奇函数，其定义域为
由 ，解得 或
当 时， ，则 ，满足条件.
当 时， ，则 ，满足条件.
故答案为：2或
14．已知 是定义在R上的偶函数，当 时， .若
的图象与x轴恰有三个交点，则实数a的值为___________.
【答案】2
【详解】
由偶函数的对称性知： 在 、 上各有一个零点且 ，
所以 ，则 或 ，
当 时，在 上 ，则 ，
所以 在 上递增， ，故无零点，不合要求；
当 时，在 上 ，则 ，
所以 在 上递减，在 上递增，
则 且 ， ，故 上有一个零点，符合要求；
综上， .
故答案为：215．写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ___________.① 是定义域为
的奇函数；② ；③ .
【答案】 （答案不唯一）
【详解】
由条件①②③可知函数对称轴为 ，定义域为R的奇函数，可写出满足条件的函数
.
故答案为： （答案不唯一）
16．已知函数 是R上的奇函数，对任意 ，都有
成立，当 ， ，且 时，都有 ，有下列命题：
① ；
②点 是函数 图象的一个对称中心；
③函数 在 上有2023个零点；
④函数 在 上为减函数；
则正确结论的序号为______．
【答案】①②③
【详解】
，令 得 ， ，令 得
， ，
所以 ，又 是奇函数，
， ， 是周期函数，4是它的周
期，
当 ， ，且 时，都有 ，即 时， ，在 是增函数，由奇函数性质知 在 上也是增函数，所以 在
上递增，
所以 ，从而
，
，
，①正确；
，则函数图象关于直线 对称，又函数图象关于原点对称，因此也
关于点 对称，②正确；
由上讨论知 在 上有2个零点， ，
注意 ，
因此 在 上零点个数为 ，③正确；
由周期性知函数在 与 时的图象相同，函数同为增函数，④错误．
故答案为：①②③．
