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7.1平面直角坐标系
不等式的基本性质
有序数对
定义：把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)．
注意：有序，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，如电影院的座位
是6排7号，可以写成(6，7)的形式，而(7，6)则表示7排6号．
题型1：有序数对
1.（2022春•顺平县期中）如果用有序数对（3，2）表示教室里第3列第2排的座位，则位于第5列第
4排的座位应记作（ ）
A．（4，5） B．（5，4） C．（3，2） D．（2，3）
【分析】根据第一个数表示列式，第二个数表示排数写出即可．
【解答】解：∵（3，2）表示教室里第3列第2排的座位，
∴第5列第4排的座位应记作（5，4）．
故选：B．
【点评】本题考查了点的坐标，理解有序数对的两个数的实际意义是解题的关键，要注意两个数之间用
逗号连接，而不是顿号．
【变式1-1】（2022春•秭归县期中）如果一类有序数对（x，y）满足方程y＝5﹣x，则下列数对不属于这
类的是（ ）
A．（3，2） B．（2，3） C．（6，1） D．（﹣1，6）
【分析】将各数对代入关系式计算即可判断．
【解答】解：A、5﹣3＝2，有序数对（3，2）满足方程y＝5﹣x，故此选项不符合题意；
B、5﹣2＝3，有序数对（2，3）满足方程y＝5﹣x，故此选项不符合题意；
C、5﹣6＝﹣1，有序数对（6，1）不满足方程y＝5﹣x，故此选项符合题意；D、5﹣（﹣1）＝6，有序数对（﹣1，6）满足方程y＝5﹣x，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了点的坐标，将数对代入关系式准确计算是解题的关键．
【变式1-2】平面直角坐标系下有序数对（2x﹣y，x+y）表示的点为（5，4），则x＝ ．y＝ ．
【分析】根据题意可得方程组 ，解方程组可得答案．
【解答】解：由题意得： ，
解得 ，
故答案为：3；1．
【点评】此题主要考查了点的坐标，关键是正确理解题意，列出方程组．
平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，习惯
上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标
系的原点(如图1).
注意：平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的.
题型2：平面直角坐标系的定义
2.如图所示，平面直角坐标系的画法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据平面直角坐标系的定义判断即可．
【解答】解：A．没有标注x轴，y轴，故本选项不合题意；
B．符合平面直角坐标系的定义，故本选项符合题意；
C．x轴的正方向错误，故本选项不合题意；
D．横轴和纵轴标注错误，故本选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了点的坐标以及建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点
且垂直的数轴．【变式2-1】下列说法中不正确的是（ ）
A．在平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴的垂足是原点
B．平面直角坐标系所在平面叫坐标平面
C．坐标平面上的点与有序数对是一一对应的
D．凡是两条互相垂直的直线都能组成平面直角坐标系
【分析】根据平面直角坐标系，点与平面直角坐标系的关系，可得答案．
【解答】解：在平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴的垂足是原点，
平面直角坐标系所在平面叫坐标平面；
坐标平面上的点与有序数对是一一对应的
在平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系，
故D不符合题意；
故选：D
【变式2-2】关于坐标系，下列说法正确的是（ ）
A．建立坐标系，是为了定量地描述物体的位置及位置的变化
B．在建立坐标系时只需要确定正方向即可，与规定的正方向同向为正，与规定的正方向反向则为负
C．只能在水平方向建立直线坐标系
D．建立好直线坐标系后，可以用（x，y）表示物体的位置
【分析】建立坐标系的意义是为了定量地描述物体的位置及位置的变化，要根据问题的实际需要，建立
合适的坐标系．沿直线运动建立直线坐标系，在平面上运动建立平面直角坐标系．依此求解即可．
【解答】解：建立坐标系，为了定量地描述物体的位置及位置的变化．
故选：A．
点的坐标
平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x
轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对
（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图2.
注意：
（1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开．
（2）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离.
(3) 对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，
在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．
题型3：利用点的坐标找对应点
3.在给出的平面直角坐标系中描出点A（﹣3，4），B（﹣3，﹣3），C （3，﹣3），D（3，4），并
连接AB，BC，CD，AD．【分析】根据点的坐标直接描出四个顶点，再顺次连接即可．
【解答】解：如图，描出点A（﹣3，4）、B（﹣3，3）、C（3，﹣3）、D（3，4），
【变式3-1】如图，在平面直角坐标系中，
（1）写出点A，B，C，D，E的坐标；
（2）描出点P（﹣2，﹣1），Q（3，﹣2），S（2，5），T（﹣4，3），分别指出各点所在的象限．
【分析】（1）直接利用平面直角坐标系得出各点坐标即可；（2）根据平面直角坐标系中点的位置的确定方法找出各点的位置，然后解答即可．
【解答】解：（1）A（3，3），B（﹣5，2），C（﹣4，﹣3），D（4，﹣3），E（5，0）；
（2）如图所示：
点P在第三象限，点Q在第四象限，点S在第一象限，点T在第二象限．
【变式3-2】（2022秋•涡阳县校级月考）在下面的平面直角坐标系中，完成下列各题：
（1）写出图中A，B，C，D各点的坐标．
（2）描出点E（1，0），F（﹣1，3），G（﹣3，0），H（﹣1，﹣3）．
（3）顺次连接A，B，C，D各点，围成的封闭图形是什么图形？
【分析】（1）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可；
（2）利用平面直角坐标系找出各点的位置即可；
（3）连接后根据特殊四边形判断．
【解答】解：（1）由题意得A（2，3），B（2，﹣3），C（﹣4，﹣3），D（﹣4，3）；
（2）如图所示；
（3）四边形ABCD是正方形．【点评】本题考查了坐标与图形性质，熟练掌握利用平面直角坐标系写出点的坐标和在平面直角坐标系
中确定点的位置的方法是解题的关键．
题型4：点的距离与点坐标的关系
4.（2022秋•沙坪坝区校级期末）已知点P在第四象限，且到x轴的距离是2，到y轴的距离是7，则点
P的坐标为（ ）
A．（7，﹣2） B．（2，﹣7） C．（7，2） D．（2，7）
【分析】根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数以及点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到
y轴的距离等于横坐标的长度解答．
【解答】解：∵点P在第四象限，且到x轴的距离是2，到y轴的距离是7，
∴点P的横坐标是7，纵坐标是﹣2，
∴点P的坐标是（7，﹣2）．
故选：A．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长
度是解题的关键．
【变式4-1】已知点P（4，m）到y轴的距离是它到x轴距离的2倍，则m的值为（ ）
A．2 B．8 C．2或﹣2 D．8或﹣8
【分析】根据点到坐标轴的距离公式列出绝对值方程，然后求解即可．
【解答】解：∵点P（4，m）到y轴的距离是它到x轴距离的2倍，
∴2|m|＝4
∴m＝±2，
故选：C
【变式4-2】在平面直角坐标系中，点M的坐标是（12，﹣5），则点M到x轴的距离是 5 ．
【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值解答即可．【解答】解：在平面直角坐标系中，点M的坐标是（12，﹣5），则点M到x轴的距离是|﹣5|＝5，
故答案为：5
坐标平面
1. 象限
建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分
别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图．
2. 坐标平面的结构
坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第
三象限、第四象限. 这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，
其他区域之间均没有公共点.
注意：
（1）坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限．
（2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在
右下方.
各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律
注意：
（1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上.
（2）坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0．
（3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平面上的位置
也可以判断点的坐标的符号情况．
题型5：象限内点的坐标特征
5.（2022春•东莞市期中）点P在第三象限，点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，则P点的坐标
是（ ）
A．（3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（4，3） D．（﹣4，﹣3）
【分析】根据点P到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值，然后再根据
第三象限点的坐标特征（﹣，﹣）即可解答．
【解答】解：点P在第三象限，点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，则P点的坐标是（﹣4，﹣
3），
故选：D．
【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握点P到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横
坐标的绝对值是解题的关键．
【变式5-1】已知点A（﹣3，2m﹣4）在x轴上，点B（n+5，4）在y轴上，则点C（n，m）位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0，分别求出m、n的值，再判断点C所
在象限即可．【解答】解：∵A（﹣3，2m﹣4）在x轴上，点B（n+5，4）在y轴上，
∴2m﹣4＝0，n+5＝0，
解得m＝2，n＝﹣5，
∴点C（n，m）在第二象限，
故选：B
【变式5-2】（2022春•淮滨县期中）点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，且点P在y轴的右侧，则
P点的坐标是（ ）
A．（2，3） B．（3，2）或（3，﹣2）
C．（3，2） D．（2，3）或（2，﹣3）
【分析】点P在y轴右侧，点P到x轴的距离是2的点的纵坐标是2或﹣2，到y轴的距离是3的点的横
坐标是3，问题即可得解．
【解答】解：∵点P在y轴右侧，且点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，
∴点P的横坐标是3，纵坐标是2或﹣2，
∴点P的坐标是（3，2）或（3，﹣2），
故选：B．
【点评】本题考查点的坐标与坐标轴的关系：到 x轴的距离是M，则表示纵坐标为M或﹣M；到y轴的
距离是N，则表示横坐标是N或﹣N．
题型6：坐标轴上点的特征
6.（2022秋•碑林区校级月考）已知点A（﹣m﹣1，3m）在x轴上，则m的值为（ ）
A．0 B．﹣1 C． D．
【分析】根据x轴上点的纵坐标为0列方程求解即可．
【解答】解：∵点P（﹣m﹣2，3m）在x轴上，
∴3m＝0，
解得：m＝0；
故选：A．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记x轴上点的纵坐标为0是解题的关键．
【变式6-1】已知点P（2a﹣1，a+3），根据下列条件，求出点P的坐标．
（1）点P在x轴上；
（2）点P到y轴的距离为5．
【分析】（1）根据x轴上点的纵坐标为0列方程求出a的值，再求解即可；
（2）根据点P到y轴的距离列出绝对值方程求解a的值，再求解即可．
【解答】解：（1）∵点P（2a﹣1，a+3）在x轴上，
∴a+3＝0，
解得a＝﹣3，
故2a﹣1＝﹣6﹣1＝﹣7，
则P（﹣7，0）；（2）∵点P到y轴的距离为5，
∴|2a﹣1|＝5，
2a﹣1＝5或2a﹣1＝﹣5，
解得a＝﹣2或a＝3，
∴a+3＝﹣2+3＝1或a+3＝3+3＝6，
∴点P的坐标为（﹣5，1）或（5，6）．
【变式6-2】（2022春•武昌区期中）已知点A（x+3，3x﹣6）在x轴上，则点A的坐标是（ ）
A．（﹣3，0） B．（0，2） C．（0，﹣15） D．（5，0）
【分析】通过点A在x轴上，由该点的纵坐标3x﹣6＝0得到x的值，从而得到点A的坐标．
【解答】解：∵点A（x+3，3x﹣6）在x轴上，
∴3x﹣6＝0，
解得x＝2，
∴点A的坐标为（5，0），
故选：D．
【点评】本题主要考查点的坐标，解题的关键是根据横轴上点的纵坐标为0得出关于x的方程．
【变式6-3】（2022春•桃山区期中）已知点A（a﹣5，2b﹣1）在y轴上，点B（3a+2，b+3）在x轴上，
则点C（a，b）的坐标为（ ）
A．（5，﹣3） B．（﹣5，3） C．（﹣5，﹣3） D．（5，3）
【分析】根据y轴上的点横坐标为0，x轴上的点纵坐标为0，可得a﹣5＝0，b+3＝0，然后进行计算即
可解答．
【解答】解：∵点A（a﹣5，2b﹣1）在y轴上，
∴a﹣5＝0，
∴a＝5，
∵点B（3a+2，b+3）在x轴上，
∴b+3＝0，
∴b＝﹣3，
∴点C（a，b）的坐标为（5，﹣3），
故选：A．
【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握x轴上的点纵坐标为0是解题的关键．
象限的角平分线上点坐标的特征
第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)；
第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，-a)．
题型7：直角坐标系内角平分线上点的坐标特征
7.若点A（﹣ ，﹣ ）在第三象限的角平分线上，则a的值为（ ）A． B．﹣ C．2 D．﹣2
【分析】根据第三象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等解答．
【解答】解：∵点A（﹣ ，﹣ ）在第三象限的角平分线上，
∴﹣ ＝﹣ ，
∴a＝2．
故选：C
【变式7-1】已知点A（m2﹣2，5m+4）在第一象限角平分线上，则m的值为（ ）
A．6 B．﹣1 C．2或3 D．﹣1或6
【分析】根据第一象限角平分线上点的横坐标与纵坐标相等列方程求解，再根据第一象限点的横坐标与
纵坐标都是正数作出判断．
【解答】解：∵点A（m2﹣2，5m+4）在第一象限角平分线上，
∴m2﹣2＝5m+4，
∴m2﹣5m﹣6＝0，
解得m ＝﹣1，m ＝6，
1 2
当m＝﹣1时，m2﹣2＝﹣1，
点A（﹣1，﹣1）在第三象限，不符合题意，
所以，m的值为6．
故选：A．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记第一象限平分线上的点的横坐标与纵坐标相等是解题的关键，易错
点在于要注意对求出的解进行判断．
【变式7-2】（2022•环江县模拟）已知平面直角坐标系中有一点A（m﹣1，2m+3）．
（1）点A在二、四象限的角平分线上，求点A的坐标；
（2）点A到y轴的距离为2时，求点A的坐标．
【分析】（1）根据第二、四象限的角平分线上的横坐标，纵坐标互为相反数求解；
（2）根据题意可知m﹣1的绝对值等于2，从而可以得到m的值，进而得到A的坐标．
【解答】解：（1）∵点A在二、四象限的角平分线上，
m﹣1+2m+3＝0，
∴m＝﹣ ，
∴点A坐标为（﹣ ， ）；
（2）∵点A到y轴的距离为2，
∴|m﹣1|＝2，解得：m＝3或m＝﹣1，
∴点A坐标为（2，9）或（﹣2，1）．
【点评】本题目考查了点与坐标的对应关系，点在角平分线上的特征是解题的关键．
平行于坐标轴的直线上的点
平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；
平行于y轴的直线上的点的横坐标相同.
题型8：平行于坐标轴直线上的点的特征
8.下列与（﹣1，5）相连所得的直线与y轴平行的点为（ ）
A．（1，﹣5） B．（﹣1，2） C．（4，﹣5） D．（2，5）
【分析】与y轴平行的直线上的每一个点到y轴的距离都相等，即每点的横坐标都相同．
【解答】解：与（﹣1，5）相连所得的直线与y轴平行的点横坐标，一定与（﹣1，5）的横坐标相同，各
选项中只有B（﹣1，2）符合，故选B
【变式8-1】（2022春•东莞市校级期中）已知点M（3，﹣2）与点N在同一条平行于x轴的直线上，且点
N到y轴的距离是4，则点N的坐标为（ ）
A．（4，﹣2） B．（3，﹣4）
C．（3，4）或（3，﹣4） D．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）
【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等求出b，再根据点到y轴的距离等于横坐标的绝对
值求出a，然后写出点N的坐标即可．
【解答】解：∵点M（3，﹣2）与点N（a，b）在同一条平行于x轴的直线上，
∴b＝﹣2，
∵N到y轴的距离等于4，
∴a＝±4，
∴点N的坐标为（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）．
故选：D．
【点评】本题考查了点的坐标，主要利用了平行于x轴的直线上点的坐标特征，点到y轴的距离等于横坐
标的绝对值．
【变式8-2】如果直角坐标系内两个点的横坐标相同且不为零，那么过这两点的直线（ ）
A．平行于x轴 B．平行于y轴 C．经过原点 D．以上都不对
【分析】平行于y轴的直线上的点的横坐标相同．
【解答】解：直角坐标系下两个点的横坐标相同且不为零，则说明这两点到y轴的距离相等，且在y轴
的同一侧，所以过这两点的直线平行于y轴．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点为：两点的横坐标相同，到y轴的距离相等，过这两点的直线平行于y轴．
关于坐标轴对称的点的坐标特征
P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,-b)；
P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (-a,b)；
P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (-a,-b)．
题型9：关于坐标轴对称的点的坐标特征9.在平面直角坐标系中，若点P关于x轴的对称点在第二象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为
3，则点P的坐标为（ ）
A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，﹣3） C．（2，3） D．（3，2）
【分析】根据关于x轴的对称点在第二象限，可得p点在第三象限；根据第三象限内点到x轴的距离是
纵坐标，到y轴的距离是横坐标的相反数，可得答案．
【解答】解：点P关于x轴的对称点在第二象限，得
O在第三象限，
由到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，得
（﹣3，﹣2），
故选：A
【变式9-1】若点（x，y）关于y轴的对称点在第二象限，则x和y的符号是（ ）
A．x＜0，y＞0 B．x＞0，y＞0 C．x＜0，y＜0 D．x＞0，y＜0
【分析】先判断出点所在的象限，再根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：∵点（x，y）关于y轴的对称点在第二象限，
∴点（x，y）在第一象限，
∴x＞0，y＞0．
故选：B
【变式9-2】（1）在坐标平面内画出点P（2，3）．
（2）分别作出点P关于x轴、y轴的对称点P ，P ，并写出P ，P 的坐标．
1 2 1 2
【分析】（1）根据平面直角坐标系的定义作出图形即可；
（2）根据平面直角坐标系找出点P ，P 的位置，然后写出坐标即可．
1 2
【解答】解：（1）点P（2，3）如图所示；
（2）P （2，﹣3），P （﹣2，3）．
1 2
题型10：利用位置特征求字母的值
10.在平面直角坐标系中，若点P（﹣1，m﹣5）在x轴上，则m的值为 ．
【分析】根据x轴上点的纵坐标为0列方程求解即可．
【解答】解：∵点P（﹣1，m﹣5）在x轴上，
∴m﹣5＝0，解得m＝5．
故答案为：5．
【变式10-1】已知点P（a，2a﹣1）在一、三象限的角平分线上，则a的值为 ．
【分析】根据一、三象限的角平分线上点的坐标特点列出关于a的方程，解之即可．
【解答】解：由题意知a＝2a﹣1，
解得a＝1，
故答案为：1
【变式10-2】已知点P（a+5，a﹣1）在第四象限，且到x轴的距离为2，则点P的坐标为 ．
【分析】根据第四象限内点的坐标特征得到a+5＞0，a﹣1＜0，然后解不等式组即可．
【解答】解：∵点P（a+5，a﹣1）在第四象限，且到x轴的距离为2，
∴a+5＞0，a﹣1＜0，a﹣1＝±2，
∴a＝﹣1．
点P的坐标为（4，﹣2），
故答案为（4，﹣2）
题型11：求点时的多解问题
11.若点P（2x，3x﹣1）到两坐标轴的距离之和为5，则x的值为 ．
【分析】分别利用P点在第一、二、三、四象限以及在坐标轴上分别分析得出答案．
【解答】解：当点P在第一象限，则2x+3x﹣1＝5，
解得：x＝ ；
当点P在第二象限，则 ，
不等式组无解，不合题意；
当点P在第三象限，﹣2x+1﹣3x＝5，
解得：x＝﹣ ；
当点P在第四象限，则 ，
解得 ，
2x+1﹣3x＝5，
解得x＝﹣4（不合题意），
综上所述：x＝﹣ 或x＝ ．
故答案为：﹣ 或
【变式11-1】在平面直角坐标系中，点B在y轴上，AB＝3，点A的坐标为（0，2），则点B的坐标为．
【分析】根据y轴上的点的坐标特点以及AB＝3解答即可．
【解答】解：∵点B在y轴上，AB＝3，点A的坐标为（0，2），
∴点B的坐标为（0，﹣1）或（0，5）
【变式11-2】已知：P（0，4），PQ＝5，点Q在坐标轴上，则点Q的坐标为 ．
【分析】分点P在x轴和y轴两种情况讨论解答即可．
【解答】解：如图，
当点P在x轴上时，点Q的坐标为（﹣3，0）或（3，0）；
当点P在y轴上时，点Q的坐标为（0，9）或（0，﹣1）；
故答案为：（3，0），（﹣3，0），（0，9），（0，﹣1）．
题型12：坐标系中求面积
12.如图，已知四边形ABCD．
（1）写出点A，B，C，D的坐标；
（2）试求四边形ABCD的面积．（网格中每个小正方形的边长均为1）
【分析】（1）根据各点所在的象限，对应的横坐标、纵坐标，分别写出点的坐标；
（2）首先把四边形ABCD分割成规则图形，再求其面积和即可．
【解答】解：（1）A（﹣2，1），B（﹣3，﹣2），C（3，﹣2），D（1，2）；
（2）S四边形ABCD ＝3×3+2× ×1×3+ ×2×4＝16．【变式12-1】如图，方格纸中每个小方格都是长为1个单位的正方形，若学校位置坐标为A（2，1），图
书馆位置坐标为B（﹣1，﹣2），解答以下问题：
（1）在图中试找出坐标系的原点，并建立直角坐标系；
（2）若体育馆位置坐标为C（1，﹣3），请在坐标系中标出体育馆的位置；
（3）顺次连接学校、图书馆、体育馆，得到三角形ABC，求三角形ABC的面积．
【分析】（1）利用点A的坐标画出直角坐标系；
（2）根据点的坐标的意义描出点C；
（3）利用矩形的面积减去三个三角形的面积得到△ABC的面积．
【解答】解：（1）如图，
（2）如图，
（3）S△ABC ＝3×4﹣ ×2×1﹣ ×1×4﹣ ×3×3＝4.5．
【变式12-2】如图（小方格的边长为1），这是某市部分简图．
（1）请你根据下列条件建立平面直角坐标系（在图中直接画出）：①火车站为原点；②宾馆的坐标
为（2，2）．
（2）市场、超市的坐标分别为 、 ；
（3）请将体育场、宾馆和火车站看作三点，用线段连起来，得△ABC，然后将此三角形向下平移4个
单位长度，再画出平移后的△A′B′C′（在图中直接画出）；（4）根据坐标情况，求△ABC的面积．
【分析】（1）利用火车站和宾馆的坐标画出直角坐标系；
（2）利用坐标系中各象限点的坐标特征写出市场、超市的坐标；
（3）把体育场、宾馆和火车站的横坐标不变，纵坐标减去4描出各点即可得到△A′B′C′；
（4）用矩形的面积分别减去三个三角形的面积求解．
【解答】解：（1）如图，
（2）市场的坐标为（4，3），超市的坐标为（2，﹣3）；
（3）如图；
（4）△ABC面积＝3×6﹣ ×2×2﹣ ×4×3﹣ ×1×6
＝18﹣2﹣6﹣3
＝7．
故答案为（4，3），（2，﹣3）．
题型13：坐标的变化规律
13.（2022秋•沭阳县期末）如图，动点 P按图中箭头所示方向运动，第 1次从原点运动到点（1，
1），第2次运动到点（2，0），第3次运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，则第2023次运动
到点（ ）A．（2023，0） B．（2023，1） C．（2023，2） D．（2022，0）
【分析】根据前几次运动的规律可知第 4n 次接着运动到点（4n，0），第 4n+1 次接着运动到点
（4n+1，1），第4n+2次从原点运动到点（4n+2，0），第4n+3次接着运动到点（4n+3，2），根据规
律求解即可．
【解答】解：由题意可知，第1次从原点运动到点（1，1），
第2次接着运动到点（2，0），
第3次接着运动到点（3，2），
第4次从原点运动到点（4，0），
第5次接着运动到点（5，1），
第6次接着运动到点（6，0），
……
第4n次接着运动到点（4n，0），
第4n+1次接着运动到点（4n+1，1），
第4n+2次从原点运动到点（4n+2，0），
第4n+3次接着运动到点（4n+3，2），
∵2023÷4＝505……3，
∴第2023次接着运动到点（2023，2），
故选：C．
【点评】本题考查了点的坐标规律型问题，解题的关键是根据点的坐标的变化得到规律，利用得到的规
律解题．
【变式13-1】（2022秋•城关区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整点，按图中→方向排
列，即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（2，2）→（2，3）→（3，3）→（4，4），……，则按此规
律排列下去第23个点的坐标为（ ）A．（13，13） B．（14，14） C．（15，15） D．（14，15）
【分析】先由题意写出前几个点的坐标，观察发现并归纳：横坐标与纵坐标相等且为偶数的点的坐标特
点，从而可得答案．
【解答】解：∵（0，0）→（0，1）→（1，1）→（2，2）→（2，3）→（3，3）→（4，4）→（4，
5）→（5，5）→（6，6）→（6，7）→（7，7）→（8，8）……∴观察发现：每三个点为一组，每组
第一个点坐标为：（2n﹣2，2n﹣2），23÷3＝7……2，
∴第23个点在第八组的第二个，
∵第八组的第一个点坐标为：（14，14），
∴第23个点的坐标为：（14，15），
故选：D．
【点评】本题考查的是坐标规律的探究，解题的关键是仔细观察坐标变化规律，掌握从具体到一般的探
究方法．
【变式 13-2】（2022•齐河县校级模拟）如图，在单位为 1 的方格纸上，△A A A ，△A A A ，
1 2 3 3 4 5
△A A A ，…，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若△A A A 的顶点
5 6 7 1 2 3
坐标分别为A （2，0），A （1，1），A （0，0），则依图中所示规律，A 的坐标为（ ）
1 2 3 2022
A．（1，1011） B．（﹣1，1011） C．（1011，0） D．（﹣1011，0）
【分析】根据题意可以发现规律，图中的各三角形都是等腰直角三角形，各等腰直角三角形的直角顶点
的纵坐标的绝对值为斜边的一半，且点A 都在点A 的下方，然后按照规律即可求解．
4n+2 2
【解答】解：∵图中的各三角形都是等腰直角三角形，
∴各等腰直角三角形的直角顶点的纵坐标的绝对值为斜边的一半，
A （1，﹣1），A （2，2），A （1，﹣3），A （2，4），A （1，﹣5），A （2，6），
2 4 6 8 10 12……，
∵2022＝4×505+2，
∴点A 在第一象限，横坐标为1，纵坐标是（2022÷2）＝1011，
2022
∴A 的坐标为为（1，1011），
2022
故选：A．
【点评】本题主要考查规律性：点的坐标，读懂题意，找出点的坐标规律是解答此题的关键．
【变式13-3】在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点，且规定：正方形内不包含
边界上的点，观察如图所示的中心在原点，一边平行于 x轴的正方形，边长为1的正方形内部有一个整
点，边长为3的正方形内部有9个整点，…，则边长为10的正方形内部的整点个数为（ ）
A．100 B．81 C．64 D．49
【分析】设边长为10的正方形内部的整点的坐标为（x，y），所以﹣5＜x＜5，﹣5＜y＜5，再根据x，
y都为整数即可求解．
【解答】解：设边长为10的正方形内部的整点的坐标为（x，y），x，y都为整数．
则﹣5＜x＜5，﹣5＜y＜5，
故x只可取﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4共9个，y只可取﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，
4共9个，
它们共可组成点（x，y）的数目为9×9＝81（个）．
故选：B
一、单选题
1．（2021八上·蜀山期末）在平面直角坐标系中，点A (8，-2022）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】【解答】解：∵点A (8，-2022）
∴A点横坐标是正数，纵坐标是负数，
∴A点在第四象限．故答案为：D．
【分析】根据点坐标与象限的关系逐项判断即可。
2．（2022七下·西宁期末）如图，在平面直角坐标系中，小猫遮住的点的坐标可能是（ ）
A．（－6，3） B．（6，3）
C．（6，－3） D．（－6，－3）
【答案】C
【解析】【解答】解：由图可知小猫位于坐标系中第四象限，
∴小猫遮住的点的坐标应位于第四象限，
A. （－6，3），位于第二象限，不符合题意；
B. （6，3），位于第一象限，不符合题意；
C. （6，－3），位于第四象限，符合题意；
D. （－6，－3），位于第三象限，不符合题意；
故答案为：C
【分析】由图可知小猫位于坐标系中第四象限，根据第四象限内点的符号为正负即可判断.
3．（2022七下·西城期末）在平面直角坐标系中，点(3，−5)所在的象限是()
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】【解答】解：点A（3，-5）所在象限为第四象限．
故答案为：D．
【分析】在平面直角坐标系中，第一象限坐标符号为正正，第二象限坐标符号为负正，第三象限坐标
符号为负负，第四象限坐标符号为正负；据此判断即得.
4．（2022七下·延津期末）点C(m+2，m−1)在平面直角坐标系的y轴上，则C点坐标为（ ）
A．(−3，0) B．（3，0） C．（0，3） D．(0，−3)
【答案】D
【解析】【解答】解：∵点C(m+2，m−1)在平面直角坐标系的y轴上，∴m+2=0，
解得m=−2，
则m−1=−2−1=−3，
所以点C的坐标为(0，−3)，
故答案为：D.
【分析】y轴上的点，横坐标为0，据此可得m+2=0，求出m的值，进而可得点C的坐标.
5．（2022七下·韩城期中）下列命题中是真命题的有（ ）
①垂直于同一条直线的两条直线互相垂直；
②立方根等于它本身的数有三个，分别是 −1 ，0和1；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④若 a<0 且 ab>0 ，则点 P(a，b) 在第三象限.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】【解答】解：①假命题；如：同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
②真命题；立方根等于它本身的数有三个，分别是 −1 ，0和1；
③假命题；同一平面内，过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；
④真命题；若 a<0 且 ab>0 ，则a＜0，b＜0，即P（a，b）在第三象限；
∴②④是真命题.
故答案为： B.
【分析】根据平行公理及推论可判断①③；根据立方根的概念可判断②；根据点的坐标与象限的关系
可判断④.
6．（2021七下·沙河口期末）在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为 (1，2) ， AB//x 轴，若
AB=3 ，则点 B 的坐标为（ ）
A．(1，5) B．(4，2) 或 (−2，2)
C．(4，2) D．(1，5) 或 (1，−1)
【答案】B
【解析】【解答】 ∵ AB//x 轴，
∴A，B 两点的纵坐标相同，
又 ∵ AB=3 ，
∴ B 的横坐标为 1+3=4 或者 1−3=−2 ，
∴B 点的坐标为： (4，2) 或 (−2，2) ．故答案为：B．
【分析】 由AB//x 轴可知点A、B两点的纵坐标相同，由AB=3确定点B的横坐标即可.
二、填空题
7．（2022七下·南宫期末）点P（－6，8）到x轴的距离是 ，到y轴的距离是 ．
【答案】8；6
【解析】【解答】点M(−6，8)到x轴的距离是|8|=8，到y轴的距离是|−6|=6．
故答案为：8，6．
【分析】平面直角坐标系中，一个点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对
值，据此解答即可.
8．（2021八上·深圳期末）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣5）到y轴的距离是 ．
【答案】2
【解析】【解答】解：点P（2，﹣5）到y轴的距离是2
故答案为：2
【分析】根据点坐标的定义求解即可。
9．（2021八上·和平期中）已知点P（x，y+1）在第二象限，则点Q（﹣x+2，2y+3）在第
象限．
【答案】一
【解析】【解答】解：∵点P（x，y+1）在第二象限，
∴x＜0，y+1＞0，
∴y＞﹣1，
∴﹣x＞0，2y＞﹣2，
∴﹣x+2＞2，2y+3＞1，
即：﹣x+2＞0，2y+3＞0，
∴点Q（﹣x+2，2y+3）在第一象限，
故答案为：一．
【分析】先求出y＞﹣1，再求出﹣x+2＞2，2y+3＞1，最后求象限即可。
10．（2022七下·纳溪期末）若点A（﹣2，n）在x轴上，则点B（n﹣1，n+1）在第 象限．
【答案】二
【解析】【解答】解：∵点A（﹣2，n）在x轴上，∴n=0，
∴n-1=-1，n+1=1，
∴点B为（-1，1），
∴点B在第二象限.
故答案为：二.
【分析】由点A（﹣2，n）在x轴上，求得n=0，从而求得点B的坐标为（-1，1），再根据第二象限
点的符合特征即可确定点B所在象限.
11．（2021七下·巴彦淖尔期末）点P（m+2，2m+1）向右平移1个单位长度后，正好落在y轴上，则P
（m+2，2m+1）在第 象限．
【答案】三
【解析】【解答】 ∵ 点P（m+2，2m+1）向右平移1个单位长度后，正好落在y轴上，
∴m+2+1=0 ，
∴m=−3 ，
∴m+2=−1，2m+1=−5 ，
∴ 点P的坐标为（-1，-5），
故答案为：三．
【分析】根据点坐标平移的性质。求出平移后的点坐标，再根据y轴上点坐标的特征，可以求出m的
值，最后根据点坐标与象限的关系可以得出答案。
三、解答题
12．（2021八下·汽开区期末）点A、B、C在平面直角坐标系中的位置如图所示，请分别写出点A、
B、C的坐标．【答案】解：由题意可知，点A的坐标为（3，3）；点B的坐标为（﹣3，4）；点C的坐标为（5，
﹣2）．
【解析】【分析】根据平面直角坐标系中点的坐标的定义可得答案。
13．（）五子连珠棋和象棋、围棋一样，深受广大棋友的喜爱，其规则是：15×15的正方形棋盘中，
由黑方先行，轮流弈子，在任一方向上连成五子者为胜．如图是两个五子棋爱好者甲和乙的对弈图
（甲执黑子先行，乙执白子后走），观察棋盘思考：若A点的位置记作（8，4），甲必须在哪个位置
上落子，才不会让乙在短时间内获胜？为什么？
【答案】解：甲必须在（1，7）或（5，3）处落子．因为若甲不首先截断以上两处之一，而让乙在
（1，7）或（5，3）处落子，则不论截断何处，乙总有一处落子可连成五子，乙必胜无疑．
【解析】【分析】 根据A点的位置表示的坐标规律，结合五子棋中白棋已经有三个在一条直线上的
情况，合理地选择黑棋的落点．
四、综合题
14．（2021七下·三门峡期中）已知点 M(3a−2,a+6) .
（1）当点 M 在 x 轴上时，点 M 的坐标为；
（2）点 N 的坐标为 (2,5) ，且直线 MN//x 轴，求点 M 的坐标.
（3）点 M 到 x 轴、 y 轴的距离相等，求点 M 的坐标.
【答案】（1）∵点M在x轴上
∴a+6= 0
∴a=-6，3a-2= -18-2=-20，
∴点M的坐标是(- 20，0)；
（2）∵直线MN // x轴，a+6= 5，
解得a=-1，3a-2=3×(-1)- 2=-5，
所以，点M的坐标为(-5，5).
（3）∵点 M 到 x 轴、 y 轴的距离相等.
∴3a−2=a+6 或 3a−2+a+6=0 ，
解得 a=4 或 a=−1 .∴3a−2=a+6=10 或 3a−2=−5 ， a+6=5 .
∴点 M 的坐标为 (10,10) 或 (−5,5) .
【解析】【分析】（1）根据x轴上的点纵坐标为0可得a的值，代入可得结果；
（2）根据 直线 MN//x 轴可得点M、点N纵坐标相同可得a的值，代入可得结果；
（3）根据 点 M 到 x 轴、 y 轴的距离相等可得|3a−2|=|a+6|，即可得a的值，代入可得结果.
15．（2022八上·杭州期中）已知点P(3a−15，2−a)．
（1）若点P位于第四象限，它到x轴的距离是4 ， 试求出a的值：
（2）若点P位于第三象限且横、纵坐标都是整数， 试求点P的坐标．
【答案】（1）解：∵点P位于第四象限，它到x轴的距离是4 ，
∴2−a=−4，
解得：a=6
（2）解：∵点P位于第三象限且横、纵坐标都是整数，
{3a−15<0
∴ ，
2−a<0
解得：2
