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必刷小题 8 解三角形
一、单项选择题
1．(2024·楚雄模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝b，sin A＝，
则sin B等于( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 因为a＝b，所以＝.
由正弦定理得＝，
则sin B＝＝×＝.
2．(2023·沈阳模拟)在△ABC中，若a＝bcos C，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
答案 C
解析 由余弦定理得cos C＝，
将其代入a＝bcos C，
得a＝b·＝，
∴2a2＝a2＋b2－c2，
∴a2＋c2＝b2，即△ABC为直角三角形．
3．(2024·南京模拟)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 9sin2B＝
4sin2A，cos C＝，则等于( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 ∵9sin2B＝4sin2A，∴9b2＝4a2，即b＝，
∵cos C＝＝＝，
∴2＝，则＝.
4．(2023·咸阳模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A＝60°，b＝1，
＝，则△ABC的面积为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 在△ABC中，由正弦定理得
＝＝，
所以＝＝，则a＝sin A＝sin 60°＝×＝1，
又b＝1，A＝60°，
所以△ABC是正三角形，
所以△ABC的面积S ＝absin 60°＝.
△ABC
5．(2023·太原模拟)在△ABC中，A＝，BD⊥AC，D为垂足，若AC＝4BD，则cos∠ABC等
于( )
A．－ B. C．－ D.
答案 A
解析 在△ABC中，A＝，BD⊥AC，D为垂足，
又AC＝4BD，不妨设BD＝t，
则AD＝t，AB＝t，AC＝4t，CD＝3t，BC＝＝t，
则cos∠ABC＝＝＝－.
6．(2023·达州模拟)如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两
个观测点C，D，测得∠BCD＝15°，∠CBD＝30°，CD＝10 m，并在C处测得塔顶A的仰
角为45°，则塔高AB等于( )
A．30 m B．20 m
C．30 m D．20 m
答案 D
解析 在△BCD中，∠BCD＝15°，∠CBD＝30°，CD＝10 m，
由正弦定理＝，
可得＝，
可得CB＝20×＝20(m)，
在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，
所以塔高AB＝BC＝20 m.
7．(2023·东莞模拟)我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图(1)，伞不管是张开还是收拢，伞柄
AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，从而保证伞圈D能够沿着伞柄滑动．如图(2)，伞完全收拢时，伞圈D已滑到D′的位置，且A，B，D′三点共线，
AD′＝40 cm，B为AD′的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈D沿着伞柄向下滑动
的距离为24 cm，则当伞完全张开时，∠BAC的余弦值是( )
A．－ B．－ C．－ D．－
答案 A
解析 依题意分析可知，当伞完全张开时，AD＝40－24＝16(cm)，
因为B为AD′的中点，
所以AB＝AC＝AD′＝20(cm)，
当伞完全收拢时，AB＋BD＝AD′＝40(cm)，
所以BD＝20(cm)，
在△ABD中，cos∠BAD＝＝＝，
所以cos∠BAC＝cos 2∠BAD＝2cos2∠BAD－1＝2×－1＝－.
8．(2023·郑州模拟)在锐角△ABC中，B＝60°，AB＝1，则AB边上的高的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
则AB边上的高h＝asin B＝a，
由正弦定理得a＝＝＝＝＋.
由△ABC为锐角三角形，可知30°，
所以a＝＋∈，
从而h∈，
因此AB边上的高的取值范围是.
二、多项选择题
9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列对△ABC解的个数的判断
中正确的是( )
A．a＝7，b＝14，A＝30°，有一解
B．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解
C．a＝，b＝，A＝60°，有一解
D．a＝6，b＝9，A＝45°，有两解答案 AB
解析 选项A，bsin A＝14sin 30°＝7＝a，则三角形有一解，判断正确；
选项B，bsin A＝25sin 150°＝，则a>b>bsin A，则三角形有一解，判断正确；
选项C，bsin A＝sin 60°＝，则aB，则sin A>sin B
C．若B时，a>b，
根据正弦定理＝，
可得sin A>sin B，故B正确；对于C，若0，则cos B＝＝≠，故D错误．
三、填空题
13．(2023·新乡模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝6，B＝
30°，a2＋c2＝3ac，则△ABC的面积为________．
答案
解析 因为b＝6，B＝30°，
所以62＝a2＋c2－2accos 30°＝a2＋c2－ac，
因为a2＋c2＝3ac，
所以3ac－ac＝36，得ac＝6，
故S ＝acsin B＝.
△ABC
14．已知圆内接四边形ABCD中，AB＝2，BC＝6，AD＝CD＝4，则四边形ABCD的面积为
________．
答案 8
解析 连接BD，如图，圆内接四边形对角互补，A＋C＝π，
由余弦定理，得62＋42－2×6×4cos C＝22＋42－2×2×4cos(π－C)，
∴cos C＝，
又0
