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专题 12 等边三角形中的 378 和 578 模型（3 大类型）
【典例分析】
【典例 1】在△ABC 中，AB＝16，AC＝14，BC＝6，则△ABC 的面积为
（ ）
A．24 B．56 C．48 D．112
【答案】A
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于D，
在△ABC中，AB＝16，AC＝14，BC＝6，
∴设BD＝x，则AD＝16﹣x，
在△DBC与△ADC中，
∵CD2＝BC2﹣BD2＝AC2﹣AD2，
∴62﹣x2＝142﹣（16﹣x）2，
解得：x＝3，
∴CD＝3 ，
∴ ＝24 ．
故选：A
【变式1】已知直角三角形的两直角边分别为6和8，则该直角三角形斜边上的
高为（ ）
A． B．10 C．5 D．
【答案】D
【解答】解：∵直角三角形的两直角边为6和8，∴斜边长为： ＝10，
设直角三角形斜边上的高是h，
∴ ×6×8＝ ×10×h，
解得：h＝ ．
故选：D
【典例 2】已知在△ABC 中，AB＝5，BC＝8，AC＝7，则∠B 的度数为
（ ）
A．30° B．45° C．60° D．70°
【答案】C
【解答】解：过A作AD⊥BC于D，设BD＝x，则CD＝8﹣x，
在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，
在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2，
∵AB＝5，AC＝7，
∴25﹣x2＝49﹣（8﹣x）2，
解得：x＝ ，
∴BD＝2.5，
∵AB＝5，
∴AB＝2BD，
∴∠BAD＝30°
∴∠B的度数是60°．
故选：C．
【变式2-1】已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则∠C＝（ ）
A．45° B．37° C．60° D．90°
【答案】C
【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：设CD＝x，
则BD＝BC﹣CD＝5﹣x，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2＝AC2﹣CD2，
∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，
即：72﹣（5﹣x）2＝82﹣x2，
解得：x＝4，
∴CD＝4，
∴CD＝ AC，
∴∠CAD＝30°，
∴∠C＝90°﹣30°＝60°，
故选：C．
【变式2-2】边长为5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（ ）
A．90° B．150° C．135° D．120°
【答案】D
【解答】解：如图，△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，
过点A作AD⊥BC于D，
设CD＝x，
则BD＝BC﹣CD＝5﹣x，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2＝AC2﹣CD2，
∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，
即：72﹣（5﹣x）2＝82﹣x2，
解得：x＝4，
∴CD＝4，
∴CD＝ AC，
∴∠CAD＝30°，
∴∠C＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣60°＝120°，故选：D．
【典例3】在△ABC中，AB＝24，AC＝21，BC＝15，则△ABC的面积是
．
【答案】
【解答】解：∵AB＝24，AC＝21，BC＝15，
∴P＝ ，
∴S ＝
△ABC
＝
＝ ．
故答案为： ．
【变式3】当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时，则这两个三角形
的面积之和是 ．
【答案】16
【解答】解：当三角形的边长为：3，7，8时，P＝ ，
∴S＝
＝
＝ ；
当三角形的边长为：5，7，8时，P＝ ，
∴S＝
＝
＝ ，
则两个三角形的面积之和为： ．
故答案为： ．
【夯实基础】
1．若一个等腰三角形的周长为16cm，一边长为6cm，则该等腰三角形的面积为 cm2．
【答案】8 或12
【解答】解：当腰为6cm时，底边长＝16﹣6﹣6＝4cm，6，6，4能构成三角
形，其他两边长为6cm，4cm，
∴等腰三角形的底边上的高为 （cm），
∴该等腰三角形的面积为 （cm2）；
当底为6cm时，三角形的腰＝（16﹣6）÷2＝5cm，6，5，5能构成三角形，
其他两边长为5cm，5cm，
∴等腰三角形的底边上的高为 （cm），
∴该等腰三角形的面积为 （cm2）；
故答案为：8 或12．
2．已知：在△ABC中，BC＝8，AC＝7，∠B＝60°，则AB为 ．
【答案】 3 或 5
【解答】解：如图所示：作AD⊥BC交BC于点D，
则∠ADC＝90°．
∵∠B＝60°，
∴∠BAD＝30°．
设BD为x，则CD为（8﹣x），AB为2x．
∵sinB＝ ，AC＝7，
∴AD＝ ．∴（ x）2+（8﹣x）2＝72．
解得x ＝ ，x ＝ ．
1 2
∴当x＝ 时，AB＝2x＝3；
当x＝ 时，AB＝2x＝5．
故AB为3或5．
故答案为：3或5．
3．如图，△ABC为等边三角形，AB＝6，D是AC的中点，E是BC延长线上的
一点，且CE＝CD，过点D作DF⊥BE，垂足为F．
（1）求BD的长；
（2）求证：BF＝EF．
【解答】（1）解：∵BD是等边△ABC的中线，
∴BD⊥AC，BD平分AC，
∵AB＝6，
∴AD＝3，
∴由勾股定理得，BD＝ ＝3 ．
（2）证明：∵BD是等边△ABC的中线，
∴BD平分∠ABC，
∴∠DBE＝ ∠ABC＝30°，
又∵CE＝CD，
∴∠E＝∠CDE，∠E＝ ∠ACB＝30°．∴∠DBE＝∠E，
∴DB＝DE．
∵DF⊥BE，
∴DF为底边上的中线．
∴BF＝EF．
4．如图，△ABC的边AB＝8，BC＝5，AC＝7．求BC边上的高．
【解答】解：作AD⊥BC于D，
由勾股定理得，AD2＝AB2﹣BD2，AD2＝AC2﹣CD2，
∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即82﹣（5﹣CD）2＝72﹣CD2，
解得，CD＝1，
则BC边上的高AD＝ ＝4 ．
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15．
求：（1）CD的长；
（2）AD的长．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AB＝ ＝ ＝25，
∵CD⊥AB，
∴S ，
∴CD＝ ＝12；
（2）在Rt△BDC中，由勾股定理得，
BD＝ ＝ ＝9，
AD＝25﹣9＝16．
6．如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格
点上，求：
（1）边AC、AB、BC的长；
（2）求△ABC的面积；
（3）点C到AB边的距离．
【解答】解：（1）AC＝ ＝ ，
AB＝ ＝ ，
BC＝ ＝ ；（2）△ABC的面积＝3×3﹣ ×1×2﹣ ×3×2﹣ ×1×3＝ ；
（3）点C到AB边的距离为h，
则 ×AB×h＝ ，即 × ×h＝ ，
解得，h＝ ．
7．如图，在△ABC中，AC＝5，D为BC边上一点，且CD＝1，AD＝ ，BD
＝4，点E是AB边上的动点，连接DE．
（1）求AB的长；
（2）当△BDE是直角三角形时，求AE的长．
【解答】解：（1）在△ACD中，
∵AC2＝25，CD2＝1，AD2＝26，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，且∠C＝90°，
∵BD＝4，
∴BC＝4+1＝5，
∴在Rt△ACB中，AB＝ ＝5 ，
∴AB＝5 ；
（2）∵AC＝BC＝5，∠C＝90°，
∴∠B＝45°，
∴△BDE是直角三角形需分两种情况分析：
①当∠BDE＝90°时，BD＝DE＝4，
∴在Rt△BDE中，BE＝ ＝4 ，∴AE＝AB﹣BE＝5 ﹣4 ＝ ，
②当∠BED＝90°时，S ＝ AB•DE＝ BD•AC，即5 DE＝4×5，
△ABD
解得：DE＝2 ，
∴BE＝DE＝2 ，
∴AE＝AB﹣BE＝5 ﹣2 ＝3 ；
综上所述，AE的长为 或3 ．
8．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AC＝5，BC＝9，AD＝4，求AB的长．
【解答】解：∵AD⊥BC于D，AC＝5，BC＝9，AD＝4，
在Rt△ACD中，CD＝ ，
∴BD＝BC﹣CD＝6，
在Rt△ABD中，AB＝ ．
故AB的长度为： ．
9．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，∠BCA＝60°，AC＝2 ，DA＝1，
CD＝3．求四边形ABCD的面积．【解答】解：∵∠B＝90°，∠BCA＝60°，AC＝2 ，
∴BC＝ ，
∴AB＝ ＝ ＝ ，
又∵DA＝1，CD＝3，AC＝2 ，
∴DA2+AC2＝12+（2 ）2＝1+8＝9＝CD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴四边形 ABCD 的面积＝S +S ＝ AD•AC+ AB•BC＝ ×1×2 + ×
△ACD △ABC
× ＝ + ．
