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专题36分式的值为整数
1．若 表示一个整数，则整数 可取值共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】D
【分析】由x是整数， 也表示一个整数，可知x+1为4的约数，即x+1=±1，±2，±4，从而得
出结果．
【详解】解：∵x是整数， 也表示一个整数，
∴x+1为4的约数，
即x+1=±1，±2，±4，
∴x=-2，0，-3，1，-5，3．
则整数x可取值共有6个．
故选：D．
【点睛】本题考查了此题首先要根据分式值是整数的条件，能够根据已知条件分析出x+1为4的约
数，是解决本题的关键．
2．若 表示一个整数，则整数x可取值的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．8个
【答案】C
【分析】 表示一个整数，则 是6的因数，即可求解．
【详解】解：∵ 表示一个整数，
∴ 是6的因数
∴ 的值为-6，-3，-2，-1，1，2，3，6，
相应的，x= ，-3， ，-2， ， ，0， ，共8个．
∴满足x是整数的只有4个，
故选C．
【点睛】本题首先要根据分式值是整数的条件，求出 的值，再求出x的值是解题的关键．3．若分式 的值为正整数，则整数a的值有( )
A．3个 B．4个
C．6个 D．8个
【答案】B
【分析】分式 的值为正整数，则a+1的值是6的正整数约数，据此即可求出a的值．
【详解】解：分式 的值为正整数，且a为整数，
所以a+1=1或2或3或6．
则a=0或1或2或5．
故选B．
【点睛】本题考查了分式的值．理解分式 的值为正整数，则a+1的值是6的正整数约数是关
键．
4．已知代数式 的值是一个整数，则整数x有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个
【答案】C
【分析】由 是整数，代数式 的值是一个整数，可得 是 的因数，从而可得答案．
【详解】解： 是整数，代数式 的值是一个整数，
是 的因数，
或 或 或
当 ，解得： 或
当 ，解得： 或 ，不合题意，舍去，
当 ，解得： 或 ，
当 ，解得： 或 ，不合题意，舍去，
综上：符合条件的 的值有 个．
故选：
【点睛】本题考查的是代数式中分式的值，掌握分式的值是整数的特点是解题的关键．5．若分式 的值为整数，则整数m可能值的个数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】根据题意得到m﹣1为4的约数，确定出m的值，即可求出答案．
【详解】解：分式 的值为整数，
∴m﹣1＝±1，±2，±4，
解得：m＝2，0，3，﹣1，5，﹣3，
，即 ，
经检验，m＝2，0，3，﹣1，5，﹣3均符合题意，
则整数m可取的值的个数是6个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式的值，根据题意判断出m﹣1为4的约数是关键，注意分母不能为零．
6．使分式 的值为整数的所有整数 的和是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】由整除的性质知： 是 的约数可得答案．
【详解】解：因为 的值是整数，则 是 的约数，
所以 ，
由因为 为整数，所以： ，
所以：它们的和为 ．
故选D．
【点睛】本题考查分式的值，掌握整除的性质是解题的关键．
7．若整数m可以使分式 的值为正整数，则符合条件的 的值有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】根据题意和6的正因数即可求出整数m的值．
【详解】解：∵分式 的值为正整数，m为整数，而6的正因数有1、2、3、6，∴ =1或2或3或6
解得：m=5或2或1或0
经检验：m=5或2或1或0是对应分式方程的解
∴符合条件的 的值有4个
故选C．
【点睛】此题考查的是根据分式的值的情况求分式中的字母，掌握分式方程的解法是解决此题的
关键．
8． 表示一个整数，则整数 的可能取值的个数是（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
【答案】A
【分析】 表示一个整数，则x+1是6的因数，即可求解．
【详解】因为 表示一个整数，故（1+x）是6的因数，
故1+x的值为﹣6，﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3，6，
相应的，x=﹣7，﹣4，﹣3，﹣2，0，1，2，5．共8个．
故选A．
【点睛】本题考查了分式的值．解答时首先要根据分式值是整数的条件，求出1+x的值，再求出x
的值．
9．若要使分式 的值为整数，则整数x可取的个数为
A．5个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【详解】原式 ，
∵分式 的值为整数，
∴整数x+1=﹣2或﹣1或1或2，
则整数x可取﹣3，﹣2,0,1共4个数.
故选D.
10．已知x为整数，且分式 的值为整数，满足条件的整数x的个数有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查的是分式的性质，先化简分式，再根据分式的性质分析即可．
【详解】 ，
当x+1分别等于2，1，-1或-2，即x分别等于1， 0，-2或-3时，x=1时分式的分母为0，舍去．
x= 0，-2或-3．
故选C．
11．已知整数x使分式 的值为整数，则满足条件的整数x＝______．
【答案】2或4或-10或16
【分析】将分式 进行变形为 ，得出要 值为整数，只需
为整数即可，然后分别求出x的值即可．
【详解】解：
＝
若要 值为整数，只需 为整数即可，
当x=2时， ，
当x=4时， ，
当x=-10，时 ，
当x=16，时 ，
综上分析可知，x=2或4或-10或16时，分式 的值为整数．故答案为：2或4或-10或16．
【点睛】本题主要考查了分式的化简，将 化简为 ，是解题的关键．
12．已知正整数x，y满足 ，则符合条件的x，y的值有______组．
【答案】2
【分析】根据x，y均为正整数，可知 、 ，据此建立不等式 并求解可
知 ，结合 ，可确定可知符合条件的x的值，然后根据 确定与之对应的y的值，
即可确定符合条件的x，y的值的组数．
【详解】解：∵x，y均为正整数，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，解得 ，
结合 ，可知符合条件的x的值为：1、2、3、4、5、6、7、8、9，
对应的y的值为：9、 、 、 、 、 、 、 、 ，
∴符合条件的x、y的值为 ， ，
∴符合条件的x，y的值有2组．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了使分式值为整数时未知数的整数值以及一元一次不等式的应用，根据题
意建立不等式并求解是解题关键．
13．已知x为整数，且 为正整数，则整数 ________．
【答案】4或5##5或4
【分析】根据异分母分式加减法计算得 ，利用x为整数，且 为正整数，
得到x-3=1或x-3=2，由此得到x的值．
【详解】解：=
=
=
=
∵x为整数，且 为正整数，
∴x-3=1或x-3=2，
∴x=4或5，
故答案为4或5．
【点睛】此题考查了异分母分式的加减法，正确掌握异分母分式加减法计算法则并结合题意得到
x-3=1或x-3=2是解题的关键．
14．若 表示一个整数，则整数x可取的个数有______个．
【答案】4
【分析】由原式为整数，x为整数确定出x可取的值个数即可．
【详解】解：∵ 为整数，
∴2x+3为 1， 3，
当2x+3=1，即x=-1时，原式=-2；
当2x+3=-1，即x=-2时，原式=4；
当2x+3=3，即x=0时，原式=0；
当2x+3=-3，即x=-3时，原式=2．
∴x的值可取0，-1，-2，-3．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了分式的值，把原式化成 是解题的关键．
15．已知一个分式可以进行这样的变形： ，运用上述方法，
解决问题：若代数式 的值为整数，则满足条件的整数x的值为________．
【答案】0或2##2或0【分析】利用题目给出例子的解题思路，化简分式，分情况讨论出x的值即可．
【详解】解： ，
若原式的值为整数，
则x-1=±1，
即x=0或x=2．
故答案为：0或2．
【点睛】本题考查对新定义的理解以及分式的基本性质，关键要读懂新定义，能灵活运用分式的
基本性质．
16．已知 为自然数，若分式 的值是整数，则 __________．
【答案】0或2
【分析】先把105分解因数，再根据a为自然数， 是整数，分情况确定a的值即可．
【详解】∵105＝1×105＝3×35＝5×21＝7×15，
∴a＋1＝1，即a＝0， ＝21是整数；
a＋1＝3，即a＝2， ＝5是整数；
∴a的值是0或2．
故答案为：0或2．
【点睛】本题考查了分式的值，解题的关键是将分子分解因数，讨论得出答案．
17．若分式 的值为整数，则 __________．
【答案】 或 或
【分析】在分式有意义的前提下,将分式化简再根据题意得出整数.
【详解】分式的值为整数,即分式有意义.
可知若要分式为整数,x+1需要被2整除.
则x+1=±1或±2,x可为0,-2,1,-3.
∵分式有意义x不能为±1,
∴x为: 0,-2,-3.
故答案为: 或 或 .
【点睛】本题考查分式的化简,关键在于对分式化简.
18．若分式 的值为正整数，则整数x的值为___．
【答案】2或4
【详解】根据分式的值为正整数，x为整数可得：x-1=1或x-1=3，
解得：x=2或x=4.
故答案为2或4
19．分式 的值是整数，则正整数 的值等于______．
【答案】2或3或5
【分析】根据分式 的值是整数可知4是（m-1）的倍数，进而问题可求解．
【详解】解：由题意得： 或 或 ，
∴ 或3或5，
故答案为2或3或5．
【点睛】本题主要考查分式的值，熟练掌握分式的值是解题的关键．
20．若分式 的值是正整数，则整数 的值是______．
【答案】0，
【分析】根据题意，分式 的值是正整数，可知，分式的分母为1或-1，据此解得 的值，最
后验根即可．
【详解】解： 分式 的值是正整数， ，
∴ 为小于2的整数，
或
或
经检验，当 或 ，分母 ，
或故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查分式的值，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
21．已知 为正整数，当时 ______时，分式 的值为正整数．
【答案】8、5、4、3
【分析】根据题意可得6是x-2的倍数，然后根据x为正整数可进行求解．
【详解】解：∵分式 的值为正整数，
∴ 的值为1、2、3、6，
∵ 为正整数，
∴ 或4或5或8；
故答案为8、5、4、3．
【点睛】本题主要考查分式的值，熟练掌握分式的值是解题的关键．
22．当分式 的值为正整数时，整数 的取值可能有__________．
【答案】2或3
【分析】根据题意可知2x-3必是6的因数，从而可求出答案．
【详解】由题意可知：2x−3=1或2或3或6
所以x=2或 或3或 ，
由于x是整数，
∴x=2或3
故答案为2或3
【点睛】本题考查分式的值，解题的关键正确得出2x-3是6的因数，本题属于基础题型.
23．若代数式 的值为整数，则 的值为__________．
【答案】 或
【分析】将代数式 变形为4＋ ，从而求出满足条件的整数x的值．
【详解】∵ ＝4＋ ，代数式 的值为整数，
∴ 为整数，
∴x−1＝1或x−1＝−1，
∴x＝2或0．故答案是：2或0．
【点睛】本题考查了将分式变形为整数加上分式的求值问题，可以根据对应项相等的原则解答．
24．已知 为整数，且分式 的值为正整数，则 的值是______．
【答案】 或
【分析】根据题意可得 或 ，然后求解即可．
【详解】解： 为整数，且分式 的值是正整数，
或 ，
解得： 或 ．
经检验 ， 是分式方程的解．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
25．已知分式 的值为正整数，a为整数，求a的值．
【答案】0或1或2
【分析】先化简分式，然后根据分式的值为正整数， a为整数，进行求解即可得到答案．
【详解】解： ，
∵分式 的值为正整数，a为整数，
∴ 或 或 或 ，
解得， 或 或 或 ．
∵ 时，原分式无意义（舍去），
∴a的值为0或1或2．
【点睛】本题主要考查了分式的化简，根据分式的值的情况求解参数，分式有意义的条件等等，
解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解。
26．若x为整数，且 的值也为整数，则所有符合条件的x的值之和．
【答案】14
【分析】先约分，再根据x为整数，且 的值也为整数，得出 的值，检验后可得答案．【详解】解：
为整数， 为整数，
，
的值为： ．
原分式有意义，则 ，
．
的值为： ．
则所有符合条件的x的值之和为14．
【点睛】本题考查的是分式的值为整数，分式的基本性质，掌握分式的值的特点是解题的关键．
27．已知 为整数，且 为整数，求所有符合条件的 值．
【答案】 或
【分析】先根据分式的运算法则将分式化简，然后根据题意和分式有意义的条件即可求出结论．
【详解】解：
=
=
=
=
=
∵ 为整数，且 为整数，
∴ 或 ，
根据原分式有意义的条件：
解得：a≠±1且a≠2
∴ 或 ．【点睛】此题考查的是分式的混合运算和分式有意义的条件，掌握分式的各个运算法则和分式有
意义的条件是解决此题的关键．
28．当x为何整数时，分式 的值为正整数．
【答案】x＝0或2或3或－1．
【分析】根据题意可知 =1，或 =4，然后分别求出x的值即可.
【详解】∵ 的值为正整数，且x为整数，
∴ =1，或 =4，
解得x=2或x=0或x=3或x=﹣1，
答：x＝0或2或3或－1时，分式 的值为正整数．
【点睛】本题主要考查分式的值，解此题的关键在于根据已知条件得到分母的取值，然后进行计
算即可.
29．阅读下列材料，然后解答后面的问题
我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，
等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似的，对于只含有一个字母的分式，我们
把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可
以化成整式与真分式的和的形式，如
．
(1)下列分式中，属于真分式的是（ ）
A． B． C． D．
(2)将假分式 ，化成整式和真分式的和的形式．
(3)当m取哪些整数时，分式 的值也是整数？
【答案】(1)A(2)
(3)-1或0或2或3
【分析】（1）根据真分式的定义可得答案；
（2）把分子化为 再逆用分式的加法运算，约分后可得答案；
（3）由 ，m为整数，可得 或 或 或 再解方
程可得答案．
（1）
解：∵分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．
∴ 是真分式， ， ， 是假分式，
故选A
（2）
（3）
解：∵ ，m为整数，
∴ 或 或 或
解得： 或 或 或
【点睛】本题考查的是对新定义的理解，以及新定义的运用，分式的加减运算的逆用，分式的值，
掌握“分式加减运算的逆用”是解本题的关键．
