文档内容
第 22 章 二次函数过关测试卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。）
1．下列函数中，y是关于x的二次函数的是（ ）
3
A．y=4x2+2 B．y=
x
2
C．y=2x+1 D．y=
x2
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握形如
的是二次函数．根据二次函数的定义，逐个判断即可．
y=ax2+bx+c(a≠0)
【详解】解：A、y=4x2+2是是二次函数，符合题意；
3
B、y= 不是二次函数，不符合题意；
x
C、y=2x+1是一次函数，不符合题意；
2
D、y= 不是二次函数，不符合题意；
x2
故选：A．
2．抛物线 的顶点坐标是（ ）
y=−(x+3) 2−5
A．(−3,−5) B．(3,−5) C．(−3,5) D．(3,5)
【答案】A
【分析】本题主要考查二次函数的性质，由抛物线的解析式可求得答案．
【详解】解：∵ ，
y=−(x+3) 2−5
∴抛物线顶点坐标为(−3,−5)，
故选：A．
3．把抛物线 向上平移3个单位，则所得抛物线是（ ）
y=−2(x+1) 2
A． B．
y=−2(x−1) 2+3 y=−2(x+1) 2+3C． D．
y=−2(x−1) 2−3 y=−2(x+1) 2−3
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平
移规律即可得到答案．
【详解】解：把抛物线 向上平移3个单位，则所得抛物线是
y=−2(x+1) 2
，
y=−2(x+1) 2+3
故选：B．
4．关于二次函数 ，下列说法正确的（ ）
y=2(x+2) 2−4
A．函数图象开口向下 B．函数图象的对称轴是：直线x=2
C．该函数有最大值−4 D．当x≥−2时，y随x的增大而增大
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握图象开口，对称轴直线，最值，增减性
是关键．
根据二次函数顶点式得到图形开口，对称轴直线，最大值，增减性，由此即可求解．
【详解】解：二次函数 ，
y=2(x+2) 2−4
∵2>0，图象开口向上，顶点坐标为(−2,−4)，对称轴直线为x=−2，最小值为−4，
当x≥−2时，y随x的增大而增大，
∴故A、B、C选项错误，不符合题意，只有D选项正确，符合题意；
故选：D ．
5．已知二次函数 的图象如图所示，则该二次函数图象的对称轴为
y=ax2+bx+c(a≠0)
（ ）1 3
A．直线x= B．直线x=1 C．直线x= D．直线x=2
2 2
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，
根据抛物线与x轴交点关于对称轴对称，再结合横坐标可得答案．
【详解】解： 该二次函数的图象与x轴交于点(−1,0)和点(3,0)，
∵ −1+3
该二次函数图象的对称轴为直线x= =1．
2
∴
故选：B．
6．已知二次函数y=x2+x，当x=−1时，函数值是（ ）
A．−2 B．−1 C．0 D．1
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，将x=−1代入二次函数解析式，即可求出函
数值．
【详解】解：当 时， ，
x=−1 y=x2+x=(−1) 2+(−1)=1−1=0
故选：C．
7．用配方法将二次函数 化为 的形式为（ ）
y=x2+8x−9 y=a(x−ℎ) 2+k
A． B． C． D．
y=(x−4) 2+7 y=(x−4) 2−25 y=(x+4) 2+7 y=(x+4) 2−25
【答案】D
【分析】本题考查将二次函数的一般式转化为顶点式，利用配方法进行求解即可．
【详解】解： ；
y=x2+8x−9=x2+8x+16−9−16=(x+4) 2−25
故选D．
8．根据下表中二次函数y=x2−2x−2的自变量x与函数值y的对应值估算一元二次方程
x2−2x−2=0的一个近似解x的范围是（ ）
x −0.9 −0.8 −0.7 −0.6 −0.5
y=x2−2x−2 0.61 0.24 −0.11 −0.44 −0.75
A．−0.9y >y ，
2 1 3
即y 0，
∴abc<0，故①正确；
②∵x=−1时，y=0，
∴a−b+c=0，故②正确；
③∵抛物线的最大值为4，
∴抛物线与直线y=5无交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c−5=0无实数根，故③错误；
b
④∵抛物线对称轴为直线x=− =1，
2a
∴b=−2a，即2a+b=0，故④错误，
综上所述，正确的有①②．
故选：A．
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．）
1 1 1
11．二次函数y= x2− 的图象可以由二次函数y= x2的图象向 平移 个
4 4 4单位得到．
1
【答案】 下 /0.25
4
【分析】此题主要考查了二次函数的平移．直接利用二次函数的平移规律得出答案即
可．
【详解】解：根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”，可知：
1 1 1 1
函数y= x2− 的图象可以由函数y= x2的图象向下平移 个单位得到；
4 4 4 4
1
故答案为：下， ．
4
12．若二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象如图所示，则关于x的
不等式ax2+bx+c<0的解集是 ．
【答案】−10 k−1≠0然后解不等式即可．
【详解】解：根据题意： 且 ，
Δ=(−2) 2−4(k−1)>0 k−1≠0
解得：k<2且k≠1，
故答案为：k<2且k≠1．
14．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+ ℎ相交于(−2,m),(2,n)两点，则不
等式ax2+bx−ℎ >kx−c成立时，x的取值范围是 ．
【答案】−2kx−c的解集，即可获得答案，解题关键是利用数形结合的思想分析问
题．
【详解】解：∵抛物线 y=ax2+bx+c与直线y=kx+ ℎ相交于(−2,m),(2,n)两点，
∴由图可知，当ax2+bx+c>kx+
ℎ
时，二次函数图象在一次函数图象上方，此时
−2kx−c的解集为−2kx−c的解集为−2−1时，y随x的增大而减小，∴当x=−2时，y=3，
当x=−1时，y=4，
当x=2时，y=−5，
∴当−2≤x≤2时，y的取值范围为−5≤ y≤4．
16．（8分）兰州牛肉面以其独特的风味火遍全围，是行走的兰州历史文化代表，如图，
是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底O为原点建立平面直角坐标系，
已知碗口BC宽28cm，碗深OA=9.8cm，则当满碗汤面的竖直高度下降6.6cm时，求
碗中汤面的水平宽度为多少？（碗的厚度不计）．
【答案】16cm
1
【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意，求出抛物线表达式为y= x2，进而
20
根据题得出y=3.2，代入进行计算即可求解．
【详解】解：根据题意得抛物线经过点(14,9.8)，
设抛物线表达式为y=ax2，代入得9.8=a×142，
1
解得：a=
20
1
∴抛物线表达式为y= x2，
20
∵当满碗汤面的竖直高度下降6.6cm时，
∴碗中汤面高度为9.8−6.6=3.2cm，
1
当y=3.2时，3.2= x2
20
解得：x=±8，
∴碗中汤面的水平宽度为16cm，
17．（8分）如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实
验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一
边长为x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：m），面积为S（单位：m2）．(1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式；
(2)求矩形实验田的面积S的最大值和此时x的值．
【答案】(1)y=−2x+80，S=−2x2+80x
(2)当x=20m时，S有最大值800m2
【分析】（1）根据2x+ y=80，求出y与x的函数解析式，根据矩形面积公式求出S与
x的函数解析式；
（2）将S与x的函数配成顶点式，先求出x的取值范围，求出S的最大值．
本题考查了矩形的性质，二次函数的实际应用，计算x的取值范围是解题的关键．
【详解】（1）解：∵某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，设矩形实验田与墙垂直
的一边长为x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：m），面积为S（单位：m2
）
∴2x+ y=80，
∴y=−2x+80，
∵S=xy，
；
∴S=x(−2x+80)=−2x2+80x
（2）解：
，
S=−2x2+80x=−2(x2−40x)=−2(x2−40x+400−400)=−2(x−20) 2+800
∵y≤42，
∴−2x+80≤42，
∴x≥19，
∴19≤x<40，
∴当x=20m时，S有最大值800m2．
18．（8分）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处的喷头
向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，水流喷出的高度y(m)与
5
水平距离x(m)之间的关系式是y=−x2+2x+ (x>0)．
4(1)喷头A离地面O的高度是多少？
(2)水流喷出的最大高度是多少？
(3)若不计其他因素，水池的半径OB至少为多少，才能使喷出的水流不落在池外？
5
【答案】(1)
4
9
(2)
4
5
(3)当OB= 米时，水流不落在池外
2
【分析】（1）喷头A离地面O的高度是二次函数与y的交点，由此即可求解；
（2）水流喷出的最大高度是二次函数的顶点坐标的纵坐标，由此即可求解；
（3）水池的半径OB是当二次函数y=0时，自变量的值，由此即可求解．
5 5
【详解】（1）解：根据题意得，y=−x2+2x+ (x>0)，当x=0时，y= ，
4 4
5
∴喷头A离地面O的高度是 米．
4
5 9
（2）解：y=−x2+2x+ =−(x−1) 2+ ，
4 4
9
∴二次函数的顶点坐标是(1, )，
4
9
∴水流喷出的最大高度是 米．
4
5
（3）解：原二次函数变形得，−x2+2x+ =0，即4x2−8x−5=0，解方程得，
4
1 5
x =− ，x = ，
1 2 2 2
∵x>0，
5 5
∴x= ，即当OB= 米时，水流不落在池外．
2 2【点睛】本题主要考查二次函数一实际问题的综合应用，掌握二次函数图像的特点是
解题的关键．
19．（8分）某商场经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价
为25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10
件．
（1）若商场每天要获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？
（2）求销售单价定为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
【答案】（1）销售单价应定为30元或40元．（2）当单价为35元时，该文具每天的
最大利润为2250元．
【分析】（1）设销售单价为x元，可列方程为（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]＝2000，
解方程即可解决问题．
（2）列出二次函数解析式，利用二次函数的性质即可解决问题．
【详解】解：（1）设销售单价为x元，根据题意列方程得，
（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]＝2000，
解得x＝30，x＝40
1 2
答：销售单价应定为30元或40元．
（2）设销售单价为x元，每天的销售利润w元，可列函数解析式为：w＝（x﹣20）
[250﹣10（x﹣25）] ＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250．
∵﹣10＜0，
∴函数图象开口向下，当x＝35时，w有最大值，最大值为2250元，
答：当单价为35元时，该文具每天的最大利润为2250元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，最大销售利润的
问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，
然后结合实际选择最优方案．
1
20．（8分）如图，已知抛物线y=− x2+bx+c（b、c为常数）与x轴正半轴交于点
2
A(4,0)，与y轴交于点B(0,4)，连接AB．(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△PAO的面积是△ABO面积的2倍？若存
在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
1
【答案】(1)该抛物线的函数解析式为y=− x2+x+4；
2
(2)存在，点P的坐标为(−4,−8)或(6,−8)．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（ 2 ）由（ 1 ）得抛物线的函数解析式为 y=− 1 x2+x+4 ，则设 P ( m,− 1 m2+m+4 )，
2 2
由 ，故有 ，再根据在 轴下方，所以 ，再建立方程
S =2S |y )=8 x y =−8
△PAO △ABO P P
1
− m2+m+4=−8，最后解方程即可；
2
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，解一元二次方程，掌握知识点的应用是解
题的关键．
1
【详解】（1）解：∵抛物线y=− x2+bx+c与x轴正半轴交于点A(4,0)，与y轴交
2
于点B(0,4)，
{ − 1 ×42+4b+c=0) {b=1)
∴ 2 ，解得： ，
c=4
c=4
1
∴该抛物线的函数解析式为y=− x2+x+4；
2
（2）解：存在，理由，
∵A(4,0)，B(0,4)，
∴OA=OB=4，1
由（1）得抛物线的函数解析式为y=− x2+x+4，
2
设 P ( m,− 1 m2+m+4 )，
2
∵S =2S ，
△PAO △ABO
1 1 1 1
∴ OA×|y )=2× ×OA×OB，即 ×4×|y )=2× ×4×4，
2 P 2 2 P 2
∴ ，
|y )=8
P
∵y <0，
P
∴y =−8，
P
1
∴− m2+m+4=−8，
2
解得：m =−4，m =6，
1 2
∴点P的坐标为(−4,−8)或(6,−8)．
21．（10分）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图1是某高铁
站的一个检票口，其大致示意图如图2所示，检票口大门可看成是抛物线OPQ（点O
与点Q关于抛物线的对称轴对称），OQ=8m，四边形ACDB区域为检票区域，点A
5
与点B在抛物线上，已知检票闸机高AC=EF=HN=BD= m，
4
AC、EF、HN、BD均与OQ垂直，A、E、H、B在一条水平直线上，O、C、F、
N、D、Q在一条水平直线上，以OQ所在直线为x轴，过点O且垂直于OQ的直线为y
8
轴建立平面直角坐标系，抛物线OPQ满足关系式y=ax2+ x（a为常数，且a≠0）．
3
(1)求a的值和抛物线的对称轴；
(2)已知闸机AC与EF之间的区域为应急通道，闸机EF与HN之间的区域为人工检票
通道，闸机HN与BD之间的区域为自动检票通道，若应急通道和人工检票通道的宽度5 5
均为 m（即AE=EH= m，求自动检票通道的总宽度BH．（闸机宽度忽略不计）
4 4
1
【答案】(1)a=− ，x=4
3
9
(2) m
2
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确求出对应的函数解析式是解题的
关键．
（1）根据题意可得Q(8,0)，再利用待定系数法求出函数解析式即可求出a的值，再根
据对称轴计算公式求出对称轴即可；
5
（2）求出当y= 时的函数值，即可得到A和B的坐标，进而求出AB的长即可得到答
4
案．
【详解】（1）解：根据题意可得Q(8,0)，
8 8 1
把Q(8,0)代入到y=ax2+ x中得64a+ ×8=0，解得a=− ．
3 3 3
1 8
∴抛物线的函数关系式为y=− x2+ x，
3 3
8
3
∴抛物线的对称轴为直线x=− =4．
1
− ×2
3
5 1 8 5 1 15
（2）解：令y= ，得− x2+ x= ，解得x = ，x = ，
4 3 3 4 1 2 2 2
∴点A的坐标为(1 5)，点B的坐标为(15 5)，
, ,
2 4 2 4
15 1
∴AB= − =7(m)．
2 2
5
∵AE=EH= m，
4
5 5 9
∴BH=7− − = (m)，
4 4 2
9
即自动检票通道的总宽度BH为 m．
2
