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第二十三章 旋转（压轴题专练）
一、填空题
1．（2023春·河北保定·八年级保定十三中校考期末）如图，两块完全相同的含 角的直角三角板 和
叠合在一起，将三角板 绕直角顶点 按逆时针方向旋转角 ，有以下四个结论：
①当 时， 与 的交点恰好为 中点；
②当 时， 恰好经过 ；
③在旋转过程中，存在某一时刻，使得
④在旋转过程中，始终存在 ；
共中结论正确的有多少个（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2023·辽宁阜新·阜新实验中学校考一模）如图，在平面直角坐标系中， ， ，将
绕点 顺时针旋转并且按一定规律放大，每次变化后得到的图形仍是顶角为 的等腰三角形．第
一次变化后得到等腰三角形 ，点 的对应点为 ；第二次变化后得到等腰三角形
，点 的对应点为 ；第三次变化后得到等腰三角形 ，点 的对应点为
……依此规律，则第2023年等腰三角形中，点 的坐标是（ ）A． B． C． D．
3．（2022秋·黑龙江大庆·八年级校考期中）如图， 是正 内一点， ， ， ，将
线段 以点 为旋转中心逆时针旋转 得到线段 ，下列结论： 可以由 绕点 逆时针
旋转 得到； 点 与 的距离为 ； ； ；
，其中正确的结论是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·江苏扬州·八年级高邮市南海中学校考阶段练习）如图，在正方形 中， ，若点
在对角线 上运动，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 、 ．点 在 上，
且 ．
给出以下四个结论： ① ， ② ，③线段 的最小值是 ，④ 面积的
最大是16．其中正确的是（ ）A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④
5．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，已知四边形 是边长为1的正方形，点E、点F分
别在边 、 上， ，连接 ，连接 分别交 、 于点G、点H．下列结论：
① ；
② ；
③ ；
④ 的面积的最大值为 ．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①④ B．②③④ C．①③④ D．②④
二、填空题
6．（2023春·贵州黔东南·八年级统考期末）如图，平行四边形 中， ，E
是边 上一点，且 是边 上的一个动点，将线段 绕点E逆时针旋转 ，得到 ，连接
，则 的最小值是 ．
7．（2023·全国·九年级专题练习）如图， 是边长为6的等边三角形，点E为高 上的动点．连接
，将 绕点 顺时针旋转 得到 ．连接 ， ， ，则 周长的最小值是 ．8．（2023·全国·九年级专题练习）如图， 中， ， ，点P在 内，且 ，
， ，则 的长为 ．
9．（2023春·江苏淮安·八年级校考期末）如图，平面直角坐标系中，已知 ， ， 为 轴正半
轴上一个动点，将线段 绕点 逆时针旋转 ，点 的对应点为 ，则线段 的最小值是 ．
10．（2023秋·辽宁辽阳·九年级统考期末）如图，矩形 的对角线 和 交于点O， ，
，在 的延长线上有一动点E，连接 ，将线段 绕点D顺时针旋转 ，得到线段 ，连接
，则线段 的最小值为 ．11．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）如图，在 中，将 绕点A顺时针旋转 至 ，将 绕
点A逆时针旋转 至 ，得到 ，使 ，我们称
是 的“旋补三角形”， 的中线 叫做 的“旋补中线”，点A叫做“旋补中
心”．下列结论正确的有 ．
① 与 面积相同；
② ；
③若 ，连接 和 ，则 ；
④若 ， ， ，则 ．
三、解答题
12．（2022秋·山西大同·九年级统考阶段练习）综合与探究
问题情境：
在数学活动课上，老师提出了这样一个问题：如图，正方形 的对角线 和 相交于点 ，点
是正方形 内的一点， ，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，点 ， 的对应点
分别为点 ， ，直线 经过点 ．
特例探究：
（1）如图2，当点 与点 重合时，判断 和 的数量关系并证明；
操作探究：（2）如图1，当点 与点 不重合时，判断 ， 和 之间的数量关系，并说明理由；
类比探究：
（3）如图3，将“正方形 ”改为“菱形 ”，将“ 绕点 逆时针旋转 得到 ”
改为“ 绕点 逆时针旋转 得到 ”，其余条件不变，请直接写出 ， 和 之间的数
量关系．
13．（2023春·浙江绍兴·七年级统考期末）将一副直角三角板 和 如图（1）放置，此时
四点在同一条直线上，点A在边 上，其中 ， ， ．
(1)求 的度数；
(2)将图（1）中的三角板 绕点A以每秒 的速度，按顺时针方向旋转一定的角度
后，记为三角板 ，设旋转的时间为t秒．
①当旋转至图（2）时，此时 ，求a的值；
②若在旋转过程中，三角板 的某一边恰好与 所在的直线平行，直接写出t的值．
14．（2023秋·山西大同·九年级大同一中校考期末）如图①在正方形 中，连接 ，点E是边 上
的一点， 交 于点F，点P是 的中点，连接 ．(1)如图①，探究 与 有何关系，并说明理由；
(2)若将 绕点B顺时针旋转90°，得到图②，连接 ，取 的中点P，连接 ，请问在该条
件下，①中的结论是否成立，并说明理由；
(3)如果把 绕点B顺时针旋转180°，得到图③，同样连接 ，取 的中点P，连接 ，请
你直接写出 与 的关系．
15．（2023春·湖南衡阳·七年级统考期末）如图，有一副直角三角板如图 放置（其中 ，
）， ， 与直线 重合，且三角板 ，三角板 均可以绕点 逆时针旋转．
(1)在图1中， ______；
(2)①如图2，若三角板 保持不动，三角板 绕点 逆时针旋转，转速为 秒，转动一周三角板
就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有 成立；
②如图 ，在图 基础上，若三角板 的边 从 处开始绕点 逆时针旋转，转速为 秒，同时三
角板 的边 从 处开始绕点 逆时针旋转，转速为 秒，当 转到与 位置重合时，两三角
板都停止转动，在旋转过程中，当 时，求旋转的时间是多少？
16．（2023春·山东济南·八年级统考期末）综合与实践
图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题：如图
，在 中， ， ， ， 分别为 ， 边上一点，连接 ，且 ，将
绕点 在平面内旋转．(1)观察猜想
若 ，将 绕点 旋转到如图 所示的位置，则 与 的数量关系为______；
(2)类比探究
若 ，将 绕点 旋转到如图 所示的位置， ， 相交于点 ，猜想 ， 满足的位置
关系，并说明理由；
(3)拓展应用
如图 ，在 的条件下，连结 ，分别取 ， ， 的中点 ， ， ，连结 ， ， ，
若 ， ，请直接写出在旋转过程中 面积的最大值．
17．（2022秋·安徽合肥·九年级统考阶段练习）【操作发现】（1）如图1，在等边 中，点 ， 在
直线 上， 为 边上的一点，连接 ，并把线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ，
则线段 与 的数量关系是______，线段 与直线 所夹锐角的度数是______
【类比探究】（2）如图2，在等边 中，点 ， 在直线 上，若 为 延长线上的一点，连接
，并把线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ，上述两个结论还成立吗？请说明理由．
【拓展应用】（3）如图3，在正方形 中，点 ， 在直线 上， 为直线 上的任意一点，连
接 ，并把线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ．若正方形的边长为2，连接 ，当
时，求线段 的长．
18．（2023春·
江苏无锡·八年级无锡市东林中学校考期末）已知正方形 的边长为4．(1)如图1，点P在直线 上运动，连接 ，将线段 绕点C按顺时针旋转 得到 ，连接 ．
①若点P与A重合，则 ___________．
②若 ，求 的长．
(2)如图2，点P在边 上（P不与A，D重合）运动，且 ，连接 、 ．将线段 绕点P逆
时针旋转 得到 ，将线段 绕点P顺时针旋转 得到 ，设 ， ，求 关于x的函
数表达式．
19．（2022秋·河南周口·九年级统考期中）如图 ，边长分别为 和 的两个等边三角形纸片
和 ，连接 ， ．
(1)若点 、 、 在同一直线上，如图 ，请直接写出线段 与 之间的数量关系．___________
(2)操作： 不动，将 绕点 逆时针方向旋转任意角度 ，如图 ，（1）中的结论是否还成立，
若成立，仅就图 的情形证明你的结论；若不成立，请说明理由．
(3)根据（2）的操作过程，若 ，请你猜想当 为多少度时，线段 的长度最大，最大长度是
多少？当 为多少度时，线段 的长度最小，最小长度是多少？
20．（2019秋·广东广州·九年级广州市第七十五中学校考期中）如图，已知 ，点 是直线 上的
动点．(1)请作出线段 绕点 逆时针旋转 后的对应线段 ；
(2)①当 恰好落在 轴上，求出此时 的坐标．
②已知点 的横坐标为 ，请直接写出点 的坐标（用含 的代数式表示）．
③在②的基础上，求出 纵坐标 与横坐标 的函数关系式．
④求线段 的最小值．
21．（2022秋·辽宁鞍山·九年级校联考期中）将矩形 绕着点 按顺时针方向旋转得到矩形 ，
其中点 与点 ，点 与点 分别是对应点，连接 ．
(1)如图，若点 ， ， 第一次在同一直线上， 与 交于点 ，连接 ．
①求证： 平分 ．
②取 的中点 ，连接 ，求证： ．
③若 ， ，求 的长．
(2)若点 ， ， 第二次在同一直线上， ， ，直接写出点 到 的距离．
22．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数
的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，将 绕点O顺时针旋转 得 （点A与点C
对应，点B与点D对应），直线 交直线 于点G．(1)求直线 的解析式；
(2)点P为y轴上一动点，若 ，求点P的坐标；
(3)如图2，直线 ，交x轴，y轴于F，E两点，点N为平面直角坐标系内一点．若以A，E，F、N
为顶点的四边形为菱形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．
23．（2023秋·辽宁辽阳·九年级统考期末）已知线段 是正方形 的一条对角线，点E在射线 上
运动，连接 ，将线段 绕点C顺时针旋转 ，得到线段 ，连接 ．
（1）如图1，若点E在线段 上，请直接写出线段 与线段 的数量关系与位置关系；
【模型应用】
（2）如图2，若点E在线段 的延长线上运动，请写出线段 ， ， 之间的数量关系，并说明理
由；
【模型迁移】
（3）如图3，已知线段 是矩形 的一条对角线， ， ，点E在射线 上运动，连接
，将 绕点C顺时针旋转 ，得到 ，在 上截取线段 ，连接 ，若 ，直接
写出线段EF的长．
24．（2022秋·湖北十堰·九年级十堰市实验中学校考期中） 和 都是等腰直角三角形，且
， ．(1)如图①，若 的顶点A在 的斜边 上，求证： ；
(2)将 绕点C旋转到如图②所示位置，点B在线段 上，连 ，则（1）中的结论还成立吗？若成
立，请证明；若不成立，请给出正确结论并说明理由．
(3)在 绕点C旋转过程中，当A、E、B三点在同一条直线上时，若 ， ，请直接
写出 的长．
25．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点 ，点 ，点 ，以
、 为边作 ，点 为 中点，连接 、 ．
(1)分别求出线段 和线段 所在直线解析式；
(2)点 为线段 上的一个动点，作点 关于点 的中心对称点 ，设点 横坐标为 ，用含 的代数式表
示点 的坐标（不用写出 的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，
①当点 移动到 的边上时，求点 坐标；
② 为 中点， 为 中点，连接 、 ．请利用备用图探究，直接写出在点 的运动过程中，
周长的最小值和此时点 的坐标．
26．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考期中）如图1，在 中，过点 作 于 ，
过点 作 于 ， 交 于 ， ．(1)求证： ：
(2)如图2，过点 作射线 ，在射线 上取一点 ，使 ，连接 ，若 平分 ，
求证： ；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接 ，将 绕 点以每秒 的速度逆时针旋转至 ，旋转时
间为 ，当 与 重合时停止，则在旋转过程中，当 的边 与 的某一边平行时，直接
写出此时 的值．
27．（2023春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，在 中， ，点D是 边
上一动点，连接 ．把 绕点A逆时针旋转 ，得到 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， 时，求 的长；
(3)在点D运动的过程中，线段 上存在一点P，使 的值最小，设 的长为m，直接写出
的最小值（用含m的式子表示）．
28．（2023·全国·九年级专题练习）定义共弦、共弦角如下：
共弦：将正多边形绕某顶点顺时针旋转 得到的新正多边形与原正多边形相交于一点 ，连接旋转中心
与交点 ，把这条线段叫做正多边形的共弦；图 以正四边形为例，图 以正五边形为例，线段 即为正
四（五）边形的共弦．共弦角：共弦与离原正多边形最近的边组成的角叫做共弦角；如图1， 是共
弦角，因此(1)如图1，四边形 是正方形．求证： ，并求出 的值；
(2)依照（1）的方法，有人求出了以下正多边形的共弦角：
正五边形：
正六边形：
正七边形：
请你根据以上结论，猜想任意正 边形的共弦角的度数（用含 的代数式表示）？并写出这样猜想的理由．
(3)请审视以上数学问题、问题解决以及猜想过程，提出至少两个与之有关的、你认为需要进一步探究的的
数学问题．
29．（2023·全国·九年级专题练习）课题学习：三角形旋转问题中的“转化思想”
【阅读理解】
由两个顶角相等且有公共顶角顶点的特殊多边形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对
位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，是三角形旋转中的一个重要的“基本图形”，这个模型称
为“手拉手模型”．
当发现题目的图形“不完整”时，要通过适当的辅助线将其补完整．将“非基本图形”转化为“基本图
形”．
【方法应用】(1)如图1，在等腰 中， ， ，点D在 内部，连接 ，将 绕点A顺时
针旋转90°得到 ，连接 ， ， ．请直接写出 和 的数量关系：__________，位置关系：
__________；
(2)如图2，在等腰 中， ， ， ，连接 ，将 绕点A顺时针旋转
得到 ，连接 ， ， ，取 中点M，连接 ．
①当点D在 内部，猜想并证明 与 数量关系和位置关系；
②当B，M，E三点共线时，请直接写出 的长度．
30．（2023·全国·九年级专题练习）如图，点O是等边 内一点．将 绕点C顺时针方向旋转
得 ，使得 ，连接 ．已知 ，设 ．
(1)发现问题：发现 的大小不变为 ．
(2)分析问题：当 时，分析判断 的形状是 三角形．
(3)解决问题：请直接写出当 为 度时， 是等腰三角形．
31．（2023·全国·九年级专题练习）在 中， ， ，将 绕点B按逆时
针方向旋转 得到 ．连接 ，延长 交 于点F．(1)当 时，如图1，
①求 的度数；
②求证： ．
(2)当 时，如图2，在旋转过程中，试探究 与 是否仍然相等，若相等，请说明理由；若
不相等，请求出它们的数量关系．
32．（2023春·江苏南通·八年级南通田家炳中学校考阶段练习）【初步感知】
（1）已知，在 中， ．如图1，将边 ， 同时绕着点 分别按逆时针、顺时针方向旋转
，得 、 ，连接 ， ，求证： ；
【类比探究】
（2）如图2，在 ， ，若 ， ，将边 绕着点 逆时针旋转 ，得 ，
连接 ，求 的长．
【拓展应用】
（3）如图3，在平面直角坐标系 中，点A为第二象限内一点，且 ，点B坐标为 ，若将
边 绕点A逆时针旋转 得 ，点D恰好在y轴上．将边 绕点B顺时针旋转 得 ，求点C坐
标．
33．（2022秋·山西朔州·九年级校考阶段练习）我们已经认识了图形的轴对称、平移和旋转．这是图形的三种基本变换，图形经过这样的变换，虽然位置发生了改变，但图形的形状与大小都不发生变化，反映了
图形之间的全等关系．这种运用动态变换研究图形之间的关系的方法，是一种重要而且有效的方法，同学
们学完了这些知识后，王老师在黑板上给大家出示了这样一道题目：如图， 与 为正三角形，
点 为射线 上的动点，作射线 与射线 相交于点 ，将射线 绕点 逆时针旋转 ，得到射
线 ，射线 与射线 相交于点 ．
(1)如图1，点，O与点 重合时，点 分别在线段 上，求证： ；
(2)当同学们把这道题领会感悟后，王老师又在上题基础上追加了一问：如图2，当点， 在 的延长线
上时， 分别在线段 的延长线和线段 的延长线上，请写出 三条线段之间的数量关系，
并说明理由．
34．（2023秋·山西临汾·八年级统考期末）综合与实践
(1)如图 ，在 中， ， ，将边 绕点 逆时针旋转 得到线段 ， 是边
上的一点，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，则 与 的数量关系为___________，
位置关系为____________；
(2)若 是 延长线上的任意一点，其他条件不变，上述结论还成立吗？若成立，请用图 证明；若不成立，请说明理由；
(3)如图 在(2)的条件下，当点 落在 的 边上时，求 的长．
35．（2022秋·山西忻州·九年级校联考阶段练习）综合与探究
问题情境：
在数学活动课上，老师提出了这样一个问题：如图，正方形 的对角线 和 相交于点O，点E是
正方形 内的一点， ，将 绕点A逆时针旋转 得到 ，点B，E的对应点分
别为点D，F，直线EF经过点O．
特例探究：
（1）如图2，当点O与点E重合时，判断 和 的数量关系并证明；
操作探究：
（2）如图1，当点O与点E不重合时，判断 ， 和 之间的数量关系，并说明理由；
类比探究：
（3）如图3，将“正方形 ”改为“菱形 ”，将“ 绕点A逆时针旋转 得到 ”
改为“ 绕点A逆时针旋转 得到 ”，其余条件不变，请直接写出 ， 和 之间的数
量关系．
36．（2023春·山东济南·八年级统考期末）操作发现：
（1）如图1， 为等边三角形，点E是边 上任意一点（ ），将 绕点C顺时针旋
转60°，得到 ，将三角板的30°角按如图所示方式放置，与边 交于点D，E．连接 ．请直接写出结果：
① ＝ °；
② 与 的数量关系是 ；
类比探究：
（2）如图2，在 中， ， ，点E是边 上的任意一点（ ），将
绕点C顺时针旋转90°，得到 ．将一个含45°角的三角板按如图所示方式放置，与边 交于
点D，E．
①求 的度数；
②若 ， ，试求 的长．
37．（2023春·河南信阳·八年级校考期中）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类
的目的，下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图 ，点 、 分别在正方形 的边 、 上， ，连接 ，则 ，
试说明理由．
(1)梳理
，把 绕点A逆时针旋转 至 ，可使 与 重合．
，
，点 、 、 共线．
根据 ，易证 ，得 ．
(2)引申
如图 ，四边形 中， ， 点 、 分别在边 、 上， ，若 、
都不是直角，则当 与 满足等量关系 时，仍有 ．
(3)联想拓展
如图 ，在 中， ， ，点 、 均在边 上，且 ，猜想 、 、
应满足的等量关系，并写出推理过程．
38．（2023春·四川达州·八年级校考期中）（1）阅读理解：如图1，等边三角形 内有一点P，若点
P到顶点 的距离分别为 ，求 的大小．
思路点拨：考虑到 不在一个三角形中，采用转化与化归的数学思想，可以将 绕顶点A
逆时针旋转 到 处，连接 ，此时 ，这样，就可以利用全等三角形的知识，并
结合已知条件，将三条线段 转化到一个三角形中，从而求出 ________；
（2）变式拓展：请你利用第（1）问的方法，解答下面问题：
如图2，在 中， ， ，E，F为 上的点且 ， ， ，求
的长度；
（3）能力提升：如图3，在 中， ， ， ，点O为 内一点，
连接 ，且 ，则 ________(直接写出答案)．
39．（2023春·广东深圳·八年级校考期末）问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇
到这样一个问题：如图1，点D为等边 的边 上一点，将线段 绕点A逆时针旋转 得到线段
，连接 ．(1)【猜想证明】
试猜想 与 的数量关系，并加以证明；
(2)【探究应用】如图2，点D为等边 内一点，将线段 绕点A逆时针旋转 得到线段 ，连接
，若B、D、E三点共线，求证： 平分 ；
(3)【拓展提升】如图3，若 是边长为2的等边三角形，点D是线段 上的动点，将线段 绕点D
顺时针旋转 得到线段 ，连接 ．点D在运动过程中， 的周长最小值=__________（直接写
答案）
40．（2023春·广东河源·九年级校考开学考试）在正方形 中，点 ， ， 分别是边 ， ，
的中点，点 是直线 上一点．线段 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，连接 ．
(1)如图 ，求证： ，且 ．
(2)如图 ，若点 在线段 的延长线上，猜想线段 ， ， 之间满足的数量关系，并证明你的结
论．
(3)若点 在线段 的反向延长线上，如图 ，请直接写出线段 ， ， 之间满足的数量关系．
