文档内容
【赢在中考·黄金8卷】备战2023年中考数学全真模拟卷
（福建专用）
第六模拟
（本卷满分150分，考试时间为120分钟）
一、单选题（共10小题，每小题4分，共40分。每小题给出的四个选项中只
有一个选项是最符合题意的）
1．下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据最简二次根式的定义，即可进行解答．
【详解】解：A、 不是最简二次根式，故A不符合题意；
B、 是最简二次根式，故B符合题意；
C、 不是最简二次根式，故C不符合题意；
D、 不是最简二次根式，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，解题的关键是掌握最简二次根式的特
征：根号下不含有可开方是因数，根号下不含有分母．
2．若 与 的差仍是单项式，则 的值是（ ）
A．4 B．5 C．7 D．8
【答案】A
【分析】根据同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同，进行计算即可
解答．
【详解】解： 与 的差仍是单项式，
可知 与 是同类项，
故 ， ，
， ，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了合并同类项及同类项的定义，代数式求值；熟练掌握同类项的定
义是解题的关键．
3．如图，工程队准备将一段笔直的河道改弯，从而增加游览船的航程，让游客饱览山
间风光．这其中体现的数学原理是（ ）A．两点确定一条直线 B．经过一点有无数条直线
C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短
【答案】C
【分析】工程队准备将一段笔直的河道改弯，从而增加游览船的航程，即求线段变弯
后长度变长的数学原理，据此作答即可．
【详解】笔直的河道改弯，从而增加游览船的航程，这其中体现的数学原理是两点之
间，线段最短．
故选C．
【点睛】本题考查了数学常识在生活中的应用，正确将题意中的现象替换成数学语言
是解题的关键．
4．如图，将某一个空白小方块涂黑后，能使图中所有黑色方块构成轴对称图形的概率
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】找到能够使图形成为轴对称图形的小方块，根据概率公式即可求解．
【详解】图中共有7块空白小方块，其中将某一个空白小方块涂黑后，能使图中所有
黑色方块构成轴对称图形是A、B、C、D、E、
共5个小方块，
所以P（使图中所有黑色方块构成轴对称图形） ．
故选：D
【点睛】本题考查求几何图形的概率，解题的关键是掌握概率的求解方法．
5．下列正多边形中，外角和是该多边形任意一个内角 倍的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】多边形的外角和为 ，可以求正多边形的一个内角，由此求出正多边形的
一个外角，即可求解．
【详解】解： ，即正多边形的任意一个内角为 ，
∴该内角对应的外交为 ，
∴该正多边形的边数是 ，即该多边形是正六边形，
故选： ．
【点睛】本题主要考查正多边形的外角和，内角和的知识，理解并掌握正多边形的性
质，外角和与内角和定理是解题的关键．
6．下列选项中，能说明命题“两个锐角的和是锐角”是一个假命题的反例是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】说明是假命题只要举出两个锐角的和不是锐角即可．
【详解】解：A. ，则 ，不能说明；
B. ，则 不是锐角，不能说明；
C. ，则 ，和为直角，可以说明；
D. ，则 不是锐角，不能说明；
故选：C．
【点睛】本题考查说明一个命题是假命题．比较简单，只需要条件符合，结论不符即
可．
7．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：“五只雀、六只燕，共重 斤
（等于 两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为
多少？”设每只雀的重量为 两，每只燕的重量为 两，则列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】五只雀、六只燕，共重 斤（等于 两），设每只雀的重量为 两，每只燕的
重量为 两，互换其中一只，恰好一样重，由此可确定等量关系列方程．
【详解】解：设每只雀的重量为 两，每只燕的重量为 两，五只雀、六只燕，共重
斤（等于 两），
∴ ，
互换其中一只，恰好一样重，
∴ ，即 ，
联立方程组得， ，
故选： ．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解题意，找出数量关系，根据等量
关系列方程是解题的关键．
8．如图，已知 ， ， 是 的半径，连结 ，交 于点 ，设 ，
， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据圆中半径相等，得到角相等，再把α，β，γ转化到 中，根据内角
和定理解答即可．
【详解】解： ， ， 是 的半径，
，
，
， ，
∴在 中， ，
即 ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆的半径相等，三角形的内角和，熟练掌握将三个角转化到
同一个三角形中是解题关键．
9．已知：如图，该图形是中心对称图形， 四边形 是正方形，点 、 在正方
形内部且 ， ， ，则 为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】A
【分析】正方形 是中心对称图形可得 ， ， ，
再根据已知条件 得知 为直角三角形，由勾股定理求出 ，然后设 ， ，根据已知条件 列出式子求解即可．
【详解】
如图，连接 交 于
正方形 是中心对称图形，
， ， ，
，
为直角三角形，
在 中，由勾股定理得， ，
．
设 ，则 ， ，
在 中，
，
解得 ， （不合题意，舍去），
，
故选：A
【点睛】解题的关键是掌握正方形的性质、中心对称图形的性质、勾股定理解三角形
和一元二次方程的求解．
10．设二次函数 ， （m，n是实数， ）的最小值分
别为p，q，则（ ）
A．若 ，则 ， B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【分析】根据对称轴公式求出 和 的对称轴，再依据二次函数的图象和性质得出
，存在最小值，进而得出 ， ，结合条
件得出 ，列出方程求解即可．
【详解】解：由两函数表达式可知，
函数 的对称轴为 ，
函数 的对称轴为 ，∵二次函数 ， （m，n是实数， ）的最小值分别为
p，q
∴两函数图象均开口向上，即 ，两函数均在对称轴上取到最小值，
则有 ，
若 ，则有
解得： 或 （舍去），
将 代入p，q得： ，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握二次函数
的对称轴及二次函数最大（小）值的求法．
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．分解因式： _____．
【答案】
【分析】先提取公因式，然后根据平方差公式进行分解即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查综合提取公因式和公式法进行因式分解，掌握常见的因式分解方法，
并熟练运用是解题关键．
12．已知反比例函数 过点 ，则 _____．
【答案】
【分析】把 代入函数解析式即可得出答案．
【详解】解：∵反比例函数 过点 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查求反比例函数解析式，待定系数法求解是解题的关键．
13．数轴上，点B在点A的右边，已知点A表示的数是 ，且 ．那么点B
表示的数是_____．
【答案】2022
【分析】根据数轴表示数的意义，在点A的右边，到点A距离为2023的点所表示的数为 ．
【详解】解： ，
故答案为：2022．
【点睛】本题考查数轴表示数的意义和方法，在数轴表示的数右边总比左边的大．
14．在一次考试中，某班19名男生总分得a分，16名女生平均得分b分，这个班全体
同学的平均分是________．
【答案】
【分析】根据总分除以总人数即可求出这个班全体同学的平均分．
【详解】解：由题意得全体同学的总分为 分，全体同学的人数为
人，
∴这个班全体同学的平均分是 分．
【点睛】此题考查了平均数，熟练掌握平均数的求法是解题的关键．
15．如图，在 中， ，以 为直径作半圆，交
边于点D，点O为圆心，连接 ，则图中阴影部分的面积是_____．
【答案】
【分析】先根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出 ，再利用圆
周角定理得到 ，最后根据 进行求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了不规则图形的面积，圆周角定理，勾股定理和含30度角的直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
16．如图，在矩形 中， ， 是由 绕点 顺时针旋转得到，
点 的对应点 恰好落在边 上， 与 相交于点 ， 交 于点 ，
连结 ，四边形 恰好是矩形．则以下结论：① ；②
；③ ；④ ．其中正确的是_______．
【答案】①②③④
【分析】①根据旋转的性质可证结论成立；②由①，结合 可证
；③先根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定与性质证明
，再证明 即可证明结论成立；④由旋转的性质的
，从而 ，结合勾股定理可得
，进而可证结论成立．
【详解】∵ 是由 绕点C旋转得到，
∴ ，故①正确；
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故②正确；
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是由 绕点C旋转得到，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故③正确；
∵ 是由 绕点C旋转得到，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故④正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，
解一元二次方程，锐角三角函数等知识，综合运用各知识点是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，满分86分）
17．解方程组：
【答案】
【分析】根据加减消元法即可解方程．
【详解】解： ，
① ，得 ③
② ③，得 ，
把 代入①得 ，
，
原方程组的解是 ．【点睛】本题主要考查利用加减消元法解二元一次方程组，掌握加减消元法的解题步
骤是解题的关键．
18．如图， 是等边三角形， 是 边上一点，在 右侧作 ，
且 ，连接 ， ．
(1)求证： 是等边三角形；
(2)若 是等边 外一点，且与点 都在直线 同侧，若 ，连接 ，
画出图形，探究线段 、 、 之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)当点 在 右侧时， ；当点 在 左侧时， ，理由
见详解
【分析】（1） 是等边三角形， ， ，可证
，由此即可证；
（2）如图所示（见详解），当点 在 右侧时，当点 在 左侧时，
【详解】（1）证明：∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形；
（2）解：如图所示，当点 在 右侧时， ．
证明：在 上取点 ，使 ，连结 ，设 与 交于点 ，
∵ ，
∴ ，又∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∴ 是等边三角形，
∴ ．
∵ ，
∴ ；
如图，当点 在 左侧时， ．
在 上取点 ，使 ，连接 ，同理可得 ，
∴ ， ，同理可得 为等边三角形， ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握等边三角
形的性质，全等三角形的判定和性质的综合运用是解题的关键．
19．先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【分析】首先将括号里面的分式进行通分合并，然后将除法改成乘法进行约分化简，
最后将x的值带入化简后的式子进行计算．
【详解】原式
=
= ，
当 时，
= ．【点睛】本题考查分式的化简求值、二次根式的分母有理化．掌握分式的运算法则以
及二次根式分母有理化的方法是解题的关键．
20．如图，点 是等边 外部一点，把 绕点 顺时针旋转 得到 ，
其中点 ， 分别是点 ， 的对应点．
(1)利用无刻度的直尺和圆规作出 ；（保留痕迹，不写作法）
(2)在（1）的情况下，在线段 上取点 ，且 ，若 ，
求证： ， ， 三点共线．
【答案】(1)作图见解析；
(2)证明见解析．
【分析】（1）分别以点C、D为圆心， 的长为半径画弧，两弧在线段 的下方相
交于点E，连接 、 ，则 即为所求；
（2）证明 即可．
【详解】（1）解：如图1， 即为所求；
（2）证明∶如图2，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，
由旋转的性质可知， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴点P，C，E共线．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的性质，等边三角形的性质，解题关键
是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21．阅读下列材料，解答问题：
若一个自然数能被13整除，则称这个自然数为“一生数”．若一个四位自然数，百位
数字为1，个位数字为4，则称这个四位数为“一世数”．若一个四位自然数既是“一
生数”，又是“一世数”，则称这个数为“一生一世数”．
例如：因为 ，318为整数，所以4134是“一生数”；因为4134是四位
数，且百位数字为1，个位数字为4，所以4134为“一世数”：因为4134既是“一生
数”，又是“一世数”，所以4134为“一生一世数”．
(1)求证：任意一个“一世数”加上千位数字与十位数字3倍的和一定是“一生数”；
(2)若一个四位自然数m是“一生一世数”，记 ，求 的最大值与最小值
之差．
【答案】(1)见解析
(2)540
【分析】（1）设这个数为： ，再计算一个“一世数”加上千位数字与十位数字3
倍的和，即可求解；
（2）设这个数为： ，可得 ，从而得到
或 ，即可求解．
【详解】（1）解：设这个数为： ，
∴
∵x、y为整数
∴ 为整数
∴任意一个“一世数”加上千位数字与十位数字3倍的和一定是“一生数”
（2）解：设这个数为： ，∴ ，
∴ 为13的倍数，
∵ ， ，且为整数， ，
∴ 或 ，
∴ 或 或 或 或 或 ，
∴这个数为1144，4134，7124，2184，5174，8164，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解，整式加减的应用，理解新定义是解题的
关键．
22．对于三个数a，b，c，我们用 表示a，b，c这三个数的平均数，
表示a、b、c这三个数的中位数．例如： ，
．
(1)若 ，求x的取值范围；
(2)是否存在实数x，使得 ？如果存在，求出x的值；
如果不存在，请说明理由．
【答案】(1) 或
(2)存在实数 ，使得 ，此时 的值为4
【分析】（1）根据 和中位数的定义可得到关于 的不等式组，解不等式组
即可得；
（2）先求出 ，再分三种情况：① ，②
，③ ，解一元一次方程求出 的
值，然后根据 的定义进行判断即可得．
【详解】（1）解： ，
①或 ②，
解不等式组①得： ，
解不等式②得： ，
则 的取值范围为 或 ．
（2）解：由题意得： ，①当 时，则 ，解得 ，
此时 ，符合题意；
②当 时，则 ，解得 ，
此时 ， ，不符合题意，舍去；
③当 时，则 ，解得 ，
此时 ， ，不符合题意，舍去；
综上，存在实数 ，使得 ，此时 的值为4．
【点睛】本题考查了中位数、平均数、一元一次方程的应用、一元一次不等式组的应
用，较难的是题（2），正确分三种情况讨论是解题关键．
23．如图1， 为等边 内一点，将线段 绕点 逆时针旋转 得到 ，连
接 ， 的延长线与 交于点 ，与 交于点 ．
(1)求证： ；
(2)如图2，连接 ，小颖对该图形进行探究，得出结论：
．小颖的结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正
确，请说明理由．
【答案】(1)见详解
(2)小颖的结论正确，理由见详解．
【分析】（1）根据SAS证明 ，即可得到 ．
（2）由 可得 又因为 因此得
根据AAS可得 ，则 ，再根据HL可得
，则 因此 ．
【详解】（1）证明：∵ 是等边三角形，
又
即
∴
（2）解：小颖的结论正确，理由如下：
如图，过A点作 于M， 于N，∵
又
∵
又
∴
在 和 中
∴
．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，恰当的添加辅助线
是解题的关键．
24．如图， 为 的内接三角形， ，垂足为D，直径 平分 ，
交 于点F，连结 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长；
(3)若点G为 的中点，连结 ，若点O在 上，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)(3)
【分析】（1）由圆周角定理及直角三角形的性质可得出结论；
（2）过点F作 于点M．则 ，通过证明 可得
，设设 ，则 ，利用勾股定理可求解 的值，再结
合角平分线的性质可求解；
（3）证出 ，过点F作 于点H，证出 ，由等
腰三角形的性质证出 ，则可得出答案．
【详解】（1）证明：∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图1，过点F作 于点M．则 ，
∵
∴
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
即 ，
设 ，则 ，
∴
∵ ，∴ ，
解得 ，
即 ，
∵ 平分 ， ，
∴ ；
（3）解：∵ ，G为 的中点，
∴
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
过点F作 于点H，如图2，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等腰直
角三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质等，熟练掌握性质定理是解题的
关键．
25．已知抛物线 经过 ， 两点，与 轴交于点 ．(1)求抛物线 的解析式，并求出顶点 的坐标；
(2)求 的余弦值；
(3)直线 与 轴交于点 ，与直线 的交点为 ，当 与 相似时，
求点 的坐标．
【答案】(1)抛物线解析式为 ；顶点 的坐标为
(2) 的余弦值为
(3)点 的坐标为 或
【分析】（1）根据抛物线 经过 ， 两点列出 的
二元一次方程组，求出 的值即可，再将抛物线解析式化为顶点式即可得到顶点
的坐标；
（2）令对称轴直线 与 轴交于点 ，过点 作 ，垂足为 ，先分别求
出 的长，再根据等面积法求出 的长，再用勾股定理求出 的长，
即可求出 的值；
（3） 与 相似，分 和 ,利
用相似三角形的性质以及股股定理知识点求出点 的坐标．
【详解】（1）解： 抛物线 经过 ， 两点，
，
解得： ，
抛物线解析式为： ，
，
顶点 的坐标为 ；
（2）解：由（1）得，抛物线对称轴为直线 ，
令对称轴直线 与 轴交于点 ，过点 作 ，垂足为 ，如图，， ， ，
，
，
，
，
，
在Rt 中，
；
（3）解： ， 和 相似，
当 时，如图所示，
此时MN平行x轴，
，
，
点 在抛物线上，
当 时， ，
的坐标为 ，直线 与 轴交于点 ，
当 时， ，
点坐标为 ，
，
，
，
设直线 的解析式为： ，
将点 的坐标代入得：
，
解得 ，
直线 的解析式为： ，
设 坐标为 ，代入上述解析式中得： ,
；
当 时，如图所示，
，
。
，
，
设 坐标为 ，
，
或 ，
在第二象限，，
综上所述，点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合题的知识，此题涉及到待定系数法求二次函数
的解析式、二次函数的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及锐角三角函数
值的定义，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，此题还需要熟练运用分类
讨论思想解决问题，此题有一定难度．
