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专题 01 旋转中的三种常见模型
类型一：“手拉手”模型
类型二：“半角”模型
类型三：“鸡爪”模型
类型一：“手拉手”模型
1．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B的对应点D恰好落在边BC上，点C的对应点为点
E，连接EC．下列结论一定正确的是（ ）
A．AB＝BD B．∠B＝∠ECA C．AC＝DE D．EC⊥BC
【分析】根据旋转性质逐项分析判断即可．
【解答】解：A、若AB＝BD，则△ABD为等边三角形，旋转角必须为60°，没有这个条件，故原说法错
误，不符合题意；
B、根据旋转性质，∠BAD＝∠CAE，AB＝AD，AC＝AE，故∠B＝∠ECA正确，符合题意；
C、若AC＝DE，则DE＝AE，就有AC＝BC，而题目没有这个条件，故原说法错误，不符合题意；
D、若EC⊥BC，则∠ACE+∠ACB＝90°，继而∠B+∠ACB＝90°，而题目中没有说△ABC是直角三角形，
故原说法错误，不符合题意．
故选：B．
2．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，现将△ABC绕着顶点A顺时针旋转至△ADE处，其中点B，C的对
应点分别为D，E，点D在△ABC内部，过E作EF⊥AC于点F，若∠CAD＝15°， ，则线段AC
的长为（ ）
A． B． C．2 D．4
【分析】先根据旋转的性质得到AE＝AC，∠CAE＝∠BAD，再计算出∠BAD＝45°，则∠CAE＝45°，
然后证明△AEF为等腰直角三角形，所以AE＝ EF＝2，从而得到AC的长．
【解答】解：∵△ABC绕着顶点A顺时针旋转至△ADE处，
∴AE＝AC，∠CAE＝∠BAD，
∵∠BAC＝60°，∠CAD＝15°，
∴∠BAD＝60°﹣15°＝45°，
∴∠CAE＝45°，∵EF⊥AC，
∴∠AFE＝90°，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∴AE＝ EF＝ × ＝2，
∴AC＝2．
故选：C．
3．如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC 绕点B按逆时针方向旋转 30° 后得到△A BC ，则阴影部分的
1 1
面积为（ ）
A．6 B． C． D．9
【分析】根据旋转的性质得到△ABC≌△A BC ，A B＝AB＝6，所以△A BA是等腰三角形，依据
1 1 1 1
∠A
1
BA＝30°得到等腰三角形的面积，由图形可以知道S阴影 ＝S△A1BA +S△A1BC1 ﹣S△ABC ＝S△A1BA ，最终得
到阴影部分的面积．
【解答】解：在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A BC ，
1 1
∴△ABC≌△A BC ，
1 1
∴A B＝AB＝6，
1
∴△A BA是等腰三角形，∠A BA＝30°，
1 1
如图，过A 作A D⊥AB于D，则A D＝ A B＝3，
1 1 1 1
∴S△A1BA ＝ ×6×3＝9，
又∵S阴影 ＝S△A1BA +S△A1BC1 ﹣S△ABC ，
S△A1BC1 ＝S△ABC ，
∴S阴影 ＝S△A1BA ＝9．
故选：D．4．如图，在等边△ABC中，AB＝7，D为边BC上一点，BD＝2，连接AD，将AD绕点D顺时针旋转60°
得到ED，ED交AC于点F，则 的值为（ ）
A．3 B． C． D．
【分析】由旋转的性质可得AD＝AE，∠DAE＝60°＝∠BAC，由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得BD
＝CE，∠ABC＝∠ACE＝60°，由角平分线的性质可得FN＝FH，由面积关系可求解．
【解答】解：如图，过点F作FH⊥BC于H，FN⊥CE于N，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝7，∠ABC＝∠ACB＝60°＝∠BAC，
∵将AD绕点D顺时针旋转60°得到ED，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABC＝∠ACE＝60°，
∵BD＝2，
∴CD＝5，CE＝2，
∵∠ACE＝60°＝∠ACB，DH⊥AC，EN⊥AC，
∴FN＝FH，
∵ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
故选：B．5．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，将△ABC绕顶点 C 逆时针旋转得到
△A′B′C′，若点M、P分别是BC、A′B′的中点，连接PM．则线段PM的最大值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】根据题意可得出点P的轨迹，画出示意图，结合旋转的性质，利用数形结合的数学思想即可解
决问题．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，
∴AB＝2BC＝4．
由旋转可知，
∠A′CB′＝∠ACB＝90°，A′B′＝AB＝4．
∵点P是A′B′的中点，
∴CP＝ ，
则点P在以点C为圆心，2为半径的圆上，
如图所示，
当点P在BC的延长线与 C的交点处时，PM取得最大值．
∵点M是BC的中点，
⊙
∴CM＝ ，
∴P′M＝2+1＝3，
即PM的最大值为3．
故选：B．
6．如图，△ABC是边长为8的等边三角形，D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线
段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E的运动过程中，DF的最小值是（ ）A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【分析】如图，取AC的中点G，连接EG，根据等边三角形的性质和角的和差可得CD＝CG，∠DCF＝
∠GCE，根据旋转的性质可得CE＝CF，然后即可利用“边角边”证明△DCF和△GCE全等，进而可
得DF＝EG，然后根据垂线段最短可得EG⊥AD时EG最短，再根据30°角的直角三角形的性质求解即
可．
【解答】解：如图，取AC的中点G，连接EG，
∵△ABC是等边三角形，AD是△ABC的对称轴，
∴AB＝BC＝AC＝8，∠ACB＝60°，
∴CD＝ BC＝4＝CG，
∵旋转角为60°，
∴∠ECD+∠DCF＝60°，
又∵∠ECD+∠GCE＝∠ACB＝60°，
∴∠DCF＝∠GCE，
又∵CE旋转到CF，∴CE＝CF，
在△DCF和△GCE中，
，
∴△DCF≌△GCE（SAS），
∴DF＝EG，
根据垂线段最短，EG⊥AD时，EG最短，即DF最短，此时∵∠CAD＝ ×60°＝30°，AG＝ AC＝ ×8＝4，
∴EG＝ AG＝ ×4＝2，
∴DF的最小值是2．
故选：A．
7．在△ABC中，∠ABC＝60°，将△ABC在平面内绕点B顺时针旋转 （0°＜ ＜90°）得到△DBE，其中
点A的对应点为点D，连接CE．
α α
（1）若 ＝30°，如图①，求∠BEC的度数；
（2）当点α D在边BC上时，如图②，若DC＝2， ，求AB的长．
【分析】（1）先由旋转性质，得∠EBC＝30°，BC＝BE，结合三角形内角和列式计算即可作答．
（ 2 ） 设 AB 的 长 为 2x ， 由 旋 转 性 质 ， 得 BD ＝ AB ＝ 2x ， 先 得
，再在Rt△ACH，AC2＝HC2+AH2代入数值计算即可作
答．
【解答】解：（1）∵将△ABC在平面内绕点B顺时针旋转 （0°＜ ＜90°）得到△DBE， ＝30°
∴∠EBC＝30°，BC＝BE
α α α
∴ ；
（2）过点A作AH⊥BC，
∵∠ABC＝60°，
∴AB的长为2x， ，
∵将△ABC在平面内绕点B顺时针旋转 （0°＜ ＜90°）得到△DBE，
∴AB＝BD＝2x，BC＝2x+2，
α α
则在Rt△ACH，AC2＝HC2+AH2，
即19＝（2x+2﹣x）2+3x2，整理得4x2+4x﹣15＝（2x+5）（2x﹣3）＝0，
解得 （舍去），
∴AB的长为3．
8．如图，△ABC中，AB＝BC，点O是△ABC内一点，将△ABO旋转后能与△BCD重合
（1）旋转中心是点 B ；
（2）若∠ACB＝70°，旋转角是 4 0 度；
（3）若∠ACB＝60°，请判断△BOD的形状并说明理由．
【分析】（1）根据题意即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝∠ACB＝70°，根据三角形的内角和得到∠ABC＝180°﹣
∠BAC﹣∠ACB＝40°，根据旋转的性质即可得到结论；
（3）由已知条件得到△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠ABC＝60°，由旋转的性质得
到BD＝BO，根据等边三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：（1）旋转中心是点B，
故答案为：B；
（2）∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB＝70°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝40°，
∵将△ABO旋转后能与△BCD重合，
∴∠ABO＝∠CBD，
∴∠OBC+∠ABO＝∠OBC+∠CBD＝∠ABC＝40°，
∵旋转角是40度，
故答案为：40；
（3）△BOD是等边三角形，
∵AB＝BC，∠ACB＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵将△ABO旋转后能与△BCD重合，
∴BD＝BO，
∵∠OBD＝∠ABC＝60°，∴△BOD是等边三角形．
9．如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°， ，点 D 为△ABC 内一点，∠BAD＝15°，
，连接BD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使 AB与AC重合，点D的对应点为点
E，连接DE，DE交AC于点F，
（1）求∠AFD的度数．
（2）求△ADE中DE边上的高．
（3）求CF的长．
【分析】（1）由旋转的性质结合三角形的外角的性质可得答案；
（2）由勾股定理先求解DE＝12，再利用等面积法求解即可；
（3）过A作AH⊥DE于H，则∠AHF＝90°，证 明∠FAH＝30°，可得 ，利用勾股定理可得：
HF2+62＝（2HF）2，再进一步求解即可．
【解答】解：（1）由旋转可知：∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，∠CAE＝∠BAD＝15°，
∴∠ADE＝∠AED＝45°，
∴∠AFD＝∠AED+∠CAE＝15°+45°＝60°；
（2）∵ ，
在Rt△ADE中，利用勾股定理可得： ，
∴△ADE中DE边上的高为 ；
（3）过A作AH⊥DE于H，则∠AHF＝90°，
由（1）知∠AFD＝60°，∠FAH＝30°，
，
由（2）知 AH＝6，
在Rt△AFH中，利用勾股定理可得：HF2+62＝（2HF）2，
∵ ，
∴ ，∴ ．
10．△ABC和△ADE都是等边三角形．
（1）将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有
PA+PB＝PC（或PA+PC＝PB）成立（不需证明）；
（2）将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、
PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；
（3）将△ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、
PC之间有怎样的数量关系？并加以证明．
【分析】（1）证明△ABD≌△ACE（SAS）和△BAF≌△CAP（SAS），得AF＝AP，∠BAF＝∠CAP，
再证明△AFP是等边三角形，最后由线段的和可得结论；
（2）如图③，在PC上截取CM＝PB，连接AM，同理可得结论．
【解答】解：（1）PB＝PA+PC，理由如下：
如图②，在BP上截取BF＝PC，连接AF，
∵△ABC、△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE，
即∠DAB＝∠EAC，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，BF＝CP，
∴△BAF≌△CAP（SAS），
∴AF＝AP，∠BAF＝∠CAP，
∴∠BAC＝∠PAF＝60°，
∴△AFP是等边三角形，
∴PF＝PA，
∴PB＝BF+PF＝PC+PA；
（2）PC＝PA+PB，理由如下：
如图③，在PC上截取CM＝PB，连接AM，
同理得：△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，PB＝CM，
∴△AMC≌△APB（SAS），
∴AM＝AP，∠BAP＝∠CAM，
∴∠BAC＝∠PAM＝60°，
∴△AMP是等边三角形，
∴PM＝PA，
∴PC＝PM+CM＝PA+PB．
类型二：“半角”模型
11．如图，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，已知AD＝6（正方形的四条边都
相等，四个内角都是直角），DF＝2，则S△AEF ＝（ ）
A．6 B．12 C．15 D．30
【分析】过点A作AH⊥AE，交CD的延长线于点H，由“ASA”可证△ADH≌△ABE，可得BE＝HD，
AH＝AE，由“SAS”可证△AFH≌△AFE，可得EF＝HF，利用勾股定理可求BE的长，即可求解．
【解答】解：如图，过点A作AH⊥AE，交CD的延长线于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CD＝BC＝6，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵AH⊥AE，
∴∠HAE＝∠BAD＝90°，
∴∠HAD＝∠BAE，
在△ADH和△ABE中，，
∴△ADH≌△ABE（ASA），
∴BE＝HD，AH＝AE，
∵∠EAF＝45°，
∴∠HAF＝∠EAF＝45°，
在△AFH和△AFE中，
，
∴△AFH≌△AFE（SAS），
∴EF＝HF，
∵DF＝2，
∴CF＝4，
∵EF2＝CE2+CF2，
∴（2+BE）2＝16+（6﹣BE）2，
∴BE＝3，
∴HF＝HD+DF＝5，
∵△AFH≌△AFE，
∴S△AEF ＝S△AFH ＝ ×HF×AD＝ ×5×6＝15，
故选：C．
12．如图，在菱形ABCD中， ，∠BAD＝60°，对角线AC，BD相交于点O，点E是对角线AC上
的一个动点，连结BE，将BE绕点B按逆时针方向旋转60°，得到BF，连接OF，则OF的最小值是（
）
A． B． C． D．
【分析】由菱形的性质可得AB＝AD，AC⊥BD，BO＝OD，可证△ABD是等边三角形，可得AB＝BD＝
4 ，∠ABD＝60°，由旋转的性质可得 BE＝BF，∠EBF＝60°＝∠ABD，由“SAS”可证
△ABE≌△DBF，可得∠BAO＝∠BDF＝30°，则点F在过点D与BD成30°的射线上移动，由垂线段最
短和直角三角形的性质可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，
∴AB＝AD，AC⊥BD，BO＝OD，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD＝4 ，∠ABD＝60°，
∴BO＝DO＝2 ，∠BAO＝30°，
∵将BE绕点B按逆时针方向旋转60°，得到BF，
∴BE＝BF，∠EBF＝60°＝∠ABD，
∴∠ABE＝∠DBF，
∴△ABE≌△DBF（SAS），
∴∠BAO＝∠BDF＝30°，
∴点F在过点D与BD成30°的射线上移动，
∴当OF⊥DF时，OF有最小值，
∴OF的最小值为 OD＝ ，
故选：C．
13．如图，正方形ABCD边长为1，∠ECF＝45°，CF＝CE，则下列结论：①∠1＝∠2＝22.5°；②AC垂
直平分EF；③△AEF的周长是2；④DE+BF＞EF；⑤点A到EF的距离是 ．其中正确的结论有
（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】①设AC交EF于点K，根据正方形性质得CD＝DA＝AB＝BC＝1，∠D＝∠B＝∠BCD＝90°，
∠DAC＝∠BCA＝45°，由此可依据“HL”判定Rt△CFB和Rt△CED全等，则∠1＝∠2，再根据∠BCD
＝90°，∠ECF＝45°得∠1+∠2＝45°，据此可对结论①进行判断；
②根据∠DAC＝∠BCA＝45°，∠1＝∠2＝22.5°得∠ECA＝∠FCA＝∠1＝∠2＝22.5°，再根据CF＝CE
得CK⊥EF，EK＝FK，据此可对结论②进行判断；
③证明△CKE和△CDE全等得，EK＝ED，CK＝CD＝1，同理△CKF≌△CBF，则FK＝BF，由此可得△AEF的周长，进而可对结论③进行判断；
④根据EK＝ED，FK＝BF得EF＝ED+BF，由此可对结论④进行判断；
⑤由勾股定理可求出AC＝√2，再根据CK＝CD＝1得AK＝AC﹣CK＝√2﹣1，由此可对结论⑤进行
判断，综上所述即可得出答案．
【解答】解：①设AC交EF于点K，如图所示：
∵四边形ABCD为正方形，且边长为1，
∴CD＝DA＝AB＝BC＝1，∠D＝∠B＝∠BCD＝90°，∠DAC＝∠BCA＝45°，
在Rt△CFB和Rt△CED中，
，
∴Rt△CFB≌Rt△CED（HL），
∴∠1＝∠2，
∵∠BCD＝90°，∠ECF＝45°，
∴∠1+∠2＝∠BCD﹣∠ECF＝45°，
∴∠1＝∠2＝22.5°，
故结论①正确；
②∵∠DAC＝∠BCA＝45°，∠1＝∠2＝22.5°，
∴∠DAC﹣∠1＝∠BCA﹣∠2＝45°﹣22.5°＝22.5°，
∴∠ECA＝∠FCA＝22.5°，
即∠ECA＝∠FCA＝∠1＝∠2＝22.5°，
∵CF＝CE，
∴CK⊥EF，EK＝FK，
∴AC垂直平分EF，
故结论②正确；
③∵CK⊥EF，
∴∠CKE＝∠CKF＝∠D＝∠B＝90°，
在△CKE和△CDE中，
，
∴△CKE≌△CDE（AAS），∴EK＝ED，CK＝CD＝1，
同理：△CKF≌△CBF（AAS），
∴FK＝BF，
∴EF＝EK+FK＝ED+BF，
△AEF的周长是：AE+EF+AF＝AE+ED+BF+BF＝AD+AB＝2，
故结论③正确；
④∵EF＝ED+BF，
故结论④不正确；
⑤在Rt△ABC中，AB＝BC＝1，
由勾股定理得：AC＝ ＝ ，
∵CK＝CD＝1，
∴AK＝AC﹣CK＝ ，
∵AC垂直平分EF，
∴点A到EF的距离是 ，
故结论⑤正确，
综上所述：正确的结论是①②③⑤，共4个．
故选：C．
14．如图△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，BD＝5，CE＝8，求DE的长．
【分析】把△AEC绕点A顺时针旋转120°得到△AE′B，再结合条件可证明△AE′D≌△AED，可得
DE′＝DE，过E′作EF⊥BD于点F，可求得DF和E′F的长，在Rt△E′FD中可求得DE′，则可
求得DE．
【解答】解：
∵AB＝AC，
∴可把△AEC绕点A顺时针旋转120°得到△AE′B，
∴BE′＝EC＝8，AE′＝AE，∠E′AB＝∠EAC，
∵∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，
∴∠BAD+∠EAC＝60°，
∴∠E′AD＝∠E′AB+∠BAD＝60°，
在△E′AD和△EAD中∴△E′AD≌△EAD（SAS），
∴E′D＝ED，
过E′作EF⊥BD于点F，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠C＝∠E′BA＝30°，
∴∠E′BF＝60°，
∴∠BE′F＝30°，
∴BF＝ BE′＝4，E′F＝4 ，
∵BD＝5，
∴FD＝BD﹣BF＝1，
在Rt△E′FD中，由勾股定理可得E′D＝ ＝7，
∴DE＝7．
15．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝120°，E为AB上一点，∠DCE＝60°，∠DAE＝120°，求证：
DE﹣AD＝BE．
【分析】延长 EB至点 F，使得 BF＝AD，连接 CF．由“SAS”定理证明△CBF≌△CAD，再证明
△CDE≌△CEF，则FE＝DE，可得结论．
【解答】证明：延长EB至点F，使BF＝AD，连接CF．
∵CA＝CB，∠ACB＝120°，
∴∠ABC＝∠CAE＝（180°﹣120°）÷2＝30°，
∴∠CBF＝180°﹣∠ABC＝150°，
在△CBF和△CAD中，，
∴△CBF≌△CAD（SAS），
∴CF＝CD，∠BCF＝∠ACD．
∵∠DCE＝60°，
∴∠FCE＝∠ECB+∠BCF＝∠ECB+∠ACD＝∠ACB﹣∠DCE＝120°﹣60°＝60°＝∠DCE．
又∵CE＝CE，
在△CDE和△CEF中，
，
∴△CDE≌△CEF（SAS），
∴FE＝DE．
∴DE﹣AD＝EF﹣BF＝BE．
16．如图，点E与F分别在正方形ABCD的边BC与CD上，∠EAF＝45°，以点A为旋转中心，将△ADF
按顺时针方向旋转90°得到△ABF'．已知DF＝5cm，BE＝3cm，求EF的长．
【分析】先根据正方形的性质得到 AD＝AB，∠ABC＝∠D＝90°，再根据旋转的性质得到AF＝AF′，
∠ABF′＝∠D＝90°，∠FAF′＝90°，DF＝BF'＝5cm，于是可判定点F′在CB的延长线上，然后证明
△EAF≌△EAF′得到EF＝EF′，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB，∠ABC＝∠D＝90°，
∵△ADF绕点A顺时针方向旋转90°得到△ABF′，
∴AF＝AF′，∠ABF′＝∠D＝90°，∠FAF′＝90°，DF＝BF'＝5cm，
∴点F′在CB的延长线上，
∵∠EAF＝45°，
∴∠EAF′＝45°，
在△EAF和△EAF′中，
，
∴△EAF≌△EAF′（SAS），∴EF＝EF′．
∴EF＝EF'＝BF'+BE＝8cm．
17．如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF＝45°，连接EF，试猜想EF，BE，DF
之间的数量关系，并证明你的猜想．
【分析】延长CD到M，使DM＝BE，证明△ABE≌△ADM，得出AE＝AM，∠BAE＝∠DAM，进而证
明△AEF≌△AMF，根据全等三角形的性质即可求解．
【解答】解：EF＝BE+DF，
延长CD到M，使DM＝BE，连接AM，
∵正方形ABCD，
∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADM，
∴△ABE≌△ADM（ASA），
∴AE＝AM，∠BAE＝∠DAM，
∵∠EAF＝45°，
∴∠MAF＝∠MAD+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝45°＝∠EAF，
∵AF＝AF，
∴△AEF≌△AMF（ASA），
∴EF＝MF＝DM+DF＝BE+DF．
18．如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别在直线AB，AD上，且∠ECF＝45°，连接EF．
（1）当E，F分别在边AB，AD上时，如图1．请探究线段EF，BE，DF之间的数量关系，并写出证明过程；
（2）当E，F分别在BA，AD的延长线上时，如图2．试探究线段EF，BE，DF之间的数量关系，并证
明．
【分析】（1）延长AB使得BG＝DF，连接CG，先证明△DCF≌△BCG，得出∠DCF＝∠BCG，CF＝
CG，再证明△CFE≌△CGE得出GE＝EF即可解答；
（2）把△CDF绕点C逆时针旋转90°后，得到△CBG．根据旋转的性质证明△CEF≌△CEG得出EF＝
EG，由EG＝BE﹣BG＝BE﹣DF即可解答．
【解答】解：（1）EF＝BE+DF，
证明：如图，延长AB使得BG＝DF，连接CG，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD＝90°＝∠D＝∠CBG．CD＝CB，
∴△CDF≌△CBG（SAS），
∴∠DCF＝∠BCG，CF＝CG，
∵∠ECF＝45°，
∴∠BCE+∠DCF＝45°．
∴∠ECG＝∠BCG+∠BCE＝45°＝∠ECF，
∵CF＝CG，CE＝CE，
∴△CFE≌△CGE（SAS）．
∴GE＝EF．
∵GE＝GB+BE＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
（2）EF＝BE﹣DF．
证明：如图，把△CDF绕点C逆时针旋转90°后，得到△CBG．
由旋转可得BG＝DF，CF＝CG，∠BCG＝∠DCF，点A，G，B在同一直线上．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD＝90°．∵∠ECF＝45°，
∴∠DCE+∠DCF＝45°．
∴∠DCE+∠BCG＝45°．
∴∠ECG＝∠BCD﹣（∠DCE+∠BCG）＝90°﹣45°＝45°．
∴∠ECF＝∠ECG．
∵CF＝CG，CE＝CE，
∴△CEF≌△CEG（SAS）．
∴EF＝EG．
∵EG＝BE﹣BG＝BE﹣DF，
∴EF＝BE﹣DF．
19．如图，在四边形ABCD中，点M、N分别在边CD、BC上．连接AM、AN．
（1）如图1，四边形ABCD为正方形时，连结MN，且∠MAN＝45°，
①已知CM＝6，CN＝8，求MN的长；
②已知DM：CM＝3：2，求AB：BN的值；
（2）如图2，四边形ABCD为矩形，∠AMD＝2∠BAN，点N为BC的中点，AN＝6，AM＝8，求AD的
长．
【分析】（1）①利用勾股定理可直接得出结论；
②延长CB至点E，使BE＝DM，连接AE，可证明△ABE≌△ADM（SAS），所以∠BAE＝∠DAM，AE
＝AM；进而可得△AEN≌△AMN（SAS），所以EN＝MN；设DM＝3a，BN＝b，则CM＝2a，AB＝BC
＝5a，MN＝EN＝3a+b．所以CN＝BC﹣BN＝5a﹣b，在Rt△CMN中，利用股定理可得关于a和b的等
式，解之即可得出结论；
（2）如图，延长 AN、DC交于点E．可证△CEN≌△BAN，所以EN＝AN，由∠AMD＝2∠BAN＝
2∠E，可得∠E＝∠MAE，所以AM＝EM，设DM＝x，则AD2＝AM2﹣DM2＝AE2﹣DE2，即82﹣x2＝122
﹣（x+8）2，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）①在正方ABCD中，∠C＝90°，
在Rt△CMN中，∠C＝90°，CM＝6，CN＝8，
∴ ，
即MN的长为10．
②如图，延长CB至点E，使BE＝DM，连接AE，在正方形ABCD中，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝AD，
在△ABE和△ADM中，
，
∴△ABE≌△ADM（SAS），
∴AE＝AM，∠BAE＝∠DAM，
∵∠MAN＝45°，
∴∠BAN+∠DAM＝45°，
∴∠EAN＝∠BAE+∠BAN＝45°，即∠EAN＝∠MAN，
在△AEN和△AMN中，
，
∴△AEN≌△AMN（SAS），
∴EN＝MN，
∵DM：CM＝3：2，
设DM＝3a，BN＝b，则CM＝2a，AB＝BC＝5a，MN＝EN＝3a+b．
∴CN＝BC﹣BN＝5a﹣b，
在Rt△CMN中，CN2+CM2＝MN2，
∴（5a﹣b）2+（2a）2＝（3a+b）2，
∴4a（5a﹣4b）＝0，
∵a≠0，
∴5a﹣4b＝0，即 ，
∴AB：BN的值为4．
（2）如图，延长AN、DC交于点E．∵AB∥DE，
∴∠E＝∠BAN，
在△CEN和△BAN中，
，
∴△CEN≌△BAN（AAS），
∴EN＝AN，
∵∠AMD＝2∠BAN＝2∠E，
∠AMD＝∠E+∠MAE，
∴∠E＝∠MAE，
∴AM＝EM，
∵AN＝6，AM＝8，
∴EN＝AN＝6，EM＝AM＝8，
设DM＝x，则AD2＝AM2﹣DM2＝AE2﹣DE2，
即82﹣x2＝122﹣（x+8）2，
解得：x＝1，
∴ ．
类型三：“鸡爪”模型
20．如图，等边△ABC内部有一点P，且PA＝8，PB＝15，PC＝17，则∠APB的度数为（ ）
A．150° B．135° C．120° D．165°
【分析】根据题意将△PBC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，再连接EP，继而得到△BPE是等边三角形，
再利用勾股定理即可得到本题答案．
【解答】解：∵等边△ABC，∴BA＝BC，
∴将△PBC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，
连接EP，
∵PA＝8，PB＝15，PC＝17，
∴BE＝BP＝15，AE＝PC＝17，∠PBE＝60°，
∴△BPE是等边三角形，
∴∠BPE＝60°，
在△AEP中，AP2+PE2＝AE2，即：82+152＝172，
∴∠EPA＝90°，
∴∠APB＝90°+60°＝150°．
故选：A．
21．如图，P为等边△ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为6，8，10，则△ABC的面
积为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先把△ABP绕点A逆时针旋转60°到△ACP ，把△ACP绕点C逆时针旋转60°到△CBP ，把
1 2
△CBP绕点B逆时针旋转60°到△ABP ，连接PP ，PP ，PP ，把三角形的面积进行转换求解．
3 1 2 3
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴把△ABP绕点A逆时针旋转60°到△ACP ，把△ACP绕点C逆时针旋转60°到△CBP ，把△CBP绕点
1 2
B逆时针旋转60°到△ABP ，连接PP ，PP ，PP ，
3 1 2 3
∴AP＝AP ＝6，BP＝CP ＝8
1 1
∴△APP 为等边三角形，且面积为： ×6×6× ＝9 ，
1
∴PP ＝AP＝6，
1
∵ + ＝PC2，∴△PCP 为直角三角形，且面积为： ＝24，
1
∴四边形APCP 的面积为：24+9 ，
1
同理得：四边形APBP 的面积为：24+16 ，
3
四边形BPCP 的面积为：24+25 ，
2
∴△ABC的面积为： ×（24+9 +24+16 +24+25 ）＝36+25 ，
故选：A．
22．如图，O是等边△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转
60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′
的距离为4；③∠AOB＝150°；④ ；⑤ ．其中正确
的结论是（ ）
A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③
【分析】连接 OO′，过点 O作OD⊥BO′，垂足为 D，由旋转的性质可得∠OBO′＝60°，BO＝
BO′，根据等边三角形的性质可得∠2+∠3＝∠1+∠2＝60°，从而证明△O′BA≌△OBC，即可判断①
正确，证明△BOO′是等边三角形，即可判断②正确；根据等边三角形的性质可得∠BOO′＝60°，根
据全等三角形的性质及勾股定理逆定理可证△AOO′是直角三角形，即可判断③正确；在Rt△BOD中，
求出OD的长，然后根据S四边形AOBO′ ＝S△BOO′+S△AOO′ 进行计算即可判断④不正确；将△AOB绕点A
逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至点的位置，连接OE，过点A作AF⊥OE，垂足为F，
仿照④的解题思路，即可判断⑤正确．
【解答】解：如图所示：∵△ABC为正三角形，
∴∠ABC＝60°，AB＝BC，
∵线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，
∴∠OBO′＝60°，BO＝BO′，
∴∠2+∠3＝∠1+∠2＝60°，
∴∠1＝∠3，
又∵AB＝BC，BO＝BO′，
∴△BO′A≌△BOC，
又∵∠OBO′＝60°，
∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；
连接OO′，
∵BO＝BO′，∠OBO′＝60°，
∴△O′BO是等边三角形，
∴OO′＝OB＝4，故结论②正确；
∵△BO′A≌△BOC，
∴O′A＝OC＝5，
在△AOO′中，AO′2＝25，AO2+OO′2＝16+9＝25，
∴AO′2＝AO2+OO′2，
∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′＝90°，
∴∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°，故结论③正确；
四边形AOBO′的面积为：S△AOO′+S△OBO′ ，
过点O作OD⊥BO′，
∵△O′BO是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
∴四边形AOBO′的面积为 ，故结论④不正确；如图所示：将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″，连接OO″，
∴AO＝AO″＝3，∠OAO″＝60°，CO″＝BO＝4，
∴△AOO″是等边三角形，
∴OO″＝3，
∵CO2＝25，OO″2+CO″2＝9+16＝25，
∴OC2＝CO″2+OO″2，
∴△COO″是直角三角形，且∠CO″O＝90°，
同结论④证明过程可求得： ， ，
∴ ，故结论⑤正确；
综上所述：结论①②③⑤正确，故A正确．
故选：A．
23．如图，△ABC是等边三角形，点P为三角形内一点，连接PA、PB、PC，且PA＝2，PB＝1，
，则阴影部分的面积为 ．
【分析】由等边三角形的性质可得 BC＝AB，∠ABC＝60°，将△BCP 绕点 B 逆时针旋转 60°得到
△BAP′，连接PP′，由旋转的性质可得：S△BAP′ ＝S△BCP ，BP＝BP′＝1， ，∠PBP′
＝60°，证明△PBP′为等边三角形，得出PP′＝1，由勾股定理逆定理得出△APP′为直角三角形，作
BD⊥PP′于D，则 ， ，再由S阴影 ＝S△BCP +S△ABP ＝S△BAP′+S△ABP
＝S△BPP′+S△APP′ 计算即可得出答案．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴BC＝AB，∠ABC＝60°，
如图，将△BCP绕点B逆时针旋转60°得到△BAP′，连接PP′，由旋转的性质可得：S△BAP′ ＝S△BCP ，BP＝BP′＝1， ，∠PBP′＝60°，
∴△PBP′为等边三角形，
∴PP′＝1，
∵PP′2+AP2＝1+4＝5＝AP′2，
∴△APP′为直角三角形，
作BD⊥PP′于D，则 ， ，
∴ ，
故答案为： ．
24．如图，P 是等边△ABC 内一点，且 PA＝6，PC＝8，PB＝10，D 是△ABC 外一点，且
△ADC≌△APB，求∠APC的度数．
【分析】利用△ABC为等边三角形，得出∠BAC＝60°；连接DP，利用△ADC≌△APB，得出∠DAC＝
∠PAB，DA＝PA，进一步得出△DAP是正三角形；利用勾股定理的逆定理得出△DCP为直角三角形，
问题得解．
【解答】解：如图，
连接DP，
∵△ABC是正三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵△ADC≌△APB，∴∠DAC＝∠PAB，DA＝PA，DC＝PB，
∵∠PAC+∠BAP＝60°，
∴∠PAC+∠CAD＝60°，
∴△DAP是正三角形，
∴DP＝6，∠DPA＝60°；
在△PDC中．
PC＝8，DP＝6，DC＝10，
∵82+62＝102，
∴∠DPC＝90°，
∴∠APC＝∠DPA+∠DPC＝60°+90°＝150°．
25．如图，点 O 是等边三角形 ABC 内的一点，∠BOC＝150°，将△BOC 绕点 C 按顺时针旋转得到
△ADC，连接OD，OA．
（1）求∠ODC的度数；
（2）若OB＝4，OC＝5，求AO的长．
【分析】（1）根据旋转的性质即可求解；
（2）根据旋转的性质和勾股定理即可求解．
【解答】解：（1）由旋转的性质得，CD＝CO，∠ACD＝∠BCO，
∵∠ACB＝∠ACO+∠OCB＝60°，
∴∠DCO＝∠ACO+∠ACD＝∠ACO+∠OCB＝60°．
∴△OCD为等边三角形．
∴∠ODC＝60°．
答：∠ODC的度数为60°．
（2）由旋转的性质得，AD＝OB＝4．∠ADC＝∠BOC＝150°
∵△OCD为等边三角形，
∴OD＝OC＝5．
∵∠BOC＝150°，∠ODC＝60°，
∴∠ADO＝90°．
在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO＝ ＝ ＝ ．
答：AO的长为 ．
26．（1）探究发现：下面是一道例题及解答过程，请补充完整：如图①在等边△ABC内部，有一点P，若∠APB＝150°，求证：AP2+BP2＝CP2．
证明：将△APC绕A点逆时针旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，则△APP′为等边三角形，
∴∠APP′＝60°，PA＝PP′，PC＝ P ′ B ．
∵∠APB＝150°，∴∠BPP'＝90°
∴P′P2+BP2＝ P ′ B 2 ，即PA2+PB2＝PC2．
（2）类比延伸：如图②在等腰ABC中，∠BAC＝90°，内部有一点P，若∠APB＝135°，试判断线段
PA、PB、PC之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）根据旋转的性质和勾股定理直接写出即可；
（2）将△APC绕A点逆时针旋转90°，得到△AP′B，连接PP′，论证 ，再根据勾股定
理代换即可．
【解答】解：（1）证明：将△APC绕A点逆时针旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，则△APP′为
等边三角形，
∴∠APP′＝60°，PA＝PP′，PC＝P′B．
∵∠APB＝150°，
∴∠BPP'＝90°
∴P′P2+BP2＝P′B2，即PA2+PB2＝PC2．
故答案为：P′B，P′B2；
（2）关系式为：2PA2+PB2＝PC2；
证明如图②：将△APC绕A点逆时针旋转90°，得到△AP′B，连接PP′，
则△APP′为等腰直角三角形，
∴∠APP'＝45°， ，PC＝P′B，
∵∠APB＝135°，∴∠BPP'＝90°，
∴P′P2+BP2＝P′B2，
∴2PA2+PB2＝PC2．
27．（1）如图1，P是等边三角形ABC内一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10．若P′是△ABC外的一点，且
△P′AB≌△PAC．求PP′的长度及∠APB的度数．
（2）如图2，Q是等边三角形ABC内一点，QA＝5，QB＝12，∠AQB＝150°，求CQ的长．
【分析】（1）证明△APP′为等边三角形，得出PP′＝PA＝P′A＝6，∠APP′＝60°，证明△BPP′
为直角三角形，求出∠APB＝∠BPP′+∠APP′＝90°+60°＝150°；
（2）将△QAC绕A逆时针旋转60°得到△Q′AB，则△QAC≌△Q′AB，证明△AQQ′为等边三角形，
得出QQ′＝QA＝Q′A＝5，∠AQQ′＝60°，证明∠Q′QB＝∠AQB﹣∠AQQ′＝90°，求出Q′B＝
13，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵△P′AB≌△PAC，
∴PA＝P′A＝6，PC＝P′B＝10，∠PAC＝∠P′AB，
∴∠P′AP＝∠BAC＝60°，
∴△APP′为等边三角形，
∴PP′＝PA＝P′A＝6，∠APP′＝60°，
∵PP′2+PB2＝62+82＝102＝P′B2，
∴△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°，
∴∠APB＝∠BPP′+∠APP′＝90°+60°＝150°．
（2）将△QAC绕A逆时针旋转60°得到△Q′AB，则△QAC≌△Q′AB，
∴QA＝Q′A＝5，QC＝Q′B，∠Q′AQ＝60°
∴△AQQ′为等边三角形，
∴QQ′＝QA＝Q′A＝5，∠AQQ′＝60°，
∴∠Q′QB＝∠AQB﹣∠AQQ′＝90°，∴QQ′2+QB2＝52+122＝Q′B2，
∴Q′B＝13，
∴QC＝Q′B＝13．
28．在等边三角形ABC的内部有一点D，连接BD，CD，以点B为中心，把BD逆时针旋转60°得到
HD′，连接AD′，DD′．以点C为中心，把CD顺时针旋转60°得到CD″，连接AD″，DD″．
（1）判断∠D′BA和∠DBC的大小关系，并说明理由；
（2）求证：D′A＝DC；
（3）求证：四边形AD'DD″是平行四边形．
【分析】（1）先根据旋转的性质得∠DBD′＝60°，BD＝BD′，则可判断△BDD′为等边三角形，所
以∠DBD′＝60°，BD＝BD′，再2利用△ABC为等边三角形得到∠ABC＝60°，BA＝BC，则可得到
∠D′BA＝∠DBC；
（2）通过证明△ABD′≌△CBD得到D′A＝DC；
（3）先判断△DCD″为等边三角形得到DD″＝DC，∠DCD″＝60°，再与（2）的证明方法一样证明
△ACD″≌Rt△BCD得到AD″＝BD，所以DD′＝AD″，加上DD″＝DC＝AD′，从而可判断四边
形AD'DD″是平行四边形．
【解答】（1）解：∠D′BA＝∠DBC．
理由如下：∵BD逆时针旋转60°得到BD′，
∴∠DBD′＝60°，BD＝BD′，
∴△BDD′为等边三角形，
∴DD′＝BD，∠DBD′＝60°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，BA＝BC，
∵∠D′BA+∠ABD＝60°，∠ABD+∠DBC＝60°，
∴∠D′BA＝∠DBC；
（2）证明：在△ABD′和△CBD中，
，
∴△ABD′≌△CBD（SAS），
∴D′A＝DC；（3）证明：∵CD顺时针旋转60°得到CD″，
∴∠DCD″＝60°，CD＝CD″，
∴△DCD″为等边三角形，
∴DD″＝DC，∠DCD″＝60°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，CA＝CB，
∵∠D″CA+∠ACD＝60°，∠ACD+∠DCB＝60°，
∴∠D″CA＝∠DCB；
在△ACD″和△BCD中，
，
∴△ACD″≌Rt△BCD（SAS），
∴AD″＝BD，
∴DD′＝AD″，
∵DD″＝DC＝AD′，
∴四边形AD'DD″是平行四边形．
