文档内容
九年级数学上册单元测试定心卷（北师大版）
第一章 特殊平行四边形（基础过关）
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间90分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用 0.5毫米黑色
签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.
一、选择题（12小题，每小题3分，共36分）
1．菱形的对称轴有（ ）
A． 条 B． 条 C． 条 D． 条
【答案】B
【分析】
一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形就是轴对称图形，这条直线就是它
的一条对称轴，由此定义即可判断轴对称图形的对称轴条数及位置．
【详解】
解：∵菱形的对角线互相垂直平分，
∴菱形沿两条对称轴所在的直线对折直线两旁的部分能完全重合，
∴菱形的对角线有两条，分别是对角线所在的直线；
故选：B．
【点睛】
此题考查了利用轴对称图形的定义判断轴对称图形的对称轴．解题的关键是了解菱形的对角线互相平分．
2．下列命题是真命题的是（ ）
A．菱形的两条对角线相等
B．矩形的两条对角线互相垂直
C．平行四边形的两条对角线互相平分
D．矩形的邻边相等
【答案】C
【分析】
结合平行四边形和特殊平行四边形的基本性质进行逐项分析即可．
【详解】
A、菱形的两条对角线互相垂直，原命题为假命题，不符合题意；
B、矩形的两条对角线相等，原命题为假命题，不符合题意；
C、平行四边形的两条对角线互相平分，原命题为真命题，符合题意；
D、矩形的邻边不相等，原命题为假命题，不符合题意；故选：C．
【点睛】
本题考查命题的判断，涉及到平行四边形和特殊平四边形的基本性质，熟记对应的基本性质是解题关键．
3．菱形的两条对角线长分别是 和 ，则此菱形的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意画出图形，由菱形的性质求得OA＝4，OB＝3，再由勾股定理求得边长，继而求得此菱形的周长．
【详解】
解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，
∴AB＝BC＝CD＝AD，OA＝ AC＝4，OB＝ BD＝3，AC⊥BD，
∴AB＝ ＝ ＝5，
∴此菱形的周长＝4×5＝20；
故选：A．
【点睛】
本题考查了菱形的性质以及勾股定理；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出菱形的边长是解题的关键．
4．如图，将矩形纸片 沿 折叠，使点 落在对角线 上的 处．若 ，则 等
于（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由矩形的性质得∠A＝∠ABC＝90°，由折叠的性质得∠BA'E＝∠A＝90°，∠A'BE＝∠ABE＝ （90°﹣
∠DBC）＝33°，即可得出答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，
由折叠的性质得：∠BA'E＝∠A＝90°，∠A'BE＝∠ABE，
∴∠A'BE＝∠ABE＝ （90°﹣∠DBC）＝ （90°﹣24°）＝33°，
∴∠A'EB＝90°﹣∠A'BE＝90°﹣33°＝57°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、折叠的性质以及直角三角形的性质；熟练掌握矩形的性质和折叠的性质是解题的
关键．
5．如图，正方形 的面积为 ，菱形 的面积为 ，则 ， 两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
连接AC，根据正方形 的面积为 ，可得 ，再由菱形 的面积为 ，得到 ，
即可求解．【详解】
解：如图，连接AC，
∵正方形 的面积为 ，
∴ ，
解得： ，
∵菱形 的面积为 ，
∴ ，
即 ，
解得： ．
故选： A．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，菱形的性质，掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．
6．已知菱形 ， ， 是对角线，且 ，菱形的周长是 ，则菱形的面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用菱形的性质和勾股定理求解即可得到答案.
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形， ，
∴ ， ， ， ，
∴∠AOB=90°
∵菱形ABCD的周长是40，
∴ ，在直角三角形AOB中： ，
∴ ，
∴ ，
故选C.
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质，勾股定理和菱形的面积公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求
解.
7．如图，四边形 是正方形，延长 至点E，使 ，连接 交 于点F，则 的度数
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由三角形及正方形对角线相互垂直平分相等的性质进行计算求解，把各角之间关系找到即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD=45°，∠BCD=90°
∴∠DCE=90°
∴∠ACE=45°+90°=135°，
∵CE=CA
∴∠E=∠EAC∵∠E+∠EAC=180°-∠ACE
∴∠E+∠EAC=45°
∠E=∠EAC=22.5°，
∴∠DFE=∠E+∠DCE=112.5°，
故选D．
【点睛】
主要考查到正方形的性质，等腰三角形的性质和外角与内角之间的关系．这些性质要牢记才会灵活运用．
8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AB的中点，连接OE．若BD＝6，
AC＝8，则线段OE的长为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】
根据菱形的对角线互相垂直平分求出 ， ， ，再利用勾股定理列式求出 ，然后根据三角
形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半即可求出 ．
【详解】
解： 菱形 的对角线 、 相交于点 ，
， ， ，
在 中，
由勾股定理得， ，
又 点 为 中点，
是 的中位线，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，勾股定理，根据菱形的性
质和勾股定理求出 是解题的关键．
9．如图，菱形 的边长为2， ，分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两
弧相交于 ， 两点，直线 交 于点 ，连接 ，则 的长为（ ）
A．2 B．3
C． D．
【答案】D
【分析】
连接BE，由垂直平分线的性质和等腰直角三角形的性质，得BE=AE= ， 再得∠EBC=90°，利用勾股定
理即可求出CE的长度．
【详解】
解：连接BE，如图：
由题意可知，MN垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴ ，
∴∠AEB=90°，
在等腰直角三角形ABE中，AB=2，
∴BE=AE= ，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，
∴∠EBC=∠AEB=90°，
在Rt△BCE中，由勾股定理，则；
故选D．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌
握所学的知识，正确得到∠EBC=∠AEB=90°．
10．如图，大正方形与小正方形的面积之差是50，则阴影部分的面积是（ ）
A．20 B．25 C．40 D．50
【答案】B
【分析】
设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，根据大正方形与小正方形的面积之差是50计算即可；
【详解】
设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，
，
，
∵大正方形与小正方形的面积之差是50，即 ，
∴ ；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，准确计算是解题的关键．
11．如图，正方形 的边长为4，点 在边 上运动，点 在边 上运动，运动过程中 的长度
保持不变，且 ．若 是 的中点， 是边 上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
作点C关于AD的对称点T，连接TM交AD于P，连接BT，BM，CP．解直角三角形求出BT，MT，求出
MT的最小值，可得结论．
【详解】
解：作点C关于AD的对称点T，连接TM交AD于P，连接BT，BM，CP．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝4，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∵C，T关于AD对称，
∴CD＝DT＝4，
∴CT＝8，∴BT＝ ，
∵∠EBF＝90°，EM＝MF，
∴BM＝ EF＝1．
∵BM＋MT≥BT，
∴TM≥4 −1，
∵PM＋PC＝PM＋PT＝MT，
∴PM＋PC≥4 −1，
∴PM＋PC≥4 −1，
∴PM＋PC的最小值为4 −1．
故选：A．
【点睛】
本题考查正方形的性质，轴对称最短问题，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用轴对称添加辅助
线，求出BT，BM的值，属于中考常考题型．
12．如图：四边形 是正方形，其边长为 ，点 分别在 和 上，且 ， ，
连接 ， 交于点 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
只需要证明△ABE≌△BCF，得到∠BGE=∠AGB=90°，然后利用勾股定理求解即可得到答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，其边长为4，
∴ ， 90°，
∵ ， ，∴ ，
∴
在 ABE和 BCF中，
，
∴ ABE≌ BCF（SAS），
∴ ，
∵ =90°，
∴ =90°，
∴∠BGE=90°，
∴∠AGB=90°，
在直角三角形ABE中 ，
设 ，则 ，
在直角三角形BGE中： ，
在直角三角形AGB中： ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
故选D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握
相关知识进行求解．
二、填空题（4小题，每小题3分，共12分）
13．如图，已知四边形 的对角线 、 互相垂直且互相平分， ，则四边形 的周长
为______．
【答案】24
【分析】
根据四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直且互相平分，可得四边形ABCD是菱形，根据四边相等可求．
【详解】
解：∵四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直且互相平分，
∴四边形ABCD是菱形，
则四边形ABCD的周长为4AB＝4×6＝24．
故答案为：24．
【点睛】
此题考查了菱形的判定与性质．注意证得四边形ABCD是菱形是解此题的关键．
14．如图，将长方形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F．若∠EFC＝70°，
则∠ACF＝_____°．
【答案】35
【分析】由折叠的性质可得∠E＝∠B＝90°，∠CAB＝∠CAE，再由平行线的性质可得∠BAE＝∠EFC＝70°，则可
求∠BAC的度数，利用平行线的性质求∠ACF的度数．
【详解】
解：∵将长方形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，
∴∠E＝∠B＝90°，∠CAB＝∠CAE，
∵AB∥CD，∠EFC＝70°，
∴∠BAE＝∠EFC＝70°，∠CAB＝∠ACF，
∴∠CAB＝ ∠BAE＝35°，
∴∠ACF＝∠CAB＝35°．
故答案为：35．
【点睛】
本题考查平行线的性质，矩形中的折叠问题，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．
15．如图，矩形 中，点 ， 分别是 ， 的中点，连接 和 ，分别取 ， 的中点
， ．连接 ， ， ．若 ， ，则图中阴影部分的面积为_______．
【答案】
【分析】
根据矩形的中心对称性判断出阴影部分的面积等于矩形面积的一半，然后列式计算即可求得结果．
【详解】
根据矩形的中心对称性得：
∵ ，
∴
故答案为: ．【点睛】
本题考查了矩形的性质，利用矩形的中心对称性判断出阴影部分的面积是矩形面积的一半是本题的关键之
处．
16．如图1，在菱形ABCD中，动点P从点C出发，沿C→A→D运动至终点D．设点P的运动路程为x，
△BCP的面积为y，若y与x的函数图象如图2所示，则图中a的值为______．
【答案】22
【分析】
由图象上点（12，48）知CA＝12，且点P在点A时，△BCP的面积为48，连接BD交AC于点M，则可求
出BM和BD，利用勾股定理求出AD，得到a．
【详解】
解：如图1，连接BD交AC于点M，
由图2知，AC＝12，且CP＝12时，△BCP的面积为48，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，且AM＝6，BM＝MD，
∴ ，
∴BM＝8，
∴DM＝8，
∴AD＝10，
∴a＝CA＋AD＝12＋10＝22.
故答案为：22．【点睛】
本题考查了三角形的面积公式、菱形的对角线互相垂直平分的性质、勾股定理和函数图象，要求学生学会
由函数图象找出对应的信息，理解（12，48）的几何意义时关键．
三、解答题（9小题，共52分）
17．如图，平行四边形 中，对角线 平分 ．求证：平行四边形 是菱形．
【答案】证明见解析
【分析】
根据题意可得： ，从而 ，即可解答．
【详解】
证明：如图，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ．
又∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴平行四边形 是菱形．
【点睛】
本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的判定定理，平行四边形的
性质定理，并能灵活运用相关知识进行证明．
18．如图，矩形 的对角线 与 相交点 ， ， 分别为 的中点，求 的长
度．
【答案】3
【分析】
根据矩形的性质可得AC=BD=12， =6，再根据三角形中位线定理可得 ．
【详解】
解： 四边形ABCD是矩形，
， ，
，
点P、Q是AO，AD的中点，
是 的中位线，
．
【点睛】
此题主要考查了矩形的性质，以及三角形中位线定理，关键是掌握矩形对角线相等且互相平分．
19．如图，四边形ACMF、BCNE 是两个正方形．求证：AN＝BM．【答案】见解析
【分析】
根据正方形的性质可证得 ，即可得出结论．
【详解】
解：∵四边形ACMF和四边形CBEN都是正方形，
∴AC＝CM， NC ＝BC，∠ACM＝∠BCN＝90°，∠MCN＝∠NCM
∠ACN＝∠BCM ，
∴△ACN≌△MCB（SAS）
∴AN＝BM
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握正方形的性质及全等三角形的
判定定理．
20．已知：如图，矩形 的对角线 、 相交于点 ， ， ．
（1）若 ， ，求 的长；
（2）求证：四边形 是菱形．
【答案】（1） ；（2）证明见解析．
【分析】
（1）先根据矩形的性质可得 ，再根据等边三角形的判定与性质可得 ，由此即可得；
（2）先根据平行四边形的判定可得四边形 是平行四边形，再根据菱形的判定即可得证．
【详解】
解：（1） 四边形 是矩形，
，
，
，
是等边三角形，
，
；
（2） ， ，
四边形 是平行四边形，
，
平行四边形 是菱形．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定等知识点，熟练掌握矩形的性质是解题关
键．
21．在四边形ABCD中，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N．
（1）如图1，试判断四边形PQMN怎样的四边形，并证明你的结论；
（2）若在AB上取一点E，连结DE，CE，恰好△ADE和△BCE都是等边三角形（如图2），判断此时四
边形PQMN的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）平行四边形，证明见解析；（2）菱形，证明见解析
【分析】
（1）根据平行四边形的判定，对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求解．
（2）根据题意列出方程，数形结合证明平行四边形PQMN的临边相等，根据一组临边相等的平行四边形
是菱形即可求解．【详解】
解：（1）四边形PQMN为平行四边形；
连接AC、BD．
∵PQ为△ABC的中位线，
∴PQ∥AC，PQ＝ AC，
同理MN∥AC．MN＝ AC．
∴MN＝PQ，MN∥PQ，
∴四边形PQMN为平行四边形；
（2）四边形PQMN是菱形；
理由如下：设△ADE的边长是x，△BCE的边长是y，
∴DB2＝（ x+y）2+（ x）2＝x2+xy+y2，AC2＝（x+ y）2+（ y）2＝x2+xy+y2，
由（1）得MN＝ AC与（1）同理可证MP＝ BD
∴MN=MP，
∴平行四边形PQMN是菱形；
【点睛】
本题考查中位线的性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质、菱形的判定等知识点，熟练掌握几何图
形的性质，进行等量代换、数形结合即可求解．
22．如图：在平行四边形 中，点 在边 上，连接不 、 ，若 平分 ， 平分
，点 是 边的中点．（1）求 的度数．
（2）若 ， ，求 的周长．
（3）判断四边形 的形状并证明．
【答案】（1）90°（2）24（3）菱形，理由见解析
【分析】
（1）根据∠BEC＝180°−（∠EBC＋∠ECB），把∠EBC＋∠ECB用角平分线定义转化为∠ABC与∠DCB
和的一半即可；
（2）根据角平分线和平行线得到AE＝AB，DE＝DC，得到E点是AD中点，故可求出BC，再根据勾股定
理求出BE，故可求出 的周长．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB CD
∴∠ABC＋∠DCB＝180°．
∵∠ABC和∠BCD的平分线交于AD边上一点E，
∴∠EBC＝ ∠ABC，∠ECB＝ ∠DCB．
∴∠BEC＝180°−（∠EBC＋∠ECB）＝180°− （∠ABC＋∠DCB）＝90°．
（2）∵AD BC，
∴∠AEB＝∠EBC．
∵∠ABE＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB．
∴AE＝AB．
同理可得ED＝CD．
∴E点是AD中点
∴AD=2AE=10
∴BC=AD=10在Rt△BEC中，利用勾股定理可得BE＝
所以 的周长＝BE＋BC＋CE＝8+10+6＝24；
（3）四边形 是菱形，证明如下：
由（2）可得E点是AD中点，
∵点 是 边的中点
∴AE=BG
又∵四边形ABCD是平行四边形
∴AE=BG
∴四边形 是平行四边形
又由（2）得AE＝AB
∴平行四边形 是菱形．
【点睛】
本题主要考查了菱形的判定、平行四边形的性质、勾股定理，解题的关键是通过角平分线和平行线转化线
段．
23．如图，在矩形 中，对角线 、 交于点 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的周长．
【答案】（1）见解析；（2）18
【分析】
（1）根据矩形的性质以及已知条件，证明四边形 是平行四边形即可得证；
（2）勾股定理求得 ，再根据矩形的性质及（1）的结论，根据 的周长为
即可求得
【详解】
（1） 四边形 是矩形
，，交 的延长线于点
四边形 是平行四边形
（2） 四边形 是矩形
， ， ， ，
， ，
的周长
【点睛】
本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
24．已知矩形 在平面直角坐标系 中的位置如图所示， ， ，将矩形 沿直线
折叠，使点 与点 重合，点 的对应点为点 ．
（1）求点 坐标；
（2）求线段 的长度；
（3）直接写出直线 和 的解析式．
【答案】（1）点 的坐标为 ；（2） ；（3）直线 的解析式为 ，直线 的解析式为 ．
【分析】
（1）由折叠性质得， ， ，设 ，则 ，根据勾股定理即可求出点
坐标；
（2）过点 作 垂足为 ，根据矩形的判定与性质得出 ， ，求出 ，
再利用勾股定理即可求解；
（3）由点E、F坐标，根据待定系数法求出直线 的解析式；过点D作 于G，
结合三角形面积公式求出点D的坐标，再利用待定系数法求出直线 的解析式．
【详解】
解：（1）∵将矩形 沿直线 折叠，使点 与点 重合，
∴ ， ．
设 ，则 ，
在 中，
根据勾股定理， ．
即 ．
解得， ．
∴点 的坐标为 ．
（2）与（1）同理，可得 ，点 的坐标为 ．
过点 作 垂足为 ，
∴ ．
∵四边形 是矩形，
∴ ．
∴四边形 是矩形．∴ ， ．
∴ ．
在 中，根据勾股定理，
．
；
（3）设直线EF的解析式为： ，把 ， 代入解析式，
得： ，
解得 ，
直线 的解析式为 ；
过点D作 于G，
，
即 ，
，
又 ，
；设直线CD的解析式为： ，把 ， 代入解析式，
得： ，
解得 ，
直线 的解析式为 ．
【点睛】
本题考查的是一次函数综合题，解题关键是熟练掌握矩形的判定与性质，折叠性质，勾股定理，会用待定
系数法求函数解析式．
25．如图，点 ， ，分别是正方形 的边 ， 的中点， 与 交于点 ，连接 .
（1）写出线段 与 的数量关系和位置关系，并证明；
（2）求 的度数．
【答案】（1） ， ，证明见解析；（2）
【分析】
（1）根据题意知： ， ，根据正方形的性质证明 即可；
（2）延长 、 交于点 ，连接 ，先证明 ，再根据正方形证明 ，
．进而证明出 为 的中点，得出 ， ，结合三角形内角
和证明即可．
【详解】
（1） ， ．
证明：∵四边形 是正方形，
∴ ， ．
∵点 ， ，分别是正方形 的边 ， 的中点，∴ ， ．
∴ ．
∴ ．
∴ ， ．
∴ ．
即 ．
（2）延长 、 交于点 ，连接 ．
由（1） ，
∴ ．
∵四边形 是正方形，
∴ ， ， ．
∴ ， ．
∵点 是正方形 的边 的中点，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
即 为 的中点．
∴ 为 斜边 上的中线．
∴ ．
∴ ， ．
∵ ， ，
∴ ．
即 ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．即 ．【点睛】
此题考查三角形全等和正方形的性质，涉及直角三角形斜边中线和三角形内角和，有一定难度．
