文档内容
九年级数学上册单元测试定心卷（北师大版）
第一章 特殊平行四边形（能力提升）
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间90分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用 0.5毫米黑色
签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.
一、选择题（12小题，每小题3分，共36分）
1．在平行四边形ABCD中，添加下列条件能够判定平行四边形ABCD是菱形的是（ ）
A．AC⊥BD B．AB＝CD C．AB⊥BC D．AC＝BD
2．如图，在正方形 中，等边三角形 的顶点 ， 分别在边 和 上，则 （ ）
A．60° B．65° C．75° D．80°
3．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线互相垂直且相等
4．如图，在Rt△ABC中，D是AB的中点，AB＝10，则CD等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图，有一架梯子斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，在墙角（点O处）有一只猫紧紧盯住位
于梯子（AB）正中间（点P处）的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉，把梯子、猫和老鼠都理想化为同一
平面内的线或点，模型如图，若梯子A端沿墙下滑，且梯子B端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，猫与
老鼠的距离（ ）
A．不变 B．变小 C．变大 D．无法判断6．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，连接OE，若
OE⊥BC，OE＝1，则AC的长为（ ）
A．4 B．2 C． D．2
7．如图，将矩形纸片 沿 折叠，使点 落在对角线 上的点 处．若 ，则 的
度数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在正方形 中， 是 的平分线，若正方形的边长是1，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB上且BE＝1，F为对角线AC上一动点，则BF+EF的最小
值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．如图，将矩形 沿 折叠，使点 落在点 处，点 落在点 处， 为折痕 上的任意一点，过点 作 ， ，垂足分别为 ， ，若 ， ，则 的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．16
11．将矩形纸片 按图所示的方法进行折叠，得到等腰 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
12．如图，A，B，C ，D 分别是四边形ABCD各边的中点，且AC⊥BD，AC＝6，BD＝10．依次取
1 1 1 1
AB，BC ，C D，DA 的中点A，B，C ，D，再依次取AB，BC ，C D，DA 的中点A，B，C ，
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3
D……以此类推取A B ，B C ，C D ，D A 的中点A，B，C ，D，若四边形ABC D 的
3 n﹣1 n﹣1 n﹣1 n﹣1 n﹣1 n﹣1 n﹣1 n﹣1 n n n n n n n n
面积为 ，则n的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题（4小题，每小题3分，共12分）
13．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOB＝60°，BD＝8，则AB的长为 ___．14．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC＝12，F是DE上一点，连接AF，CF，DF＝
1．若∠AFC＝90°，则BC的长度为__________．
15．如图，在 中， ， ， ， 为边 上一动点， 于 ， 于 ，
为 的中点，则 的最小值为________．
16．如图，四边形ABCD为矩形，AB＝ ，AD＝ ，点P为边AB上一点．以DP为折痕将△DAP翻
折，点A的对应点为点A'．连结AA'，AA' 交PD于点M，点Q为线段BC上一点，连结AQ，MQ，则AQ＋
MQ的最小值是________
三、解答题（9小题，共52分）
17．利用矩形的性质，证明：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
已知：在 中， 是中线．
求证：___________．证明：
18．如果， 是 斜边上的中线，延长 到点 ，使 ，连接 、 ．四边形
是矩形吗？请说明理由．
19．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F
（1）求证：四边形BEDF为菱形；
（2）如果∠A＝90°，∠C＝30°，BD＝12，求EF的长
20．如图①，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝40°，连接BD、CE．将
△ADE绕点A旋转，BD、CE也随之运动．（1）求证：BD＝CE；
（2）在△ADE绕点A旋转过程中，当AE∥BC时，求∠DAC的度数；
（3）如图②，当点D恰好是△ABC的外心时，连接DC，判断四边形ADCE的形状，并说明理由．
21．在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形EBFD是矩形．
（2）若AE＝3，DE＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．
22．如图所示的矩形ABCD是某景区内一个人工湖的示意图，其中△ABE是形状为等腰直角三角形的小岛．
该景区计划在湖面上建一座连接小码头C与小岛的步行桥，并要求步行桥的长度最小．
（1）尺规作图：在图中的BE上作出符合题意的桥头选址点P；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（2）已知AB＝200m，AD＝300m，游客从小码头C步行到E处，是走步行桥更近还是绕湖岸走更近？请
说明理由．23．已知矩形 中，点 在 边上，四边形 是平行四边形，请仅用无刻度的直尺分别按下列
要求画图（保留画图痕迹，不写画法）．
（1）在图1中作出线段 的中点 ；
（2）在图2中画出 的中线 ．
24．如图，四边形ABCD是平行四边形，AD＝AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延长线上一点．（1）若ED⊥EF，求证：ED＝EF；
（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE是否为平行四边形？并证明
你的结论（请先补全图形，再解答）；
（3）若ED＝EF，求证：ED⊥EF．
25．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将△COD沿CD所在直线折叠，得到△CED．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若AB＝2，当四边形OCED是正方形时，求OC的长；
（3）若BD＝3，∠ACD＝30°，P是CD边上的动点，Q是CE边上的动点，求PE+PQ的最小值．
